MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcnre Unicode version

Theorem axcnre 8754
Description: A complex number can be expressed in terms of two reals. Definition 10-1.1(v) of [Gleason] p. 130. Axiom 17 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-cnre 8778. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axcnre  |-  ( A  e.  CC  ->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem axcnre
StepHypRef Expression
1 df-c 8711 . 2  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
2 eqeq1 2264 . . 3  |-  ( <.
z ,  w >.  =  A  ->  ( <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  <-> 
A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
322rexbidv 2561 . 2  |-  ( <.
z ,  w >.  =  A  ->  ( E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  <->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
4 opelreal 8720 . . . . . 6  |-  ( <.
z ,  0R >.  e.  RR  <->  z  e.  R. )
5 opelreal 8720 . . . . . 6  |-  ( <.
w ,  0R >.  e.  RR  <->  w  e.  R. )
64, 5anbi12i 681 . . . . 5  |-  ( (
<. z ,  0R >.  e.  RR  /\  <. w ,  0R >.  e.  RR ) 
<->  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)
76biimpri 199 . . . 4  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( <. z ,  0R >.  e.  RR  /\  <. w ,  0R >.  e.  RR ) )
8 df-i 8714 . . . . . . . . 9  |-  _i  =  <. 0R ,  1R >.
98oveq1i 5802 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  <. w ,  0R >. )  =  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. w ,  0R >. )
10 0r 8670 . . . . . . . . . 10  |-  0R  e.  R.
11 1sr 8671 . . . . . . . . . . 11  |-  1R  e.  R.
12 mulcnsr 8726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0R  e.  R.  /\ 
1R  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  0R  e.  R. )
)  ->  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. w ,  0R >. )  =  <. ( ( 0R 
.R  w )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  w )  +R  ( 0R  .R  0R ) ) >. )
1310, 11, 12mpanl12 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  -> 
( <. 0R ,  1R >.  x.  <. w ,  0R >. )  =  <. (
( 0R  .R  w
)  +R  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  w )  +R  ( 0R  .R  0R ) )
>. )
1410, 13mpan2 655 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  R.  ->  ( <. 0R ,  1R >.  x. 
<. w ,  0R >. )  =  <. ( ( 0R 
.R  w )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  w )  +R  ( 0R  .R  0R ) ) >. )
15 mulcomsr 8679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0R 
.R  w )  =  ( w  .R  0R )
16 00sr 8689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  R.  ->  (
w  .R  0R )  =  0R )
1715, 16syl5eq 2302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  R.  ->  ( 0R  .R  w )  =  0R )
1817oveq1d 5807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  R.  ->  (
( 0R  .R  w
)  +R  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) ) )  =  ( 0R  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  0R ) ) ) )
19 00sr 8689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1R  e.  R.  ->  ( 1R  .R  0R )  =  0R )
2011, 19ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1R 
.R  0R )  =  0R
2120oveq2i 5803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) )  =  ( -1R  .R  0R )
22 m1r 8672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -1R  e.  R.
23 00sr 8689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
.R  0R )  =  0R )
2422, 23ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -1R 
.R  0R )  =  0R
2521, 24eqtri 2278 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) )  =  0R
2625oveq2i 5803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0R 
+R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  0R ) ) )  =  ( 0R  +R  0R )
27 0idsr 8687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  +R  0R )  =  0R )
2810, 27ax-mp 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0R 
+R  0R )  =  0R
2926, 28eqtri 2278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0R 
+R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  0R ) ) )  =  0R
3018, 29syl6eq 2306 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  R.  ->  (
( 0R  .R  w
)  +R  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) ) )  =  0R )
31 mulcomsr 8679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1R 
.R  w )  =  ( w  .R  1R )
32 1idsr 8688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  R.  ->  (
w  .R  1R )  =  w )
3331, 32syl5eq 2302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  R.  ->  ( 1R  .R  w )  =  w )
3433oveq1d 5807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  R.  ->  (
( 1R  .R  w
)  +R  ( 0R 
.R  0R ) )  =  ( w  +R  ( 0R  .R  0R ) ) )
35 00sr 8689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  .R  0R )  =  0R )
3610, 35ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0R 
.R  0R )  =  0R
3736oveq2i 5803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  +R  ( 0R  .R  0R ) )  =  ( w  +R  0R )
38 0idsr 8687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  R.  ->  (
w  +R  0R )  =  w )
3937, 38syl5eq 2302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  R.  ->  (
w  +R  ( 0R 
.R  0R ) )  =  w )
4034, 39eqtrd 2290 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  R.  ->  (
( 1R  .R  w
)  +R  ( 0R 
.R  0R ) )  =  w )
4130, 40opeq12d 3778 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  R.  ->  <. (
( 0R  .R  w
)  +R  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  w )  +R  ( 0R  .R  0R ) )
>.  =  <. 0R ,  w >. )
4214, 41eqtrd 2290 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  R.  ->  ( <. 0R ,  1R >.  x. 
