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Theorem axcclem 8337
Description: Lemma for axcc 8338. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcclem.1  |-  A  =  ( x  \  { (/)
} )
axcclem.2  |-  F  =  ( n  e.  om ,  y  e.  U. A  |->  ( f `  n
) )
axcclem.3  |-  G  =  ( w  e.  A  |->  ( h `  suc  ( `' f `  w
) ) )
Assertion
Ref Expression
axcclem  |-  ( x 
~~  om  ->  E. g A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
g `  z )  e.  z ) )
Distinct variable groups:    A, f, h, n, y    w, A, z, f, h    h, F, z    g, G, z   
f, g, x, h
Allowed substitution hints:    A( x, g)    F( x, y, w, f, g, n)    G( x, y, w, f, h, n)

Proof of Theorem axcclem
Dummy variables  c 
i  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfinite2 7365 . . . . . . . 8  |-  ( A 
~<  om  ->  A  e.  Fin )
2 axcclem.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( x  \  { (/)
} )
32eleq1i 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Fin  <->  ( x  \  { (/) } )  e. 
Fin )
4 undif1 3703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  =  ( x  u.  { (/) } )
5 snfi 7187 . . . . . . . . . . . 12  |-  { (/) }  e.  Fin
6 unfi 7374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  \  { (/)
} )  e.  Fin  /\ 
{ (/) }  e.  Fin )  ->  ( ( x 
\  { (/) } )  u.  { (/) } )  e.  Fin )
75, 6mpan2 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  \  { (/) } )  e.  Fin  ->  ( ( x  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  e.  Fin )
84, 7syl5eqelr 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  \  { (/) } )  e.  Fin  ->  ( x  u.  { (/) } )  e.  Fin )
9 ssun1 3510 . . . . . . . . . 10  |-  x  C_  ( x  u.  { (/) } )
10 ssfi 7329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  u.  { (/)
} )  e.  Fin  /\  x  C_  ( x  u.  { (/) } ) )  ->  x  e.  Fin )
118, 9, 10sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  \  { (/) } )  e.  Fin  ->  x  e.  Fin )
123, 11sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Fin  ->  x  e.  Fin )
13 dcomex 8327 . . . . . . . . . 10  |-  om  e.  _V
14 isfiniteg 7367 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  e.  _V  ->  (
x  e.  Fin  <->  x  ~<  om ) )
1513, 14ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  Fin  <->  x  ~<  om )
16 sdomnen 7136 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
~<  om  ->  -.  x  ~~  om )
1715, 16sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  Fin  ->  -.  x  ~~  om )
181, 12, 173syl 19 . . . . . . 7  |-  ( A 
~<  om  ->  -.  x  ~~  om )
1918con2i 114 . . . . . 6  |-  ( x 
~~  om  ->  -.  A  ~<  om )
20 sdomentr 7241 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<  x  /\  x  ~~  om )  ->  A  ~<  om )
2120expcom 425 . . . . . 6  |-  ( x 
~~  om  ->  ( A 
~<  x  ->  A  ~<  om ) )
2219, 21mtod 170 . . . . 5  |-  ( x 
~~  om  ->  -.  A  ~<  x )
23 vex 2959 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
24 difss 3474 . . . . . . 7  |-  ( x 
\  { (/) } ) 
C_  x
252, 24eqsstri 3378 . . . . . 6  |-  A  C_  x
26 ssdomg 7153 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  ( A  C_  x  ->  A  ~<_  x ) )
2723, 25, 26mp2 9 . . . . 5  |-  A  ~<_  x
2822, 27jctil 524 . . . 4  |-  ( x 
~~  om  ->  ( A  ~<_  x  /\  -.  A  ~<  x ) )
29 bren2 7138 . . . 4  |-  ( A 
~~  x  <->  ( A  ~<_  x  /\  -.  A  ~<  x ) )
3028, 29sylibr 204 . . 3  |-  ( x 
~~  om  ->  A  ~~  x )
31 entr 7159 . . 3  |-  ( ( A  ~~  x  /\  x  ~~  om )  ->  A  ~~  om )
3230, 31mpancom 651 . 2  |-  ( x 
~~  om  ->  A  ~~  om )
33 ensym 7156 . 2  |-  ( A 
~~  om  ->  om  ~~  A )
34 bren 7117 . . 3  |-  ( om 
~~  A  <->  E. f 
f : om -1-1-onto-> A )
35 f1of 5674 . . . . . . . 8  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  f : om
--> A )
36 peano1 4864 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  om
37 ffvelrn 5868 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : om --> A  /\  (/) 
e.  om )  ->  (
f `  (/) )  e.  A )
3835, 36, 37sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  ( f `  (/) )  e.  A
)
39 eldifn 3470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  (/) )  e.  ( x  \  { (/)
} )  ->  -.  ( f `  (/) )  e. 
