MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcnex Unicode version

Theorem axcnex 8702
Description: The complex numbers form a set. This axiom is redundant in the presence of the other axioms (see cnexALT 10282), but the proof requires the axiom of replacement, while the derivation from the construction here does not. Thus we can avoid ax-rep 4071 in later theorems by invoking the axiom ax-cnex 8726 instead of cnexALT 10282. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axcnex  |-  CC  e.  _V

Proof of Theorem axcnex
StepHypRef Expression
1 df-c 8676 . 2  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
2 df-nr 8615 . . . 4  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
3 npex 8543 . . . . . . 7  |-  P.  e.  _V
43, 3xpex 4754 . . . . . 6  |-  ( P. 
X.  P. )  e.  _V
54pwex 4131 . . . . 5  |-  ~P ( P.  X.  P. )  e. 
_V
6 enrer 8623 . . . . . . . 8  |-  ~R  Er  ( P.  X.  P. )
76a1i 12 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ~R  Er  ( P. 
X.  P. ) )
87qsss 6653 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  C_ 
~P ( P.  X.  P. ) )
98trud 1320 . . . . 5  |-  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  C_  ~P ( P.  X.  P. )
105, 9ssexi 4099 . . . 4  |-  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  e.  _V
112, 10eqeltri 2326 . . 3  |-  R.  e.  _V
1211, 11xpex 4754 . 2  |-  ( R. 
X.  R. )  e.  _V
131, 12eqeltri 2326 1  |-  CC  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    T. wtru 1312    e. wcel 1621   _Vcvv 2740    C_ wss 3094   ~Pcpw 3566    X. cxp 4624    Er wer 6590   /.cqs 6592   P.cnp 8414    ~R cer 8421   R.cnr 8422   CCcc 8668
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-omul 6417  df-er 6593  df-ec 6595  df-qs 6599  df-ni 8429  df-pli 8430  df-mi 8431  df-lti 8432  df-plpq 8465  df-mpq 8466  df-ltpq 8467  df-enq 8468  df-nq 8469  df-erq 8470  df-plq 8471  df-mq 8472  df-1nq 8473  df-rq 8474  df-ltnq 8475  df-np 8538  df-plp 8540  df-ltp 8542  df-enr 8614  df-nr 8615  df-c 8676
  Copyright terms: Public domain W3C validator