<. w ,  0R >. )  =  <. 0R ,  w >. )
439, 42syl5eq 2302 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  R.  ->  (
_i  x.  <. w ,  0R >. )  =  <. 0R ,  w >. )
4443oveq2d 5808 . . . . . 6  |-  ( w  e.  R.  ->  ( <. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. )
)  =  ( <.
z ,  0R >.  + 
<. 0R ,  w >. ) )
4544adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( <. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. ) )  =  ( <.
z ,  0R >.  + 
<. 0R ,  w >. ) )
46 addcnsr 8725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  /\  ( 0R  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. 0R ,  w >. )  =  <. ( z  +R  0R ) ,  ( 0R  +R  w )
>. )
4710, 46mpanl2 665 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  R.  /\  ( 0R  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. 0R ,  w >. )  =  <. ( z  +R  0R ) ,  ( 0R  +R  w )
>. )
4810, 47mpanr1 667 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. 0R ,  w >. )  =  <. (
z  +R  0R ) ,  ( 0R  +R  w ) >. )
49 0idsr 8687 . . . . . 6  |-  ( z  e.  R.  ->  (
z  +R  0R )  =  z )
50 addcomsr 8677 . . . . . . 7  |-  ( 0R 
+R  w )  =  ( w  +R  0R )
5150, 38syl5eq 2302 . . . . . 6  |-  ( w  e.  R.  ->  ( 0R  +R  w )  =  w )
52 opeq12 3772 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  +R  0R )  =  z  /\  ( 0R  +R  w
)  =  w )  ->  <. ( z  +R  0R ) ,  ( 0R  +R  w )
>.  =  <. z ,  w >. )
5349, 51, 52syl2an 465 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  -> 
<. ( z  +R  0R ) ,  ( 0R  +R  w ) >.  =  <. z ,  w >. )
5445, 48, 533eqtrrd 2295 . . . 4  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  -> 
<. z ,  w >.  =  ( <. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. ) ) )
55 opex 4209 . . . . 5  |-  <. z ,  0R >.  e.  _V
56 opex 4209 . . . . 5  |-  <. w ,  0R >.  e.  _V
57 eleq1 2318 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( x  e.  RR  <->  <. z ,  0R >.  e.  RR ) )
58 eleq1 2318 . . . . . . 7  |-  ( y  =  <. w ,  0R >.  ->  ( y  e.  RR  <->  <. w ,  0R >.  e.  RR ) )
5957, 58bi2anan9 848 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  ->  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  <->  (
<. z ,  0R >.  e.  RR  /\  <. w ,  0R >.  e.  RR ) ) )
60 oveq1 5799 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  =  (
<. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  y
) ) )
61 oveq2 5800 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. w ,  0R >.  ->  ( _i  x.  y )  =  ( _i  x.  <. w ,  0R >. ) )
6261oveq2d 5808 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. w ,  0R >.  ->  ( <. z ,  0R >.  +  (
_i  x.  y )
)  =  ( <.
z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. )
) )
6360, 62sylan9eq 2310 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  ->  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  =  ( <. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. ) ) )
6463eqeq2d 2269 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  ->  ( <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  <->  <. z ,  w >.  =  ( <. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. ) ) ) )
6559, 64anbi12d 694 . . . . 5  |-  ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  ->  ( (
( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) )  <->  ( ( <. z ,  0R >.  e.  RR  /\  <. w ,  0R >.  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( <. z ,  0R >.  +  (
_i  x.  <. w ,  0R >. ) ) ) ) )
6655, 56, 65cla42ev 2851 . . . 4  |-  ( ( ( <. z ,  0R >.  e.  RR  /\  <. w ,  0R >.  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( <. z ,  0R >.  +  (
_i  x.  <. w ,  0R >. ) ) )  ->  E. x E. y
( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
677, 54, 66syl2anc 645 . . 3  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  E. x E. y
( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
68 r2ex 2556 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  <. z ,  w >.  =  (
x  +  ( _i  x.  y ) )  <->  E. x E. y ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) ) )
6967, 68sylibr 205 . 2  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
701, 3, 69optocl 4752 1  |-  ( A  e.  CC  ->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2519   <.cop 3617  (class class class)co 5792   R.cnr 8457   0Rc0r 8458   1Rc1r 8459   -1Rcm1r 8460    +R cplr 8461    .R cmr 8462   CCcc 8703   RRcr 8704   _ici 8707    + caddc 8708    x. cmul 8710
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-ec 6630  df-qs 6634  df-ni 8464  df-pli 8465  df-mi 8466  df-lti 8467  df-plpq 8500  df-mpq 8501  df-ltpq 8502  df-enq 8503  df-nq 8504  df-erq 8505  df-plq 8506  df-mq 8507  df-1nq 8508  df-rq 8509  df-ltnq 8510  df-np 8573  df-1p 8574  df-plp 8575  df-mp 8576  df-ltp 8577  df-plpr 8647  df-mpr 8648  df-enr 8649  df-nr 8650  df-plr 8651  df-mr 8652  df-0r 8654  df-1r 8655  df-m1r 8656  df-c 8711  df-i 8714  df-r 8715  df-plus 8716  df-mul 8717
  Copyright terms: Public domain W3C validator