MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcnex Structured version   Unicode version

Theorem axcnex 9014
Description: The complex numbers form a set. This axiom is redundant in the presence of the other axioms (see cnexALT 10600), but the proof requires the axiom of replacement, while the derivation from the construction here does not. Thus, we can avoid ax-rep 4312 in later theorems by invoking the axiom ax-cnex 9038 instead of cnexALT 10600. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axcnex  |-  CC  e.  _V

Proof of Theorem axcnex
StepHypRef Expression
1 df-c 8988 . 2  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
2 df-nr 8927 . . . 4  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
3 npex 8855 . . . . . . 7  |-  P.  e.  _V
43, 3xpex 4982 . . . . . 6  |-  ( P. 
X.  P. )  e.  _V
54pwex 4374 . . . . 5  |-  ~P ( P.  X.  P. )  e. 
_V
6 enrer 8935 . . . . . . . 8  |-  ~R  Er  ( P.  X.  P. )
76a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ~R  Er  ( P. 
X.  P. ) )
87qsss 6957 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  C_ 
~P ( P.  X.  P. ) )
98trud 1332 . . . . 5  |-  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  C_  ~P ( P.  X.  P. )
105, 9ssexi 4340 . . . 4  |-  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  e.  _V
112, 10eqeltri 2505 . . 3  |-  R.  e.  _V
1211, 11xpex 4982 . 2  |-  ( R. 
X.  R. )  e.  _V
131, 12eqeltri 2505 1  |-  CC  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    T. wtru 1325    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791    X. cxp 4868    Er wer 6894   /.cqs 6896   P.cnp 8726    ~R cer 8733   R.cnr 8734   CCcc 8980
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-ni 8741  df-pli 8742  df-mi 8743  df-lti 8744  df-plpq 8777  df-mpq 8778  df-ltpq 8779  df-enq 8780  df-nq 8781  df-erq 8782  df-plq 8783  df-mq 8784  df-1nq 8785  df-rq 8786  df-ltnq 8787  df-np 8850  df-plp 8852  df-ltp 8854  df-enr 8926  df-nr 8927  df-c 8988
  Copyright terms: Public domain W3C validator