MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcnre Unicode version

Theorem axcnre 8663
Description: A complex number can be expressed in terms of two reals. Definition 10-1.1(v) of [Gleason] p. 130. Axiom 17 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-cnre 8687. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axcnre  |-  ( A  e.  CC  ->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem axcnre
StepHypRef Expression
1 df-c 8620 . 2  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
2 eqeq1 2259 . . 3  |-  ( <.
z ,  w >.  =  A  ->  ( <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  <-> 
A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
322rexbidv 2546 . 2  |-  ( <.
z ,  w >.  =  A  ->  ( E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  <->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
4 opelreal 8629 . . . . . 6  |-  ( <.
z ,  0R >.  e.  RR  <->  z  e.  R. )
5 opelreal 8629 . . . . . 6  |-  ( <.
w ,  0R >.  e.  RR  <->  w  e.  R. )
64, 5anbi12i 681 . . . . 5  |-  ( (
<. z ,  0R >.  e.  RR  /\  <. w ,  0R >.  e.  RR ) 
<->  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)
76biimpri 199 . . . 4  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( <. z ,  0R >.  e.  RR  /\  <. w ,  0R >.  e.  RR ) )
8 df-i 8623 . . . . . . . . 9  |-  _i  =  <. 0R ,  1R >.
98oveq1i 5717 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  <. w ,  0R >. )  =  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. w ,  0R >. )
10 0r 8579 . . . . . . . . . 10  |-  0R  e.  R.
11 1sr 8580 . . . . . . . . . . 11  |-  1R  e.  R.
12 mulcnsr 8635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0R  e.  R.  /\ 
1R  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  0R  e.  R. )
)  ->  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. w ,  0R >. )  =  <. ( ( 0R 
.R  w )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  w )  +R  ( 0R  .R  0R ) ) >. )
1310, 11, 12mpanl12 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  -> 
( <. 0R ,  1R >.  x.  <. w ,  0R >. )  =  <. (
( 0R  .R  w
)  +R  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  w )  +R  ( 0R  .R  0R ) )
>. )
1410, 13mpan2 655 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  R.  ->  ( <. 0R ,  1R >.  x. 
<. w ,  0R >. )  =  <. ( ( 0R 
.R  w )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  w )  +R  ( 0R  .R  0R ) ) >. )
15 mulcomsr 8588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0R 
.R  w )  =  ( w  .R  0R )
16 00sr 8598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  R.  ->  (
w  .R  0R )  =  0R )
1715, 16syl5eq 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  R.  ->  ( 0R  .R  w )  =  0R )
1817oveq1d 5722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  R.  ->  (
( 0R  .R  w
)  +R  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) ) )  =  ( 0R  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  0R ) ) ) )
19 00sr 8598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1R  e.  R.  ->  ( 1R  .R  0R )  =  0R )
2011, 19ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1R 
.R  0R )  =  0R
2120oveq2i 5718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) )  =  ( -1R  .R  0R )
22 m1r 8581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -1R  e.  R.
23 00sr 8598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
.R  0R )  =  0R )
2422, 23ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -1R 
.R  0R )  =  0R
2521, 24eqtri 2273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) )  =  0R
2625oveq2i 5718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0R 
+R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  0R ) ) )  =  ( 0R  +R  0R )
27 0idsr 8596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  +R  0R )  =  0R )
2810, 27ax-mp 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0R 
+R  0R )  =  0R
2926, 28eqtri 2273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0R 
+R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  0R ) ) )  =  0R
3018, 29syl6eq 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  R.  ->  (
( 0R  .R  w
)  +R  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) ) )  =  0R )
31 mulcomsr 8588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1R 
.R  w )  =  ( w  .R  1R )
32 1idsr 8597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  R.  ->  (
w  .R  1R )  =  w )
3331, 32syl5eq 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  R.  ->  ( 1R  .R  w )  =  w )
3433oveq1d 5722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  R.  ->  (
( 1R  .R  w
)  +R  ( 0R 
.R  0R ) )  =  ( w  +R  ( 0R  .R  0R ) ) )
35 00sr 8598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  .R  0R )  =  0R )
3610, 35ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0R 
.R  0R )  =  0R
3736oveq2i 5718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  +R  ( 0R  .R  0R ) )  =  ( w  +R  0R )
38 0idsr 8596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  R.  ->  (
w  +R  0R )  =  w )
3937, 38syl5eq 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  R.  ->  (
w  +R  ( 0R 
.R  0R ) )  =  w )
4034, 39eqtrd 2285 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  R.  ->  (
( 1R  .R  w
)  +R  ( 0R 
.R  0R ) )  =  w )
4130, 40opeq12d 3701 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  R.  ->  <. (
( 0R  .R  w
)  +R  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  w )  +R  ( 0R  .R  0R ) )
>.  =  <. 0R ,  w >. )
4214, 41eqtrd 2285 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  R.  ->  ( <. 0R ,  1R >.  x. 
