Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axaddf Structured version   Unicode version

 Description: Addition is an operation on the complex numbers. This theorem can be used as an alternate axiom for complex numbers in place of the less specific axaddcl 9028. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-addf 9071. (Contributed by NM, 8-Feb-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 moeq 3112 . . . . . . . . 9
21mosubop 4457 . . . . . . . 8
32mosubop 4457 . . . . . . 7
4 anass 632 . . . . . . . . . . 11
542exbii 1594 . . . . . . . . . 10
6 19.42vv 1931 . . . . . . . . . 10
75, 6bitri 242 . . . . . . . . 9
872exbii 1594 . . . . . . . 8
98mobii 2319 . . . . . . 7
103, 9mpbir 202 . . . . . 6
1110moani 2335 . . . . 5
1211funoprab 6172 . . . 4
13 df-add 9003 . . . . 5
1413funeqi 5476 . . . 4
1512, 14mpbir 202 . . 3
1613dmeqi 5073 . . . . 5
17 dmoprabss 6157 . . . . 5
1816, 17eqsstri 3380 . . . 4
19 0ncn 9010 . . . . 5
20 df-c 8998 . . . . . . 7
21 oveq1 6090 . . . . . . . 8
2221eleq1d 2504 . . . . . . 7
23 oveq2 6091 . . . . . . . 8
2423eleq1d 2504 . . . . . . 7
25 addcnsr 9012 . . . . . . . 8
26 addclsr 8960 . . . . . . . . . . 11
27 addclsr 8960 . . . . . . . . . . 11
2826, 27anim12i 551 . . . . . . . . . 10
2928an4s 801 . . . . . . . . 9
30 opelxpi 4912 . . . . . . . . 9
3129, 30syl 16 . . . . . . . 8
3225, 31eqeltrd 2512 . . . . . . 7
3320, 22, 24, 322optocl 4955 . . . . . 6
3433, 20syl6eleqr 2529 . . . . 5
3519, 34oprssdm 6230 . . . 4
3618, 35eqssi 3366 . . 3
37 df-fn 5459 . . 3
3815, 36, 37mpbir2an 888 . 2
3934rgen2a 2774 . 2
40 ffnov 6176 . 2
4138, 39, 40mpbir2an 888 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 360  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726  wmo 2284  wral 2707  cop 3819   cxp 4878   cdm 4880   wfun 5450   wfn 5451  wf 5452  (class class class)co 6083  coprab 6084  cnr 8744   cplr 8748  cc 8990   caddc 8995 This theorem is referenced by:  axaddcl  9028 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-ec 6909  df-qs 6913  df-ni 8751  df-pli 8752  df-mi 8753  df-lti 8754  df-plpq 8787  df-mpq 8788  df-ltpq 8789  df-enq 8790  df-nq 8791  df-erq 8792  df-plq 8793  df-mq 8794  df-1nq 8795  df-rq 8796  df-ltnq 8797  df-np 8860  df-plp 8862  df-ltp 8864  df-plpr 8934  df-enr 8936  df-nr 8937  df-plr 8938  df-c 8998  df-add 9003
 Copyright terms: Public domain W3C validator