{ (/) } )
4039, 2eleq2s 2528 . . . . . . . 8  |-  ( ( f `  (/) )  e.  A  ->  -.  (
f `  (/) )  e. 
{ (/) } )
41 fvex 5742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f `
 (/) )  e.  _V
4241elsnc 3837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  (/) )  e. 
{ (/) }  <->  ( f `  (/) )  =  (/) )
4342notbii 288 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( f `  (/) )  e. 
{ (/) }  <->  -.  (
f `  (/) )  =  (/) )
44 neq0 3638 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( f `  (/) )  =  (/) 
<->  E. c  c  e.  ( f `  (/) ) )
4543, 44bitr2i 242 . . . . . . . 8  |-  ( E. c  c  e.  ( f `  (/) )  <->  -.  (
f `  (/) )  e. 
{ (/) } )
4640, 45sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( f `  (/) )  e.  A  ->  E. c 
c  e.  ( f `
 (/) ) )
4738, 46syl 16 . . . . . 6  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  E. c 
c  e.  ( f `
 (/) ) )
48 elunii 4020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  ( f `
 (/) )  /\  (
f `  (/) )  e.  A )  ->  c  e.  U. A )
4938, 48sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  ( f `
 (/) )  /\  f : om -1-1-onto-> A )  ->  c  e.  U. A )
5035ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  n  e. 
om )  ->  (
f `  n )  e.  A )
51 difabs 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  \  { (/) } )  \  { (/) } )  =  ( x 
\  { (/) } )
522difeq1i 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
\  { (/) } )  =  ( ( x 
\  { (/) } ) 
\  { (/) } )
5351, 52, 23eqtr4i 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A 
\  { (/) } )  =  A
54 pwuni 4395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  A  C_  ~P U. A
55 ssdif 3482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
C_  ~P U. A  -> 
( A  \  { (/)
} )  C_  ( ~P U. A  \  { (/)
} ) )
5654, 55ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A 
\  { (/) } ) 
C_  ( ~P U. A  \  { (/) } )
5753, 56eqsstr3i 3379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A  C_  ( ~P U. A  \  { (/) } )
5857sseli 3344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  (
f `  n )  e.  ( ~P U. A  \  { (/) } ) )
5958ralrimivw 2790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  A. y  e.  U. A ( f `
 n )  e.  ( ~P U. A  \  { (/) } ) )
6050, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  n  e. 
om )  ->  A. y  e.  U. A ( f `
 n )  e.  ( ~P U. A  \  { (/) } ) )
6160ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  A. n  e.  om  A. y  e. 