<. w ,  0R >. )  =  <. 0R ,  w >. )
439, 42syl5eq 2297 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  R.  ->  (
_i  x.  <. w ,  0R >. )  =  <. 0R ,  w >. )
4443oveq2d 5723 . . . . . 6  |-  ( w  e.  R.  ->  ( <. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. )
)  =  ( <.
z ,  0R >.  + 
<. 0R ,  w >. ) )
4544adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( <. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. ) )  =  ( <.
z ,  0R >.  + 
<. 0R ,  w >. ) )
46 addcnsr 8634 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  /\  ( 0R  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. 0R ,  w >. )  =  <. ( z  +R  0R ) ,  ( 0R  +R  w )
>. )
4710, 46mpanl2 665 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  R.  /\  ( 0R  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. 0R ,  w >. )  =  <. ( z  +R  0R ) ,  ( 0R  +R  w )
>. )
4810, 47mpanr1 667 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. 0R ,  w >. )  =  <. (
z  +R  0R ) ,  ( 0R  +R  w ) >. )
49 0idsr 8596 . . . . . 6  |-  ( z  e.  R.  ->  (
z  +R  0R )  =  z )
50 addcomsr 8586 . . . . . . 7  |-  ( 0R 
+R  w )  =  ( w  +R  0R )
5150, 38syl5eq 2297 . . . . . 6  |-  ( w  e.  R.  ->  ( 0R  +R  w )  =  w )
52 opeq12 3695 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  +R  0R )  =  z  /\  ( 0R  +R  w
)  =  w )  ->  <. ( z  +R  0R ) ,  ( 0R  +R  w )
>.  =  <. z ,  w >. )
5349, 51, 52syl2an 465 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  -> 
<. ( z  +R  0R ) ,  ( 0R  +R  w ) >.  =  <. z ,  w >. )
5445, 48, 533eqtrrd 2290 . . . 4  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  -> 
<. z ,  w >.  =  ( <. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. ) ) )
55 opex 4127 . . . . 5  |-  <. z ,  0R >.  e.  _V
56 opex 4127 . . . . 5  |-  <. w ,  0R >.  e.  _V
57 eleq1 2313 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( x  e.  RR  <->  <. z ,  0R >.  e.  RR ) )
58 eleq1 2313 . . . . . . 7  |-  ( y  =  <. w ,  0R >.  ->  ( y  e.  RR  <->  <. w ,  0R >.  e.  RR ) )
5957, 58bi2anan9 848 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  ->  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  <->  (
<. z ,  0R >.  e.  RR  /\  <. w ,  0R >.  e.  RR ) ) )
60 oveq1 5714 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  =  (
<. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  y
) ) )
61 oveq2 5715 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. w ,  0R >.  ->  ( _i  x.  y )  =  ( _i  x.  <. w ,  0R >. ) )
6261oveq2d 5723 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. w ,  0R >.  ->  ( <. z ,  0R >.  +  (
_i  x.  y )
)  =  ( <.
z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. )
) )
6360, 62sylan9eq 2305 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  ->  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  =  ( <. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. ) ) )
6463eqeq2d 2264 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  ->  ( <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  <->  <. z ,  w >.  =  ( <. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. ) ) ) )
6559, 64anbi12d 694 . . . . 5  |-  ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  ->  ( (
( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) )  <->  ( ( <. z ,  0R >.  e.  RR  /\  <. w ,  0R >.  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( <. z ,  0R >.  +  (
_i  x.  <. w ,  0R >. ) ) ) ) )
6655, 56, 65cla42ev 2811 . . . 4  |-  ( ( ( <. z ,  0R >.  e.  RR  /\  <. w ,  0R >.  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( <. z ,  0R >.  +  (
_i  x.  <. w ,  0R >. ) ) )  ->  E. x E. y
( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
677, 54, 66syl2anc 645 . . 3  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  E. x E. y
( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
68 r2ex 2541 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  <. z ,  w >.  =  (
x  +  ( _i  x.  y ) )  <->  E. x E. y ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) ) )
6967, 68sylibr 205 . 2  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
701, 3, 69optocl 4668 1  |-  ( A  e.  CC  ->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2508   <.cop 3544  (class class class)co 5707   R.cnr 8366   0Rc0r 8367   1Rc1r 8368   -1Rcm1r 8369    +R cplr 8370    .R cmr 8371   CCcc 8612   RRcr 8613   _ici 8616    + caddc 8617    x. cmul 8619
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4035  ax-nul 4043  ax-pow 4079  ax-pr 4105  ax-un 4400  ax-inf2 7223
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2511  df-rex 2512  df-reu 2513  df-rab 2514  df-v 2727  df-sbc 2920  df-csb 3007  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3086  df-pss 3088  df-nul 3360  df-if 3468  df-pw 3529  df-sn 3547  df-pr 3548  df-tp 3549  df-op 3550  df-uni 3725  df-int 3758  df-iun 3802  df-br 3918  df-opab 3972  df-mpt 3973  df-tr 4008  df-eprel 4195  df-id 4199  df-po 4204  df-so 4205  df-fr 4242  df-we 4244  df-ord 4285  df-on 4286  df-lim 4287  df-suc 4288  df-om 4545  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-fun 4599  df-fn 4600  df-f 4601  df-f1 4602  df-fo 4603  df-f1o 4604  df-fv 4605  df-ov 5710  df-oprab 5711  df-mpt2 5712  df-1st 5971  df-2nd 5972  df-recs 6271  df-rdg 6306  df-1o 6362  df-oadd 6366  df-omul 6367  df-er 6543  df-ec 6545  df-qs 6549  df-ni 8373  df-pli 8374  df-mi 8375  df-lti 8376  df-plpq 8409  df-mpq 8410  df-ltpq 8411  df-enq 8412  df-nq 8413  df-erq 8414  df-plq 8415  df-mq 8416  df-1nq 8417  df-rq 8418  df-ltnq 8419  df-np 8482  df-1p 8483  df-plp 8484  df-mp 8485  df-ltp 8486  df-plpr 8556  df-mpr 8557  df-enr 8558  df-nr 8559  df-plr 8560  df-mr 8561  df-0r 8563  df-1r 8564  df-m1r 8565  df-c 8620  df-i 8623  df-r 8624  df-plus 8625  df-mul 8626
  Copyright terms: Public domain W3C validator