Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axcgrrflx Unicode version

Theorem axcgrrflx 23903
Description:  A is as far from  B as  B is from  A. Axiom A1 of [Schwabhauser] p. 10. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axcgrrflx  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. B ,  A >. )

Proof of Theorem axcgrrflx
StepHypRef Expression
1 fveecn 23891 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
2 fveecn 23891 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  i )  e.  CC )
3 sqsubswap 11117 . . . . . 6  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( B `  i )  e.  CC )  -> 
( ( ( A `
 i )  -  ( B `  i ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( B `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 ) )
41, 2, 3syl2an 465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( B  e.  ( EE `  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( ( A `
 i )  -  ( B `  i ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( B `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 ) )
54anandirs 807 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 )  =  ( ( ( B `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 ) )
65sumeq2dv 12127 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) )
7 id 21 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) ) )
8 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
9 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
10 brcgr 23889 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( <. A ,  B >.Cgr
<. B ,  A >.  <->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
117, 8, 9, 10syl12anc 1185 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( <. A ,  B >.Cgr
<. B ,  A >.  <->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
126, 11mpbird 225 . 2  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. B ,  A >. )
13123adant1 978 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. B ,  A >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   <.cop 3603   class class class wbr 3983   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   CCcc 8689   1c1 8692    - cmin 8991   NNcn 9700   2c2 9749   ...cfz 10734   ^cexp 11056   sum_csu 12109   EEcee 23877  Cgrccgr 23879
This theorem is referenced by:  cgrrflx2d  23968  cgrrflx  23971  endofsegid  24069
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-er 6614  df-map 6728  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-n 9701  df-2 9758  df-n0 9919  df-z 9978  df-uz 10184  df-fz 10735  df-seq 10999  df-exp 11057  df-sum 12110  df-ee 23880  df-cgr 23882
  Copyright terms: Public domain W3C validator