Theorem axaddopr 5237

Description: Addition is an operation on the complex numbers. This theorem can be used as an alternate axiom for complex numbers in place of the less specific axaddcl 5243.

Assertion

Ref	Expression
axaddopr	|- + :(CC X. CC)-->CC

Proof of Theorem axaddopr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffnoprval 3999	. 2 |- ( + :(CC X. CC)-->CC <-> ( + Fn (CC X. CC) /\ A.x e. CC A.y e. CC (x + y) e. CC))
2		df-fn 3183	. . 3 |- ( + Fn (CC X. CC) <-> (Fun + /\ dom + = (CC X. CC)))
3		moeq 1911	. . . . . . . . 9 |- E*z z = <.(w +R u), (v +R f)>.
4	3	mosubop 2794	. . . . . . . 8 |- E*zE.uE.f(y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)
5	4	mosubop 2794	. . . . . . 7 |- E*zE.wE.v(x = <.w, v>. /\ E.uE.f(y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))
6		anass 439	. . . . . . . . . . 11 |- (((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.) <-> (x = <.w, v>. /\ (y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)))
7	6	2exbii 1048	. . . . . . . . . 10 |- (E.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.) <-> E.uE.f(x = <.w, v>. /\ (y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)))
8		19.42vv 1305	. . . . . . . . . 10 |- (E.uE.f(x = <.w, v>. /\ (y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)) <-> (x = <.w, v>. /\ E.uE.f(y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)))
9	7, 8	bitr 173	. . . . . . . . 9 |- (E.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.) <-> (x = <.w, v>. /\ E.uE.f(y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)))
10	9	2exbii 1048	. . . . . . . 8 |- (E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.) <-> E.wE.v(x = <.w, v>. /\ E.uE.f(y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)))
11	10	mobii 1398	. . . . . . 7 |- (E*zE.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.) <-> E*zE.wE.v(x = <.w, v>. /\ E.uE.f(y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)))
12	5, 11	mpbir 190	. . . . . 6 |- E*zE.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)
13	12	moani 1416	. . . . 5 |- E*z((x e. CC /\ y e. CC) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))
14	13	funoprab 3996	. . . 4 |- Fun {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))}
15		df-plus 5217	. . . . 5 |- + = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))}
16		funeq 3521	. . . . 5 |- ( + = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))} -> (Fun + <-> Fun {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))}))
17	15, 16	ax-mp 7	. . . 4 |- (Fun + <-> Fun {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))})
18	14, 17	mpbir 190	. . 3 |- Fun +
19	15	dmeqi 3301	. . . . 5 |- dom + = dom {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))}
20		dmoprabss 3988	. . . . 5 |- dom {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))} (_ (CC X. CC)
21	19, 20	eqsstr 2081	. . . 4 |- dom + (_ (CC X. CC)
22		0ncn 5223	. . . . 5 |- -. (/) e. CC
23		df-c 5212	. . . . . . 7 |- CC = (R. X. R.)
24		opreq1 3953	. . . . . . . 8 |- (<.z, w>. = x -> (<.z, w>. + <.v, u>.) = (x + <.v, u>.))
25	24	eleq1d 1532	. . . . . . 7 |- (<.z, w>. = x -> ((<.z, w>. + <.v, u>.) e. (R. X. R.) <-> (x + <.v, u>.) e. (R. X. R.)))
26		opreq2 3954	. . . . . . . 8 |- (<.v, u>. = y -> (x + <.v, u>.) = (x + y))
27	26	eleq1d 1532	. . . . . . 7 |- (<.v, u>. = y -> ((x + <.v, u>.) e. (R. X. R.) <-> (x + y) e. (R. X. R.)))
28		addcnsr 5225	. . . . . . . 8 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> (<.z, w>. + <.v, u>.) = <.(z +R v), (w +R u)>.)
29		addclsr 5164	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. R. /\ v e. R.) -> (z +R v) e. R.)
30		addclsr 5164	. . . . . . . . . . 11 |- ((w e. R. /\ u e. R.) -> (w +R u) e. R.)
31	29, 30	anim12i 333	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. R. /\ v e. R.) /\ (w e. R. /\ u e. R.)) -> ((z +R v) e. R. /\ (w +R u) e. R.))
32	31	an4s 507	. . . . . . . . 9 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> ((z +R v) e. R. /\ (w +R u) e. R.))
33		opelxpi 3207	. . . . . . . . 9 |- (((z +R v) e. R. /\ (w +R u) e. R.) -> <.(z +R v), (w +R u)>. e. (R. X. R.))
34	32, 33	syl 10	. . . . . . . 8 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> <.(z +R v), (w +R u)>. e. (R. X. R.))
35	28, 34	eqeltrd 1540	. . . . . . 7 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> (<.z, w>. + <.v, u>.) e. (R. X. R.))
36	23, 25, 27, 35	2optocl 3226	. . . . . 6 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x + y) e. (R. X. R.))
37	36, 23	syl6eleqr 1551	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x + y) e. CC)
38	22, 37	oprssdm 4027	. . . 4 |- (CC X. CC) (_ dom +
39	21, 38	eqssi 2068	. . 3 |- dom + = (CC X. CC)
40	2, 18, 39	mpbir2an 728	. 2 |- + Fn (CC X. CC)
41	37	rgen2a 1691	. 2 |- A.x e. CC A.y e. CC (x + y) e. CC
42	1, 40, 41	mpbir2an 728	1 |- + :(CC X. CC)-->CC

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  E*wmo 1374  A.wral 1637  <.cop 2401   X. cxp 3158  dom cdm 3160  Fun wfun 3166   Fn wfn 3167  -->wf 3168  (class class class)co 3948  {copab2 3949  R.cnr 4965   +R cplr 4969  CCcc 5204   + caddc 5209

This theorem is referenced by:  axaddcl 5243  addex 5289  ser1ft 6265  ser1cl1 6267  serzcl1 6494  addcn 7920  cnaddabl 8063  cnid 8064  addinv 8065  readdsubg 8066  zaddsubg 8067  cnring 8099  cnvc 8140  cnnv 8245  cnnvba 8247  cnph 8409  efghgrpilem 8634

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel