MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcnex Unicode version

Theorem axcnex 8785
Description: The complex numbers form a set. This axiom is redundant in the presence of the other axioms (see cnexALT 10366), but the proof requires the axiom of replacement, while the derivation from the construction here does not. Thus, we can avoid ax-rep 4147 in later theorems by invoking the axiom ax-cnex 8809 instead of cnexALT 10366. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axcnex  |-  CC  e.  _V

Proof of Theorem axcnex
StepHypRef Expression
1 df-c 8759 . 2  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
2 df-nr 8698 . . . 4  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
3 npex 8626 . . . . . . 7  |-  P.  e.  _V
43, 3xpex 4817 . . . . . 6  |-  ( P. 
X.  P. )  e.  _V
54pwex 4209 . . . . 5  |-  ~P ( P.  X.  P. )  e. 
_V
6 enrer 8706 . . . . . . . 8  |-  ~R  Er  ( P.  X.  P. )
76a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ~R  Er  ( P. 
X.  P. ) )
87qsss 6736 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  C_ 
~P ( P.  X.  P. ) )
98trud 1314 . . . . 5  |-  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  C_  ~P ( P.  X.  P. )
105, 9ssexi 4175 . . . 4  |-  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  e.  _V
112, 10eqeltri 2366 . . 3  |-  R.  e.  _V
1211, 11xpex 4817 . 2  |-  ( R. 
X.  R. )  e.  _V
131, 12eqeltri 2366 1  |-  CC  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    T. wtru 1307    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638    X. cxp 4703    Er wer 6673   /.cqs 6675   P.cnp 8497    ~R cer 8504   R.cnr 8505   CCcc 8751
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-ni 8512  df-pli 8513  df-mi 8514  df-lti 8515  df-plpq 8548  df-mpq 8549  df-ltpq 8550  df-enq 8551  df-nq 8552  df-erq 8553  df-plq 8554  df-mq 8555  df-1nq 8556  df-rq 8557  df-ltnq 8558  df-np 8621  df-plp 8623  df-ltp 8625  df-enr 8697  df-nr 8698  df-c 8759
  Copyright terms: Public domain W3C validator