MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcnre Structured version   Unicode version

Theorem axcnre 9041
Description: A complex number can be expressed in terms of two reals. Definition 10-1.1(v) of [Gleason] p. 130. Axiom 17 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-cnre 9065. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axcnre  |-  ( A  e.  CC  ->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem axcnre
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-c 8998 . 2  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
2 eqeq1 2444 . . 3  |-  ( <.
z ,  w >.  =  A  ->  ( <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  <-> 
A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
322rexbidv 2750 . 2  |-  ( <.
z ,  w >.  =  A  ->  ( E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  <->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
4 opelreal 9007 . . . . . 6  |-  ( <.
z ,  0R >.  e.  RR  <->  z  e.  R. )
5 opelreal 9007 . . . . . 6  |-  ( <.
w ,  0R >.  e.  RR  <->  w  e.  R. )
64, 5anbi12i 680 . . . . 5  |-  ( (
<. z ,  0R >.  e.  RR  /\  <. w ,  0R >.  e.  RR ) 
<->  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)
76biimpri 199 . . . 4  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( <. z ,  0R >.  e.  RR  /\  <. w ,  0R >.  e.  RR ) )
8 df-i 9001 . . . . . . . . 9  |-  _i  =  <. 0R ,  1R >.
98oveq1i 6093 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  <. w ,  0R >. )  =  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. w ,  0R >. )
10 0r 8957 . . . . . . . . . 10  |-  0R  e.  R.
11 1sr 8958 . . . . . . . . . . 11  |-  1R  e.  R.
12 mulcnsr 9013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0R  e.  R.  /\ 
1R  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  0R  e.  R. )
)  ->  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. w ,  0R >. )  =  <. ( ( 0R 
.R  w )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  w )  +R  ( 0R  .R  0R ) ) >. )
1310, 11, 12mpanl12 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  -> 
( <. 0R ,  1R >.  x.  <. w ,  0R >. )  =  <. (
( 0R  .R  w
)  +R  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  w )  +R  ( 0R  .R  0R ) )
>. )
1410, 13mpan2 654 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  R.  ->  ( <. 0R ,  1R >.  x. 
<. w ,  0R >. )  =  <. ( ( 0R 
.R  w )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  w )  +R  ( 0R  .R  0R ) ) >. )
15 mulcomsr 8966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0R 
.R  w )  =  ( w  .R  0R )
16 00sr 8976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  R.  ->  (
w  .R  0R )  =  0R )
1715, 16syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  R.  ->  ( 0R  .R  w )  =  0R )
1817oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  R.  ->  (
( 0R  .R  w
)  +R  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) ) )  =  ( 0R  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  0R ) ) ) )
19 00sr 8976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1R  e.  R.  ->  ( 1R  .R  0R )  =  0R )
2011, 19ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1R 
.R  0R )  =  0R
2120oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) )  =  ( -1R  .R  0R )
22 m1r 8959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -1R  e.  R.
23 00sr 8976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
.R  0R )  =  0R )
2422, 23ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -1R 
.R  0R )  =  0R
2521, 24eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) )  =  0R
2625oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0R 
+R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  0R ) ) )  =  ( 0R  +R  0R )
27 0idsr 8974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  +R  0R )  =  0R )
2810, 27ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0R 
+R  0R )  =  0R
2926, 28eqtri 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0R 
+R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  0R ) ) )  =  0R
3018, 29syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  R.  ->  (
( 0R  .R  w
)  +R  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) ) )  =  0R )
31 mulcomsr 8966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1R 
.R  w )  =  ( w  .R  1R )
32 1idsr 8975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  R.  ->  (
w  .R  1R )  =  w )
3331, 32syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  R.  ->  ( 1R  .R  w )  =  w )
3433oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  R.  ->  (
( 1R  .R  w
)  +R  ( 0R 
.R  0R ) )  =  ( w  +R  ( 0R  .R  0R ) ) )
35 00sr 8976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  .R  0R )  =  0R )
3610, 35ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0R 
.R  0R )  =  0R
3736oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  +R  ( 0R  .R  0R ) )  =  ( w  +R  0R )
38 0idsr 8974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  R.  ->  (
w  +R  0R )  =  w )
3937, 38syl5eq 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  R.  ->  (
w  +R  ( 0R 
.R  0R ) )  =  w )
4034, 39eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  R.  ->  (
( 1R  .R  w
)  +R  ( 0R 
.R  0R ) )  =  w )
4130, 40opeq12d 3994 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  R.  ->  <. (
( 0R  .R  w
)  +R  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  w )  +R  ( 0R  .R  0R ) )
>.  =  <. 0R ,  w >. )
4214, 41eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  R.  ->  ( <. 0R ,  1R >.  x. 
