Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axcont Unicode version

Theorem axcont 25823
Description: The axiom of continuity. Take two sets of points  A and  B. If all the points in  A come before the points of  B on a line, then there is a point separating the two. Axiom A11 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axcont  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE
`  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  E. a  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <.
a ,  y >.
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
Distinct variable groups:    A, a,
b, x, y    B, a, b, x, y    N, a, b, x, y

Proof of Theorem axcont
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ( EE
`  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>. )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <.
a ,  y >.
)
213anim3i 1141 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  ( a  e.  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <.
a ,  y >.
) )  ->  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <.
a ,  y >.
) )
32anim2i 553 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE
`  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  (
a  e.  ( EE
`  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>. ) ) )  -> 
( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>. ) ) )
4 simpr3l 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE
`  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  (
a  e.  ( EE
`  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>. ) ) )  -> 
a  e.  ( EE
`  N ) )
5 axcontlem12 25822 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>. ) )  /\  a  e.  ( EE `  N
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
63, 4, 5syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE
`  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  (
a  e.  ( EE
`  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>. ) ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
763exp2 1171 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A  C_  ( EE `  N )  ->  ( B  C_  ( EE `  N )  ->  (
( a  e.  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y >. )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. ) ) ) )
87com4r 82 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ( EE
`  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>. )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( A  C_  ( EE `  N )  ->  ( B  C_  ( EE `  N )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
) ) )
98rexlimiva 2789 . . 3  |-  ( E. a  e.  ( EE
`  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>.  ->  ( N  e.  NN  ->  ( A  C_  ( EE `  N
)  ->  ( B  C_  ( EE `  N
)  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
) ) )
109com4l 80 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A  C_  ( EE `  N )  ->  ( B  C_  ( EE `  N )  ->  ( E. a  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>.  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. ) ) ) )
11103imp2 1168 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE
`  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  E. a  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <.
a ,  y >.
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1721   A.wral 2670   E.wrex 2671    C_ wss 3284   <.cop 3781   class class class wbr 4176   ` cfv 5417   NNcn 9960   EEcee 25735    Btwn cbtwn 25736
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-z 10243  df-uz 10449  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-ee 25738  df-btwn 25739
  Copyright terms: Public domain W3C validator