U. A ( f `
 n )  e.  ( ~P U. A  \  { (/) } ) )
62 axcclem.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( n  e.  om ,  y  e.  U. A  |->  ( f `  n
) )
6362fmpt2 6418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  om  A. y  e.  U. A ( f `
 n )  e.  ( ~P U. A  \  { (/) } )  <->  F :
( om  X.  U. A ) --> ( ~P
U. A  \  { (/)
} ) )
6461, 63sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  F :
( om  X.  U. A ) --> ( ~P
U. A  \  { (/)
} ) )
6564adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  ( f `
 (/) )  /\  f : om -1-1-onto-> A )  ->  F : ( om  X.  U. A ) --> ( ~P
U. A  \  { (/)
} ) )
66 difexg 4351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  \  { (/) } )  e.  _V )
6723, 66ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
\  { (/) } )  e.  _V
682, 67eqeltri 2506 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  e. 
_V
6968uniex 4705 . . . . . . . . . . 11  |-  U. A  e.  _V
7069axdc4 8336 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  U. A  /\  F : ( om 
X.  U. A ) --> ( ~P U. A  \  { (/) } ) )  ->  E. h ( h : om --> U. A  /\  ( h `  (/) )  =  c  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )
7149, 65, 70syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  ( f `
 (/) )  /\  f : om -1-1-onto-> A )  ->  E. h
( h : om --> U. A  /\  (
h `  (/) )  =  c  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )
72 3simpb 955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  ( h `  (/) )  =  c  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) )  ->  ( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) ) ) )
7372eximi 1585 . . . . . . . . 9  |-  ( E. h ( h : om --> U. A  /\  (
h `  (/) )  =  c  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) )  ->  E. h
( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )
7471, 73syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  e.  ( f `
 (/) )  /\  f : om -1-1-onto-> A )  ->  E. h
( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )
7574ex 424 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  ( f `  (/) )  ->  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  E. h
( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) ) )
7675exlimiv 1644 . . . . . 6  |-  ( E. c  c  e.  ( f `  (/) )  -> 
( f : om -1-1-onto-> A  ->  E. h ( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) ) )
7747, 76mpcom 34 . . . . 5  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  E. h
( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )
78 elsn 3829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  { (/) }  <->  z  =  (/) )
7978necon3bbii 2632 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  z  e.  { (/) }  <-> 
z  =/=  (/) )
802eleq2i 2500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  A  <->  z  e.  ( x  \  { (/) } ) )
81 eldif 3330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( x  \  { (/) } )  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  { (/) } ) )
8280, 81bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  A  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  { (/) } ) )
8382biimpri 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  { (/) } )  ->  z  e.  A )
8479, 83sylan2br 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  z  e.  A )
85 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  z  e.  A )  ->  f : om -1-1-onto-> A )
86 f1ofo 5681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  f : om -onto-> A )
87 foelrn 5888 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : om -onto-> A  /\  z  e.  A
)  ->  E. i  e.  om  z  =  ( f `  i ) )
8886, 87sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  z  e.  A )  ->  E. i  e.  om  z  =  ( f `  i ) )
89 suceq 4646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  =  i  ->  suc  k  =  suc  i )
9089fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  =  i  ->  (
h `  suc  k )  =  ( h `  suc  i ) )
91 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  =  i  ->  k  =  i )
92 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  =  i  ->  (
h `  k )  =  ( h `  i ) )
9391, 92oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  =  i  ->  (
k F ( h `
 k ) )  =  ( i F ( h `  i
) ) )
9490, 93eleq12d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  i  ->  (
( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  <-> 
( h `  suc  i )  e.  ( i F ( h `
 i ) ) ) )
9594rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  om  ->  ( A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  ->  ( h `  suc  i )  e.  ( i F ( h `
 i ) ) ) )
96953ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  ( A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  ->  ( h `  suc  i )  e.  ( i F ( h `
 i ) ) ) )
9796imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) ) )  -> 
( h `  suc  i )  e.  ( i F ( h `
 i ) ) )
98973adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( h `  suc  i )  e.  ( i F ( h `
 i ) ) )
99 eqcom 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  =  ( f `  i )  <->  ( f `  i )  =  z )
100 f1ocnvfv 6016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  (
( f `  i
)  =  z  -> 
( `' f `  z )  =  i ) )
10199, 100syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  (
z  =  ( f `
 i )  -> 
( `' f `  z )  =  i ) )
1021013adant1 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  (
z  =  ( f `
 i )  -> 
( `' f `  z )  =  i ) )
103102imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( `' f `  z )  =  i )
104103eqcomd 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
i  =  ( `' f `  z ) )
1051043adant2 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
i  =  ( `' f `  z ) )
106 suceq 4646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  ( `' f `
 z )  ->  suc  i  =  suc  ( `' f `  z
) )
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  ->  suc  i  =  suc  ( `' f `  z
) )
108107fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( h `  suc  i )  =  ( h `  suc  ( `' f `  z
) ) )
109 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  i  e.  om )  ->  i  e.  om )
110 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  i  e.  om )  ->  ( h `  i )  e.  U. A )
111 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  i  ->  (
f `  n )  =  ( f `  i ) )
112 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  ( h `  i )  ->  (
f `  i )  =  ( f `  i ) )
113 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f `
 i )  e. 
