MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axaddf Unicode version

Theorem axaddf 8700
Description: Addition is an operation on the complex numbers. This theorem can be used as an alternate axiom for complex numbers in place of the less specific axaddcl 8706. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-addf 8749. (Contributed by NM, 8-Feb-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axaddf  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC

Proof of Theorem axaddf
StepHypRef Expression
1 moeq 2892 . . . . . . . . 9  |-  E* z 
z  =  <. (
w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >.
21mosubop 4202 . . . . . . . 8  |-  E* z E. u E. f ( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. )
32mosubop 4202 . . . . . . 7  |-  E* z E. w E. v ( x  =  <. w ,  v >.  /\  E. u E. f ( y  =  <. u ,  f
>.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
)
4 anass 633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. )  <->  ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  ( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) ) )
542exbii 1581 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. )  <->  E. u E. f
( x  =  <. w ,  v >.  /\  (
y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) ) )
6 19.42vv 2041 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u E. f ( x  =  <. w ,  v >.  /\  (
y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) )  <->  ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  E. u E. f ( y  = 
<. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) )
75, 6bitri 242 . . . . . . . . 9  |-  ( E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. )  <->  ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  E. u E. f
( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) ) )
872exbii 1581 . . . . . . . 8  |-  ( E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. )  <->  E. w E. v
( x  =  <. w ,  v >.  /\  E. u E. f ( y  =  <. u ,  f
>.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) )
98mobii 2152 . . . . . . 7  |-  ( E* z E. w E. v E. u E. f
( ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )  <->  E* z E. w E. v ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  E. u E. f
( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) ) )
103, 9mpbir 202 . . . . . 6  |-  E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. )
1110moani 2168 . . . . 5  |-  E* z
( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
)
1211funoprab 5843 . . . 4  |-  Fun  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) }
13 df-plus 8681 . . . . 5  |-  +  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) }
1413funeqi 5179 . . . 4  |-  ( Fun 
+  <->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) ) } )
1512, 14mpbir 202 . . 3  |-  Fun  +
1613dmeqi 4833 . . . . 5  |-  dom  +  =  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f )
>. ) ) }
17 dmoprabss 5828 . . . . 5  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) }  C_  ( CC  X.  CC )
1816, 17eqsstri 3150 . . . 4  |-  dom  +  C_  ( CC  X.  CC )
19 0ncn 8688 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  CC
20 df-c 8676 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
21 oveq1 5764 . . . . . . . 8  |-  ( <.
z ,  w >.  =  x  ->  ( <. z ,  w >.  +  <. v ,  u >. )  =  ( x  +  <. v ,  u >. ) )
2221eleq1d 2322 . . . . . . 7  |-  ( <.
z ,  w >.  =  x  ->  ( ( <. z ,  w >.  + 
<. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. )  <->  ( x  +  <. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. ) ) )
23 oveq2 5765 . . . . . . . 8  |-  ( <.
v ,  u >.  =  y  ->  ( x  +  <. v ,  u >. )  =  ( x  +  y ) )
2423eleq1d 2322 . . . . . . 7  |-  ( <.
v ,  u >.  =  y  ->  ( (
x  +  <. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. )  <->  ( x  +  y )  e.  ( R.  X.  R. ) ) )
25 addcnsr 8690 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( <. z ,  w >.  +  <. v ,  u >. )  =  <. ( z  +R  v ) ,  ( w  +R  u )
>. )
26 addclsr 8638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( z  +R  v
)  e.  R. )
27 addclsr 8638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( w  +R  u
)  e.  R. )
2826, 27anim12i 551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  +R  v )  e.  R.  /\  (
w  +R  u )  e.  R. ) )
2928an4s 802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  +R  v )  e.  R.  /\  (
w  +R  u )  e.  R. ) )
30 opelxpi 4674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  +R  v
)  e.  R.  /\  ( w  +R  u
)  e.  R. )  -> 
<. ( z  +R  v
) ,  ( w  +R  u ) >.  e.  ( R.  X.  R. ) )
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  <. ( z  +R  v ) ,  ( w  +R  u
) >.  e.  ( R. 
X.  R. ) )
3225, 31eqeltrd 2330 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( <. z ,  w >.  +  <. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. ) )
3320, 22, 24, 322optocl 4718 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  ( R. 
X.  R. ) )
3433, 20syl6eleqr 2347 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
3519, 34oprssdm 5901 . . . 4  |-  ( CC 
X.  CC )  C_  dom  +
3618, 35eqssi 3137 . . 3  |-  dom  +  =  ( CC  X.  CC )
37 df-fn 4649 . . 3  |-  (  +  Fn  ( CC  X.  CC )  <->  ( Fun  +  /\  dom  +  =  ( CC  X.  CC ) ) )
3815, 36, 37mpbir2an 891 . 2  |-  +  Fn  ( CC  X.  CC )
3934rgen2a 2580 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( x  +  y )  e.  CC
40 ffnov 5847 . 2  |-  (  +  : ( CC  X.  CC ) --> CC  <->  (  +  Fn  ( CC  X.  CC )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( x  +  y )  e.  CC ) )
4138, 39, 40mpbir2an 891 1  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   E*wmo 2118   A.wral 2516   <.cop 3584    X. cxp 4624   dom cdm 4626   Fun wfun 4632    Fn wfn 4633   -->wf 4634  (class class class)co 5757   {coprab 5758   R.cnr 8422    +R cplr 8426   CCcc 8668    + caddc 8673
This theorem is referenced by:  axaddcl  8706
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-omul 6417  df-er 6593  df-ec 6595  df-qs 6599  df-ni 8429  df-pli 8430  df-mi 8431  df-lti 8432  df-plpq 8465  df-mpq 8466  df-ltpq 8467  df-enq 8468  df-nq 8469  df-erq 8470  df-plq 8471  df-mq 8472  df-1nq 8473  df-rq 8474  df-ltnq 8475  df-np 8538  df-plp 8540  df-ltp 8542  df-plpr 8612  df-enr 8614  df-nr 8615  df-plr 8616  df-c 8676  df-plus 8681
  Copyright terms: Public domain W3C validator