MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axaddf Unicode version

Theorem axaddf 8735
Description: Addition is an operation on the complex numbers. This theorem can be used as an alternate axiom for complex numbers in place of the less specific axaddcl 8741. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-addf 8784. (Contributed by NM, 8-Feb-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axaddf  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC

Proof of Theorem axaddf
StepHypRef Expression
1 moeq 2916 . . . . . . . . 9  |-  E* z 
z  =  <. (
w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >.
21mosubop 4237 . . . . . . . 8  |-  E* z E. u E. f ( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. )
32mosubop 4237 . . . . . . 7  |-  E* z E. w E. v ( x  =  <. w ,  v >.  /\  E. u E. f ( y  =  <. u ,  f
>.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
)
4 anass 633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. )  <->  ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  ( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) ) )
542exbii 1581 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. )  <->  E. u E. f
( x  =  <. w ,  v >.  /\  (
y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) ) )
6 19.42vv 2041 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u E. f ( x  =  <. w ,  v >.  /\  (
y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) )  <->  ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  E. u E. f ( y  = 
<. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) )
75, 6bitri 242 . . . . . . . . 9  |-  ( E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. )  <->  ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  E. u E. f
( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) ) )
872exbii 1581 . . . . . . . 8  |-  ( E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. )  <->  E. w E. v
( x  =  <. w ,  v >.  /\  E. u E. f ( y  =  <. u ,  f
>.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) )
98mobii 2154 . . . . . . 7  |-  ( E* z E. w E. v E. u E. f
( ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )  <->  E* z E. w E. v ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  E. u E. f
( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) ) )
103, 9mpbir 202 . . . . . 6  |-  E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. )
1110moani 2170 . . . . 5  |-  E* z
( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
)
1211funoprab 5878 . . . 4  |-  Fun  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) }
13 df-plus 8716 . . . . 5  |-  +  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) }
1413funeqi 5214 . . . 4  |-  ( Fun 
+  <->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) ) } )
1512, 14mpbir 202 . . 3  |-  Fun  +
1613dmeqi 4868 . . . . 5  |-  dom  +  =  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) ) }
17 dmoprabss 5863 . . . . 5  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) }  C_  ( CC  X.  CC )
1816, 17eqsstri 3183 . . . 4  |-  dom  +  C_  ( CC  X.  CC )
19 0ncn 8723 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  CC
20 df-c 8711 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
21 oveq1 5799 . . . . . . . 8  |-  ( <.
z ,  w >.  =  x  ->  ( <. z ,  w >.  +  <. v ,  u >. )  =  ( x  +  <. v ,  u >. ) )
2221eleq1d 2324 . . . . . . 7  |-  ( <.
z ,  w >.  =  x  ->  ( ( <. z ,  w >.  + 
<. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. )  <->  ( x  +  <. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. ) ) )
23 oveq2 5800 . . . . . . . 8  |-  ( <.
v ,  u >.  =  y  ->  ( x  +  <. v ,  u >. )  =  ( x  +  y ) )
2423eleq1d 2324 . . . . . . 7  |-  ( <.
v ,  u >.  =  y  ->  ( (
x  +  <. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. )  <->  ( x  +  y )  e.  ( R.  X.  R. ) ) )
25 addcnsr 8725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( <. z ,  w >.  +  <. v ,  u >. )  =  <. ( z  +R  v ) ,  ( w  +R  u )
>. )
26 addclsr 8673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( z  +R  v
)  e.  R. )
27 addclsr 8673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( w  +R  u
)  e.  R. )
2826, 27anim12i 551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  +R  v )  e.  R.  /\  (
w  +R  u )  e.  R. ) )
2928an4s 802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  +R  v )  e.  R.  /\  (
w  +R  u )  e.  R. ) )
30 opelxpi 4709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  +R  v
)  e.  R.  /\  ( w  +R  u
)  e.  R. )  -> 
<. ( z  +R  v
) ,  ( w  +R  u ) >.  e.  ( R.  X.  R. ) )
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  <. ( z  +R  v ) ,  ( w  +R  u
) >.  e.  ( R. 
X.  R. ) )
3225, 31eqeltrd 2332 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( <. z ,  w >.  +  <. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. ) )
3320, 22, 24, 322optocl 4753 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  ( R. 
X.  R. ) )
3433, 20syl6eleqr 2349 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
3519, 34oprssdm 5936 . . . 4  |-  ( CC 
X.  CC )  C_  dom  +
3618, 35eqssi 3170 . . 3  |-  dom  +  =  ( CC  X.  CC )
37 df-fn 4684 . . 3  |-  (  +  Fn  ( CC  X.  CC )  <->  ( Fun  +  /\  dom  +  =  ( CC  X.  CC ) ) )
3815, 36, 37mpbir2an 891 . 2  |-  +  Fn  ( CC  X.  CC )
3934rgen2a 2584 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( x  +  y )  e.  CC
40 ffnov 5882 . 2  |-  (  +  : ( CC  X.  CC ) --> CC  <->  (  +  Fn  ( CC  X.  CC )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( x  +  y )  e.  CC ) )
4138, 39, 40mpbir2an 891 1  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   E*wmo 2119   A.wral 2518   <.cop 3617    X. cxp 4659   dom cdm 4661   Fun wfun 4667    Fn wfn 4668   -->wf 4669  (class class class)co 5792   {coprab 5793   R.cnr 8457    +R cplr 8461   CCcc 8703    + caddc 8708
This theorem is referenced by:  axaddcl  8741
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-ec 6630  df-qs 6634  df-ni 8464  df-pli 8465  df-mi 8466  df-lti 8467  df-plpq 8500  df-mpq 8501  df-ltpq 8502  df-enq 8503  df-nq 8504  df-erq 8505  df-plq 8506  df-mq 8507  df-1nq 8508  df-rq 8509  df-ltnq 8510  df-np 8573  df-plp 8575  df-ltp 8577  df-plpr 8647  df-enr 8649  df-nr 8650  df-plr 8651  df-c 8711  df-plus 8716
  Copyright terms: Public domain W3C validator