Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdc2lem Unicode version

Theorem axdc2lem 8074
 Description: Lemma for axdc2 8075. We construct a relation based on such that iff , and show that the "function" described by ax-dc 8072 can be restricted so that it is a real function (since the stated properties only show that it is the superset of a function). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
axdc2lem.1
axdc2lem.2
axdc2lem.3
Assertion
Ref Expression
axdc2lem
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()   ()

Proof of Theorem axdc2lem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9
2 eldifsni 3750 . . . . . . . . . 10
3 n0 3464 . . . . . . . . . 10
42, 3sylib 188 . . . . . . . . 9
51, 4syl 15 . . . . . . . 8
65ralrimiva 2626 . . . . . . 7
7 rabid2 2717 . . . . . . 7
86, 7sylibr 203 . . . . . 6
9 axdc2lem.2 . . . . . . . 8
109dmeqi 4880 . . . . . . 7
11 19.42v 1846 . . . . . . . . 9
1211abbii 2395 . . . . . . . 8
13 dmopab 4889 . . . . . . . 8
14 df-rab 2552 . . . . . . . 8
1512, 13, 143eqtr4i 2313 . . . . . . 7
1610, 15eqtri 2303 . . . . . 6
178, 16syl6reqr 2334 . . . . 5
1817neeq1d 2459 . . . 4
1918biimparc 473 . . 3
20 eldifi 3298 . . . . . . . . . 10
21 elelpwi 3635 . . . . . . . . . . 11
2221expcom 424 . . . . . . . . . 10
231, 20, 223syl 18 . . . . . . . . 9
2423expimpd 586 . . . . . . . 8
2524exlimdv 1664 . . . . . . 7
2625alrimiv 1617 . . . . . 6
279rneqi 4905 . . . . . . . . 9
28 rnopab 4924 . . . . . . . . 9
2927, 28eqtri 2303 . . . . . . . 8
3029sseq1i 3202 . . . . . . 7
31 abss 3242 . . . . . . 7
3230, 31bitri 240 . . . . . 6
3326, 32sylibr 203 . . . . 5
3433, 17sseqtr4d 3215 . . . 4
36 fvrn0 5550 . . . . . . . . . 10
37 elssuni 3855 . . . . . . . . . 10
3836, 37ax-mp 8 . . . . . . . . 9
3938sseli 3176 . . . . . . . 8
4039anim2i 552 . . . . . . 7
4140ssopab2i 4292 . . . . . 6
42 df-xp 4695 . . . . . 6
4341, 9, 423sstr4i 3217 . . . . 5
44 axdc2lem.1 . . . . . 6
45 frn 5395 . . . . . . . . . 10
4645adantl 452 . . . . . . . . 9
4744pwex 4193 . . . . . . . . . . 11
48 difexg 4162 . . . . . . . . . . 11
4947, 48ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
5049ssex 4158 . . . . . . . . 9
5146, 50syl 15 . . . . . . . 8
52 p0ex 4197 . . . . . . . 8
53 unexg 4521 . . . . . . . 8
5451, 52, 53sylancl 643 . . . . . . 7
55 uniexg 4517 . . . . . . 7
5654, 55syl 15 . . . . . 6
57 xpexg 4800 . . . . . 6
5844, 56, 57sylancr 644 . . . . 5
59 ssexg 4160 . . . . 5
6043, 58, 59sylancr 644 . . . 4
61 n0 3464 . . . . . . . . 9
62 vex 2791 . . . . . . . . . . 11
6362eldm 4876 . . . . . . . . . 10
6463exbii 1569 . . . . . . . . 9
6561, 64bitr2i 241 . . . . . . . 8
66 dmeq 4879 . . . . . . . . 9
6766neeq1d 2459 . . . . . . . 8
6865, 67syl5bb 248 . . . . . . 7
69 rneq 4904 . . . . . . . 8
7069, 66sseq12d 3207 . . . . . . 7
7168, 70anbi12d 691 . . . . . 6
72 breq 4025 . . . . . . . 8
7372ralbidv 2563 . . . . . . 7
7473exbidv 1612 . . . . . 6
7571, 74imbi12d 311 . . . . 5
76 ax-dc 8072 . . . . 5
7775, 76vtoclg 2843 . . . 4
7860, 77syl 15 . . 3
7919, 35, 78mp2and 660 . 2
80 simpr 447 . 2
81 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15
