Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axcont Unicode version

Theorem axcont 24014
Description: The axiom of continuity. Take two sets of points  A and  B. If all the points in  A come before the points of  B on a line, then there is a point separating the two. Axiom A11 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axcont  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE
`  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  E. a  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <.
a ,  y >.
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
Distinct variable groups:    A, a,
b, x, y    B, a, b, x, y    N, a, b, x, y

Proof of Theorem axcont
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ( EE
`  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>. )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <.
a ,  y >.
)
213anim3i 1139 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  ( a  e.  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <.
a ,  y >.
) )  ->  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <.
a ,  y >.
) )
32anim2i 552 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE
`  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  (
a  e.  ( EE
`  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>. ) ) )  -> 
( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>. ) ) )
4 simpr3l 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE
`  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  (
a  e.  ( EE
`  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>. ) ) )  -> 
a  e.  ( EE
`  N ) )
5 axcontlem12 24013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>. ) )  /\  a  e.  ( EE `  N
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
63, 4, 5syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE
`  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  (
a  e.  ( EE
`  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>. ) ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
763exp2 1169 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A  C_  ( EE `  N )  ->  ( B  C_  ( EE `  N )  ->  (
( a  e.  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y >. )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. ) ) ) )
87com4r 80 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ( EE
`  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>. )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( A  C_  ( EE `  N )  ->  ( B  C_  ( EE `  N )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
) ) )
98rexlimiva 2663 . . 3  |-  ( E. a  e.  ( EE
`  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>.  ->  ( N  e.  NN  ->  ( A  C_  ( EE `  N
)  ->  ( B  C_  ( EE `  N
)  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
) ) )
109com4l 78 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A  C_  ( EE `  N )  ->  ( B  C_  ( EE `  N )  ->  ( E. a  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. a ,  y
>.  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. ) ) ) )
11103imp2 1166 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE
`  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  E. a  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <.
a ,  y >.
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1685   A.wral 2544   E.wrex 2545    C_ wss 3153   <.cop 3644   class class class wbr 4024   ` cfv 5221   NNcn 9742   EEcee 23926    Btwn cbtwn 23927
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-z 10021  df-uz 10227  df-ico 10658  df-icc 10659  df-fz 10779  df-ee 23929  df-btwn 23930
  Copyright terms: Public domain W3C validator