_V
114111, 112, 62, 113ovmpt2 6209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  om  /\  ( h `  i
)  e.  U. A
)  ->  ( i F ( h `  i ) )  =  ( f `  i
) )
115109, 110, 114syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  i  e.  om )  ->  ( i F ( h `  i
) )  =  ( f `  i ) )
1161153adant2 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  (
i F ( h `
 i ) )  =  ( f `  i ) )
1171163ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( i F ( h `  i ) )  =  ( f `
 i ) )
11898, 108, 1173eltr3d 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( h `  suc  ( `' f `  z
) )  e.  ( f `  i ) )
11935ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  (
f `  i )  e.  A )
1201193adant1 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  (
f `  i )  e.  A )
1211203ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( f `  i
)  e.  A )
122 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( f `  i )  ->  (
z  e.  A  <->  ( f `  i )  e.  A
) )
1231223ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( z  e.  A  <->  ( f `  i )  e.  A ) )
124121, 123mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
z  e.  A )
125 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  z  ->  ( `' f `  w
)  =  ( `' f `  z ) )
126 suceq 4646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( `' f `  w
)  =  ( `' f `  z )  ->  suc  ( `' f `  w )  =  suc  ( `' f `
 z ) )
127125, 126syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  z  ->  suc  ( `' f `  w
)  =  suc  ( `' f `  z
) )
128127fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  z  ->  (
h `  suc  ( `' f `  w ) )  =  ( h `
 suc  ( `' f `  z )
) )
129 axcclem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  G  =  ( w  e.  A  |->  ( h `  suc  ( `' f `  w
) ) )
130 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h `
 suc  ( `' f `  z )
)  e.  _V
131128, 129, 130fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  A  ->  ( G `  z )  =  ( h `  suc  ( `' f `  z ) ) )
132124, 131syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( G `  z
)  =  ( h `
 suc  ( `' f `  z )
) )
133 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
z  =  ( f `
 i ) )
134118, 132, 1333eltr4d 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( G `  z
)  e.  z )
1351343exp 1152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  ( A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  ->  ( z  =  ( f `  i
)  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) )
136135com3r 75 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( f `  i )  ->  (
( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  ( A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) )
1371363expd 1170 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( f `  i )  ->  (
h : om --> U. A  ->  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  ( i  e.  om  ->  ( A. k  e. 
om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) ) ) )
138137com4r 82 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  om  ->  (
z  =  ( f `
 i )  -> 
( h : om --> U. A  ->  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  ( A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) ) ) )
139138rexlimiv 2824 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. i  e.  om  z  =  ( f `  i )  ->  (
h : om --> U. A  ->  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  ( A. k  e. 
om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) ) )
14088, 139syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  z  e.  A )  ->  (
h : om --> U. A  ->  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  ( A. k  e. 