82 suceq 4457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8382fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15
8481, 83breq12d 4036 . . . . . . . . . . . . . 14
8584rspccv 2881 . . . . . . . . . . . . 13
86 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . 14
87 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . 14
8886, 87breldm 4883 . . . . . . . . . . . . 13
8985, 88syl6 29 . . . . . . . . . . . 12
9089imp 418 . . . . . . . . . . 11
9190adantll 694 . . . . . . . . . 10
92 eleq2 2344 . . . . . . . . . . 11
9392ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
9491, 93mpbid 201 . . . . . . . . 9
95 axdc2lem.3 . . . . . . . . 9
9694, 95fmptd 5684 . . . . . . . 8
9796ex 423 . . . . . . 7
9817, 97syl 15 . . . . . 6
9998impcom 419 . . . . 5
100 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10
101 fvex 5539 . . . . . . . . . 10
102100, 95, 101fvmpt 5602 . . . . . . . . 9
103 peano2 4676 . . . . . . . . . 10
104 fvex 5539 . . . . . . . . . 10
105 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11
106105, 95fvmptg 5600 . . . . . . . . . 10
107103, 104, 106sylancl 643 . . . . . . . . 9
108102, 107breq12d 4036 . . . . . . . 8
109 fvex 5539 . . . . . . . . . 10
110 fvex 5539 . . . . . . . . . 10
111 eleq1 2343 . . . . . . . . . . 11
112 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12
113112eleq2d 2350 . . . . . . . . . . 11
114111, 113anbi12d 691 . . . . . . . . . 10
115 eleq1 2343 . . . . . . . . . . 11
116115anbi2d 684 . . . . . . . . . 10
117109, 110, 114, 116, 9brab 4287 . . . . . . . . 9
118117simprbi 450 . . . . . . . 8
119108, 118syl6bir 220 . . . . . . 7
120119ralimia 2616 . . . . . 6
121120adantr 451 . . . . 5
122 fvrn0 5550 . . . . . . . . . 10
123122rgenw 2610 . . . . . . . . 9
124 eqid 2283 . . . . . . . . . 10
125124fmpt 5681 . . . . . . . . 9
126123, 125mpbi 199 . . . . . . . 8
127 dcomex 8073 . . . . . . . 8
128 vex 2791 . . . . . . . . . 10
129128rnex 4942 . . . . . . . . 9
130129, 52unex 4518 . . . . . . . 8
131 fex2 5401 . . . . . . . 8
132126, 127, 130, 131mp3an 1277 . . . . . . 7
13395, 132eqeltri 2353 . . . . . 6
134 feq1 5375 . . . . . . 7
135 fveq1 5524 . . . . . . . . 9
136 fveq1 5524 . . . . . . . . . 10
137136fveq2d 5529 . . . . . . . . 9
138135, 137eleq12d 2351 . . . . . . . 8
139138ralbidv 2563 . . . . . . 7
140134, 139anbi12d 691 . . . . . 6
141133, 140spcev 2875 . . . . 5
14299, 121, 141syl2anc 642 . . . 4
143142ex 423 . . 3
144143exlimiv 1666 . 2
14579, 80, 144sylc 56 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358  wal 1527  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684  cab 2269   wne 2446  wral 2543  crab 2547  cvv 2788   cdif 3149   cun 3150   wss 3152  c0 3455  cpw 3625  csn 3640  cuni 3827   class class class wbr 4023  copab 4076   cmpt 4077   csuc 4394  com 4656   cxp 4687   cdm 4689   crn 4690  wf 5251  cfv 5255 This theorem is referenced by:  axdc2  8075 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-dc 8072 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-1o 6479
 Copyright terms: Public domain W3C validator