MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axaddf Unicode version

Theorem axaddf 8914
Description: Addition is an operation on the complex numbers. This theorem can be used as an alternate axiom for complex numbers in place of the less specific axaddcl 8920. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-addf 8963. (Contributed by NM, 8-Feb-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axaddf  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC

Proof of Theorem axaddf
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 moeq 3027 . . . . . . . . 9  |-  E* z 
z  =  <. (
w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >.
21mosubop 4368 . . . . . . . 8  |-  E* z E. u E. f ( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. )
32mosubop 4368 . . . . . . 7  |-  E* z E. w E. v ( x  =  <. w ,  v >.  /\  E. u E. f ( y  =  <. u ,  f
>.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
)
4 anass 630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. )  <->  ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  ( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) ) )
542exbii 1588 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. )  <->  E. u E. f
( x  =  <. w ,  v >.  /\  (
y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) ) )
6 19.42vv 1917 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u E. f ( x  =  <. w ,  v >.  /\  (
y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) )  <->  ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  E. u E. f ( y  = 
<. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) )
75, 6bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. )  <->  ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  E. u E. f
( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) ) )
872exbii 1588 . . . . . . . 8  |-  ( E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. )  <->  E. w E. v
( x  =  <. w ,  v >.  /\  E. u E. f ( y  =  <. u ,  f
>.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) )
98mobii 2253 . . . . . . 7  |-  ( E* z E. w E. v E. u E. f
( ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )  <->  E* z E. w E. v ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  E. u E. f
( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) ) )
103, 9mpbir 200 . . . . . 6  |-  E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. )
1110moani 2269 . . . . 5  |-  E* z
( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
)
1211funoprab 6070 . . . 4  |-  Fun  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) }
13 df-add 8895 . . . . 5  |-  +  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) }
1413funeqi 5378 . . . 4  |-  ( Fun 
+  <->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) ) } )
1512, 14mpbir 200 . . 3  |-  Fun  +
1613dmeqi 4983 . . . . 5  |-  dom  +  =  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) ) }
17 dmoprabss 6055 . . . . 5  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) }  C_  ( CC  X.  CC )
1816, 17eqsstri 3294 . . . 4  |-  dom  +  C_  ( CC  X.  CC )
19 0ncn 8902 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  CC
20 df-c 8890 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
21 oveq1 5988 . . . . . . . 8  |-  ( <.
z ,  w >.  =  x  ->  ( <. z ,  w >.  +  <. v ,  u >. )  =  ( x  +  <. v ,  u >. ) )
2221eleq1d 2432 . . . . . . 7  |-  ( <.
z ,  w >.  =  x  ->  ( ( <. z ,  w >.  + 
<. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. )  <->  ( x  +  <. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. ) ) )
23 oveq2 5989 . . . . . . . 8  |-  ( <.
v ,  u >.  =  y  ->  ( x  +  <. v ,  u >. )  =  ( x  +  y ) )
2423eleq1d 2432 . . . . . . 7  |-  ( <.
v ,  u >.  =  y  ->  ( (
x  +  <. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. )  <->  ( x  +  y )  e.  ( R.  X.  R. ) ) )
25 addcnsr 8904 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( <. z ,  w >.  +  <. v ,  u >. )  =  <. ( z  +R  v ) ,  ( w  +R  u )
>. )
26 addclsr 8852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( z  +R  v
)  e.  R. )
27 addclsr 8852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( w  +R  u
)  e.  R. )
2826, 27anim12i 549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  +R  v )  e.  R.  /\  (
w  +R  u )  e.  R. ) )
2928an4s 799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  +R  v )  e.  R.  /\  (
w  +R  u )  e.  R. ) )
30 opelxpi 4824 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  +R  v
)  e.  R.  /\  ( w  +R  u
)  e.  R. )  -> 
<. ( z  +R  v
) ,  ( w  +R  u ) >.  e.  ( R.  X.  R. ) )
3129, 30syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  <. ( z  +R  v ) ,  ( w  +R  u
) >.  e.  ( R. 
X.  R. ) )
3225, 31eqeltrd 2440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( <. z ,  w >.  +  <. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. ) )
3320, 22, 24, 322optocl 4868 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  ( R. 
X.  R. ) )
3433, 20syl6eleqr 2457 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
3519, 34oprssdm 6128 . . . 4  |-  ( CC 
X.  CC )  C_  dom  +
3618, 35eqssi 3281 . . 3  |-  dom  +  =  ( CC  X.  CC )
37 df-fn 5361 . . 3  |-  (  +  Fn  ( CC  X.  CC )  <->  ( Fun  +  /\  dom  +  =  ( CC  X.  CC ) ) )
3815, 36, 37mpbir2an 886 . 2  |-  +  Fn  ( CC  X.  CC )
3934rgen2a 2694 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( x  +  y )  e.  CC
40 ffnov 6074 . 2  |-  (  +  : ( CC  X.  CC ) --> CC  <->  (  +  Fn  ( CC  X.  CC )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( x  +  y )  e.  CC ) )
4138, 39, 40mpbir2an 886 1  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358   E.wex 1546    = wceq 1647    e. wcel 1715   E*wmo 2218   A.wral 2628   <.cop 3732    X. cxp 4790   dom cdm 4792   Fun wfun 5352    Fn wfn 5353   -->wf 5354  (class class class)co 5981   {coprab 5982   R.cnr 8636    +R cplr 8640   CCcc 8882    + caddc 8887
This theorem is referenced by:  axaddcl  8920
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-omul 6626  df-er 6802  df-ec 6804  df-qs 6808  df-ni 8643  df-pli 8644  df-mi 8645  df-lti 8646  df-plpq 8679  df-mpq 8680  df-ltpq 8681  df-enq 8682  df-nq 8683  df-erq 8684  df-plq 8685  df-mq 8686  df-1nq 8687  df-rq 8688  df-ltnq 8689  df-np 8752  df-plp 8754  df-ltp 8756  df-plpr 8826  df-enr 8828  df-nr 8829  df-plr 8830  df-c 8890  df-add 8895
  Copyright terms: Public domain W3C validator