Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axcont Unicode version

Theorem axcont 24606
Description: The axiom of continuity. Take two sets of points  A and  B. If all the points in  A come before the points of  B on a line, then there is a point separating the two. Axiom A11 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axcont  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE
`  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  E. a  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <.
a ,  y >.
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
Distinct variable groups:    A, a,
b, x, y    B, a, b, x, y    N, a, b, x, y

Proof of Theorem axcont
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ( EE
`  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>. )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <.
a ,  y >.
)
213anim3i 1139 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  ( a  e.  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <.
a ,  y >.
) )  ->  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <.
a ,  y >.
) )
32anim2i 552 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE
`  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  (
a  e.  ( EE
`  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>. ) ) )  -> 
( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>. ) ) )
4 simpr3l 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE
`  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  (
a  e.  ( EE
`  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>. ) ) )  -> 
a  e.  ( EE
`  N ) )
5 axcontlem12 24605 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>. ) )  /\  a  e.  ( EE `  N
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
63, 4, 5syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE
`  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  (
a  e.  ( EE
`  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>. ) ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
763exp2 1169 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A  C_  ( EE `  N )  ->  ( B  C_  ( EE `  N )  ->  (
( a  e.  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y >. )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. ) ) ) )
87com4r 80 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ( EE
`  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>. )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( A  C_  ( EE `  N )  ->  ( B  C_  ( EE `  N )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
) ) )
98rexlimiva 2664 . . 3  |-  ( E. a  e.  ( EE
`  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>.  ->  ( N  e.  NN  ->  ( A  C_  ( EE `  N
)  ->  ( B  C_  ( EE `  N
)  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
) ) )
109com4l 78 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A  C_  ( EE `  N )  ->  ( B  C_  ( EE `  N )  ->  ( E. a  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>.  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. ) ) ) )
11103imp2 1166 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE
`  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  E. a  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <.
a ,  y >.
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1686   A.wral 2545   E.wrex 2546    C_ wss 3154   <.cop 3645   class class class wbr 4025   ` cfv 5257   NNcn 9748   EEcee 24518    Btwn cbtwn 24519
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-z 10027  df-uz 10233  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-ee 24521  df-btwn 24522
  Copyright terms: Public domain W3C validator