MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcnre Unicode version

Theorem axcnre 8781
Description: A complex number can be expressed in terms of two reals. Definition 10-1.1(v) of [Gleason] p. 130. Axiom 17 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-cnre 8805. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axcnre  |-  ( A  e.  CC  ->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, A
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem axcnre
StepHypRef Expression
1 df-c 8738 . 2  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
2 eqeq1 2290 . . 3  |-  ( <.
z ,  w >.  =  A  ->  ( <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  <-> 
A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
322rexbidv 2587 . 2  |-  ( <.
z ,  w >.  =  A  ->  ( E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  <->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
4 opelreal 8747 . . . . . 6  |-  ( <.
z ,  0R >.  e.  RR  <->  z  e.  R. )
5 opelreal 8747 . . . . . 6  |-  ( <.
w ,  0R >.  e.  RR  <->  w  e.  R. )
64, 5anbi12i 680 . . . . 5  |-  ( (
<. z ,  0R >.  e.  RR  /\  <. w ,  0R >.  e.  RR ) 
<->  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)
76biimpri 199 . . . 4  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( <. z ,  0R >.  e.  RR  /\  <. w ,  0R >.  e.  RR ) )
8 df-i 8741 . . . . . . . . 9  |-  _i  =  <. 0R ,  1R >.
98oveq1i 5829 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  <. w ,  0R >. )  =  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. w ,  0R >. )
10 0r 8697 . . . . . . . . . 10  |-  0R  e.  R.
11 1sr 8698 . . . . . . . . . . 11  |-  1R  e.  R.
12 mulcnsr 8753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0R  e.  R.  /\ 
1R  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  0R  e.  R. )
)  ->  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. w ,  0R >. )  =  <. ( ( 0R 
.R  w )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  w )  +R  ( 0R  .R  0R ) ) >. )
1310, 11, 12mpanl12 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  -> 
( <. 0R ,  1R >.  x.  <. w ,  0R >. )  =  <. (
( 0R  .R  w
)  +R  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  w )  +R  ( 0R  .R  0R ) )
>. )
1410, 13mpan2 654 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  R.  ->  ( <. 0R ,  1R >.  x. 
<. w ,  0R >. )  =  <. ( ( 0R 
.R  w )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  w )  +R  ( 0R  .R  0R ) ) >. )
15 mulcomsr 8706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0R 
.R  w )  =  ( w  .R  0R )
16 00sr 8716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  R.  ->  (
w  .R  0R )  =  0R )
1715, 16syl5eq 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  R.  ->  ( 0R  .R  w )  =  0R )
1817oveq1d 5834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  R.  ->  (
( 0R  .R  w
)  +R  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) ) )  =  ( 0R  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  0R ) ) ) )
19 00sr 8716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1R  e.  R.  ->  ( 1R  .R  0R )  =  0R )
2011, 19ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1R 
.R  0R )  =  0R
2120oveq2i 5830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) )  =  ( -1R  .R  0R )
22 m1r 8699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -1R  e.  R.
23 00sr 8716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
.R  0R )  =  0R )
2422, 23ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -1R 
.R  0R )  =  0R
2521, 24eqtri 2304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) )  =  0R
2625oveq2i 5830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0R 
+R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  0R ) ) )  =  ( 0R  +R  0R )
27 0idsr 8714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  +R  0R )  =  0R )
2810, 27ax-mp 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0R 
+R  0R )  =  0R
2926, 28eqtri 2304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0R 
+R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  0R ) ) )  =  0R
3018, 29syl6eq 2332 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  R.  ->  (
( 0R  .R  w
)  +R  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) ) )  =  0R )
31 mulcomsr 8706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1R 
.R  w )  =  ( w  .R  1R )
32 1idsr 8715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  R.  ->  (
w  .R  1R )  =  w )
3331, 32syl5eq 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  R.  ->  ( 1R  .R  w )  =  w )
3433oveq1d 5834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  R.  ->  (
( 1R  .R  w
)  +R  ( 0R 
.R  0R ) )  =  ( w  +R  ( 0R  .R  0R ) ) )
35 00sr 8716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  .R  0R )  =  0R )
3610, 35ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0R 
.R  0R )  =  0R
3736oveq2i 5830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  +R  ( 0R  .R  0R ) )  =  ( w  +R  0R )
38 0idsr 8714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  R.  ->  (
w  +R  0R )  =  w )
3937, 38syl5eq 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  R.  ->  (
w  +R  ( 0R 
.R  0R ) )  =  w )
4034, 39eqtrd 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  R.  ->  (
( 1R  .R  w
)  +R  ( 0R 
.R  0R ) )  =  w )
4130, 40opeq12d 3805 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  R.  ->  <. (
( 0R  .R  w
)  +R  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  w )  +R  ( 0R  .R  0R ) )
>.  =  <. 0R ,  w >. )
4214, 41eqtrd 2316 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  R.  ->  ( <. 0R ,  1R >.  x. 