<. w ,  0R >. )  =  <. 0R ,  w >. )
439, 42syl5eq 2482 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  R.  ->  (
_i  x.  <. w ,  0R >. )  =  <. 0R ,  w >. )
4443oveq2d 6099 . . . . . 6  |-  ( w  e.  R.  ->  ( <. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. )
)  =  ( <.
z ,  0R >.  + 
<. 0R ,  w >. ) )
4544adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( <. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. ) )  =  ( <.
z ,  0R >.  + 
<. 0R ,  w >. ) )
46 addcnsr 9012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  /\  ( 0R  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. 0R ,  w >. )  =  <. ( z  +R  0R ) ,  ( 0R  +R  w )
>. )
4710, 46mpanl2 664 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  R.  /\  ( 0R  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. 0R ,  w >. )  =  <. ( z  +R  0R ) ,  ( 0R  +R  w )
>. )
4810, 47mpanr1 666 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. 0R ,  w >. )  =  <. (
z  +R  0R ) ,  ( 0R  +R  w ) >. )
49 0idsr 8974 . . . . . 6  |-  ( z  e.  R.  ->  (
z  +R  0R )  =  z )
50 addcomsr 8964 . . . . . . 7  |-  ( 0R 
+R  w )  =  ( w  +R  0R )
5150, 38syl5eq 2482 . . . . . 6  |-  ( w  e.  R.  ->  ( 0R  +R  w )  =  w )
52 opeq12 3988 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  +R  0R )  =  z  /\  ( 0R  +R  w
)  =  w )  ->  <. ( z  +R  0R ) ,  ( 0R  +R  w )
>.  =  <. z ,  w >. )
5349, 51, 52syl2an 465 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  -> 
<. ( z  +R  0R ) ,  ( 0R  +R  w ) >.  =  <. z ,  w >. )
5445, 48, 533eqtrrd 2475 . . . 4  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  -> 
<. z ,  w >.  =  ( <. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. ) ) )
55 opex 4429 . . . . 5  |-  <. z ,  0R >.  e.  _V
56 opex 4429 . . . . 5  |-  <. w ,  0R >.  e.  _V
57 eleq1 2498 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( x  e.  RR  <->  <. z ,  0R >.  e.  RR ) )
58 eleq1 2498 . . . . . . 7  |-  ( y  =  <. w ,  0R >.  ->  ( y  e.  RR  <->  <. w ,  0R >.  e.  RR ) )
5957, 58bi2anan9 845 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  ->  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  <->  (
<. z ,  0R >.  e.  RR  /\  <. w ,  0R >.  e.  RR ) ) )
60 oveq1 6090 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  =  (
<. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  y
) ) )
61 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. w ,  0R >.  ->  ( _i  x.  y )  =  ( _i  x.  <. w ,  0R >. ) )
6261oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. w ,  0R >.  ->  ( <. z ,  0R >.  +  (
_i  x.  y )
)  =  ( <.
z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. )
) )
6360, 62sylan9eq 2490 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  ->  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  =  ( <. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. ) ) )
6463eqeq2d 2449 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  ->  ( <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  <->  <. z ,  w >.  =  ( <. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. ) ) ) )
6559, 64anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  ->  ( (
( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) )  <->  ( ( <. z ,  0R >.  e.  RR  /\  <. w ,  0R >.  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( <. z ,  0R >.  +  (
_i  x.  <. w ,  0R >. ) ) ) ) )
6655, 56, 65spc2ev 3046 . . . 4  |-  ( ( ( <. z ,  0R >.  e.  RR  /\  <. w ,  0R >.  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( <. z ,  0R >.  +  (
_i  x.  <. w ,  0R >. ) ) )  ->  E. x E. y
( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
677, 54, 66syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  E. x E. y
( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
68 r2ex 2745 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  <. z ,  w >.  =  (
x  +  ( _i  x.  y ) )  <->  E. x E. y ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) ) )
6967, 68sylibr 205 . 2  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
701, 3, 69optocl 4954 1  |-  ( A  e.  CC  ->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   <.cop 3819  (class class class)co 6083   R.cnr 8744   0Rc0r 8745   1Rc1r 8746   -1Rcm1r 8747    +R cplr 8748    .R cmr 8749   CCcc 8990   RRcr 8991   _ici 8994    + caddc 8995    x. cmul 8997
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-ec 6909  df-qs 6913  df-ni 8751  df-pli 8752  df-mi 8753  df-lti 8754  df-plpq 8787  df-mpq 8788  df-ltpq 8789  df-enq 8790  df-nq 8791  df-erq 8792  df-plq 8793  df-mq 8794  df-1nq 8795  df-rq 8796  df-ltnq 8797  df-np 8860  df-1p 8861  df-plp 8862  df-mp 8863  df-ltp 8864  df-plpr 8934  df-mpr 8935  df-enr 8936  df-nr 8937  df-plr 8938  df-mr 8939  df-0r 8941  df-1r 8942  df-m1r 8943  df-c 8998  df-i 9001  df-r 9002  df-add 9003  df-mul 9004
  Copyright terms: Public domain W3C validator