om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) ) )
14185, 140mpid 39 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  z  e.  A )  ->  (
h : om --> U. A  ->  ( A. k  e. 
om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) )
142141imp3a 421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  z  e.  A )  ->  (
( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) )  ->  ( G `  z )  e.  z ) )
143142impancom 428 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  ( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )  ->  (
z  e.  A  -> 
( G `  z
)  e.  z ) )
14484, 143syl5 30 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  ( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( G `  z
)  e.  z ) )
145144exp3a 426 . . . . . . 7  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  ( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  =/=  (/)  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) )
146145ralrimiv 2788 . . . . . 6  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  ( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( G `  z )  e.  z ) )
147 fvrn0 5753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h `
 suc  ( `' f `  w )
)  e.  ( ran  h  u.  { (/) } )
148147rgenw 2773 . . . . . . . . . 10  |-  A. w  e.  A  ( h `  suc  ( `' f `
 w ) )  e.  ( ran  h  u.  { (/) } )
149 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  A  |->  ( h `
 suc  ( `' f `  w )
) )  =  ( w  e.  A  |->  ( h `  suc  ( `' f `  w
) ) )
150149fmpt 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. w  e.  A  (
h `  suc  ( `' f `  w ) )  e.  ( ran  h  u.  { (/) } )  <->  ( w  e.  A  |->  ( h `  suc  ( `' f `  w ) ) ) : A --> ( ran  h  u.  { (/) } ) )
151148, 150mpbi 200 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  A  |->  ( h `
 suc  ( `' f `  w )
) ) : A --> ( ran  h  u.  { (/)
} )
152 vex 2959 . . . . . . . . . . 11  |-  h  e. 
_V
153152rnex 5133 . . . . . . . . . 10  |-  ran  h  e.  _V
154 p0ex 4386 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) }  e.  _V
155153, 154unex 4707 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  h  u.  { (/) } )  e.  _V
156 fex2 5603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  e.  A  |->  ( h `  suc  ( `' f `  w
) ) ) : A --> ( ran  h  u.  { (/) } )  /\  A  e.  _V  /\  ( ran  h  u.  { (/) } )  e.  _V )  ->  ( w  e.  A  |->  ( h `  suc  ( `' f `  w
) ) )  e. 
_V )
157151, 68, 155, 156mp3an 1279 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  A  |->  ( h `
 suc  ( `' f `  w )
) )  e.  _V
158129, 157eqeltri 2506 . . . . . . 7  |-  G  e. 
_V
159 fveq1 5727 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  z )  =  ( G `  z ) )
160159eleq1d 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
( g `  z
)  e.  z  <->  ( G `  z )  e.  z ) )
161160imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  (
g `  z )  e.  z )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) )
162161ralbidv 2725 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
g `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) )
163158, 162spcev 3043 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  ( G `  z )  e.  z )  ->  E. g A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
g `  z )  e.  z ) )
164146, 163syl 16 . . . . 5  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  ( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )  ->  E. g A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
g `  z )  e.  z ) )
16577, 164exlimddv 1648 . . . 4  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  E. g A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
g `  z )  e.  z ) )
166165exlimiv 1644 . . 3  |-  ( E. f  f : om -1-1-onto-> A  ->  E. g A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( g `  z )  e.  z ) )
16734, 166sylbi 188 . 2  |-  ( om 
~~  A  ->  E. g A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
g `  z )  e.  z ) )
16832, 33, 1673syl 19 1  |-  ( x 
~~  om  ->  E. g A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
g `  z )  e.  z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    u. cun 3318    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   {csn 3814   U.cuni 4015   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   suc csuc 4583   omcom 4845    X. cxp 4876   `'ccnv 4877   ran crn 4879   -->wf 5450   -onto->wfo 5452   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083    ~~ cen 7106    ~<_ cdom 7107    ~< csdm 7108   Fincfn 7109
This theorem is referenced by:  axcc  8338
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-dc 8326
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113
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