<. w ,  0R >. )  =  <. 0R ,  w >. )
439, 42syl5eq 2328 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  R.  ->  (
_i  x.  <. w ,  0R >. )  =  <. 0R ,  w >. )
4443oveq2d 5835 . . . . . 6  |-  ( w  e.  R.  ->  ( <. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. )
)  =  ( <.
z ,  0R >.  + 
<. 0R ,  w >. ) )
4544adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( <. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. ) )  =  ( <.
z ,  0R >.  + 
<. 0R ,  w >. ) )
46 addcnsr 8752 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  /\  ( 0R  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. 0R ,  w >. )  =  <. ( z  +R  0R ) ,  ( 0R  +R  w )
>. )
4710, 46mpanl2 664 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  R.  /\  ( 0R  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. 0R ,  w >. )  =  <. ( z  +R  0R ) ,  ( 0R  +R  w )
>. )
4810, 47mpanr1 666 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. 0R ,  w >. )  =  <. (
z  +R  0R ) ,  ( 0R  +R  w ) >. )
49 0idsr 8714 . . . . . 6  |-  ( z  e.  R.  ->  (
z  +R  0R )  =  z )
50 addcomsr 8704 . . . . . . 7  |-  ( 0R 
+R  w )  =  ( w  +R  0R )
5150, 38syl5eq 2328 . . . . . 6  |-  ( w  e.  R.  ->  ( 0R  +R  w )  =  w )
52 opeq12 3799 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  +R  0R )  =  z  /\  ( 0R  +R  w
)  =  w )  ->  <. ( z  +R  0R ) ,  ( 0R  +R  w )
>.  =  <. z ,  w >. )
5349, 51, 52syl2an 465 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  -> 
<. ( z  +R  0R ) ,  ( 0R  +R  w ) >.  =  <. z ,  w >. )
5445, 48, 533eqtrrd 2321 . . . 4  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  -> 
<. z ,  w >.  =  ( <. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. ) ) )
55 opex 4236 . . . . 5  |-  <. z ,  0R >.  e.  _V
56 opex 4236 . . . . 5  |-  <. w ,  0R >.  e.  _V
57 eleq1 2344 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( x  e.  RR  <->  <. z ,  0R >.  e.  RR ) )
58 eleq1 2344 . . . . . . 7  |-  ( y  =  <. w ,  0R >.  ->  ( y  e.  RR  <->  <. w ,  0R >.  e.  RR ) )
5957, 58bi2anan9 845 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  ->  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  <->  (
<. z ,  0R >.  e.  RR  /\  <. w ,  0R >.  e.  RR ) ) )
60 oveq1 5826 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  =  (
<. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  y
) ) )
61 oveq2 5827 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. w ,  0R >.  ->  ( _i  x.  y )  =  ( _i  x.  <. w ,  0R >. ) )
6261oveq2d 5835 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. w ,  0R >.  ->  ( <. z ,  0R >.  +  (
_i  x.  y )
)  =  ( <.
z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. )
) )
6360, 62sylan9eq 2336 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  ->  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  =  ( <. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. ) ) )
6463eqeq2d 2295 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  ->  ( <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  <->  <. z ,  w >.  =  ( <. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. ) ) ) )
6559, 64anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  ->  ( (
( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) )  <->  ( ( <. z ,  0R >.  e.  RR  /\  <. w ,  0R >.  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( <. z ,  0R >.  +  (
_i  x.  <. w ,  0R >. ) ) ) ) )
6655, 56, 65spc2ev 2877 . . . 4  |-  ( ( ( <. z ,  0R >.  e.  RR  /\  <. w ,  0R >.  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( <. z ,  0R >.  +  (
_i  x.  <. w ,  0R >. ) ) )  ->  E. x E. y
( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
677, 54, 66syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  E. x E. y
( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
68 r2ex 2582 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  <. z ,  w >.  =  (
x  +  ( _i  x.  y ) )  <->  E. x E. y ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) ) )
6967, 68sylibr 205 . 2  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
701, 3, 69optocl 4763 1  |-  ( A  e.  CC  ->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   E.wex 1529    = wceq 1624    e. wcel 1685   E.wrex 2545   <.cop 3644  (class class class)co 5819   R.cnr 8484   0Rc0r 8485   1Rc1r 8486   -1Rcm1r 8487    +R cplr 8488    .R cmr 8489   CCcc 8730   RRcr 8731   _ici 8734    + caddc 8735    x. cmul 8737
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-ec 6657  df-qs 6661  df-ni 8491  df-pli 8492  df-mi 8493  df-lti 8494  df-plpq 8527  df-mpq 8528  df-ltpq 8529  df-enq 8530  df-nq 8531  df-erq 8532  df-plq 8533  df-mq 8534  df-1nq 8535  df-rq 8536  df-ltnq 8537  df-np 8600  df-1p 8601  df-plp 8602  df-mp 8603  df-ltp 8604  df-plpr 8674  df-mpr 8675  df-enr 8676  df-nr 8677  df-plr 8678  df-mr 8679  df-0r 8681  df-1r 8682  df-m1r 8683  df-c 8738  df-i 8741  df-r 8742  df-add 8743  df-mul 8744
  Copyright terms: Public domain W3C validator