MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdistr Unicode version

Theorem axdistr 8660
Description: Distributive law for complex numbers. Axiom 11 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-distr 8684. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axdistr  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B  +  C ) )  =  ( ( A  x.  B )  +  ( A  x.  C ) ) )

Proof of Theorem axdistr
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 8644 . 2  |-  CC  =  ( ( R.  X.  R. ) /. `'  _E  )
2 addcnsrec 8645 . 2  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] `'  _E  +  [ <. v ,  u >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( z  +R  v
) ,  ( w  +R  u ) >. ] `'  _E  )
3 mulcnsrec 8646 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( ( z  +R  v )  e.  R.  /\  ( w  +R  u
)  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  x.  [ <. ( z  +R  v ) ,  ( w  +R  u )
>. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  .R  ( z  +R  v ) )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  ( w  +R  u ) ) ) ) ,  ( ( y  .R  ( z  +R  v ) )  +R  ( x  .R  ( w  +R  u
) ) ) >. ] `'  _E  )
4 mulcnsrec 8646 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  x.  [ <. z ,  w >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) ) ,  ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )
>. ] `'  _E  )
5 mulcnsrec 8646 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  x.  [ <. v ,  u >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
) ) ,  ( ( y  .R  v
)  +R  ( x  .R  u ) )
>. ] `'  _E  )
6 addcnsrec 8645 . 2  |-  ( ( ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  e.  R.  /\  ( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  e.  R. )  /\  ( ( ( x  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
) )  e.  R.  /\  ( ( y  .R  v )  +R  (
x  .R  u )
)  e.  R. )
)  ->  ( [ <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) ) ,  ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) ) >. ] `'  _E  +  [ <. (
( x  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) ) ) ,  ( ( y  .R  v )  +R  ( x  .R  u
) ) >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  +R  (
( x  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) ) ) ) ,  ( ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )  +R  ( ( y  .R  v )  +R  ( x  .R  u
) ) ) >. ] `'  _E  )
7 addclsr 8585 . . . 4  |-  ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( z  +R  v
)  e.  R. )
8 addclsr 8585 . . . 4  |-  ( ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( w  +R  u
)  e.  R. )
97, 8anim12i 551 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  +R  v )  e.  R.  /\  (
w  +R  u )  e.  R. ) )
109an4s 802 . 2  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  +R  v )  e.  R.  /\  (
w  +R  u )  e.  R. ) )
11 mulclsr 8586 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( x  .R  z
)  e.  R. )
12 m1r 8584 . . . . . 6  |-  -1R  e.  R.
13 mulclsr 8586 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( y  .R  w
)  e.  R. )
14 mulclsr 8586 . . . . . 6  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  ( y  .R  w
)  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
)  e.  R. )
1512, 13, 14sylancr 647 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
)  e.  R. )
16 addclsr 8585 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .R  z
)  e.  R.  /\  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) )  e.  R. )  -> 
( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) )  e.  R. )
1711, 15, 16syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  /\  ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  e.  R. )
1817an4s 802 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  e.  R. )
19 mulclsr 8586 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( y  .R  z
)  e.  R. )
20 mulclsr 8586 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( x  .R  w
)  e.  R. )
21 addclsr 8585 . . . . 5  |-  ( ( ( y  .R  z
)  e.  R.  /\  ( x  .R  w
)  e.  R. )  ->  ( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  e.  R. )
2219, 20, 21syl2anr 466 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) )  e.  R. )
2322an42s 803 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) )  e.  R. )
2418, 23jca 520 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
( x  .R  z
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) ) )  e.  R.  /\  (
( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )  e.  R. ) )
25 mulclsr 8586 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( x  .R  v
)  e.  R. )
26 mulclsr 8586 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( y  .R  u
)  e.  R. )
27 mulclsr 8586 . . . . . 6  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  ( y  .R  u
)  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
)  e.  R. )
2812, 26, 27sylancr 647 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
)  e.  R. )
29 addclsr 8585 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .R  v
)  e.  R.  /\  ( -1R  .R  ( y  .R  u ) )  e.  R. )  -> 
( ( x  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  u ) ) )  e.  R. )
3025, 28, 29syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  v  e.  R. )  /\  ( y  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
x  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
) )  e.  R. )
3130an4s 802 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
x  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
) )  e.  R. )
32 mulclsr 8586 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( y  .R  v
)  e.  R. )
33 mulclsr 8586 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( x  .R  u
)  e.  R. )
34 addclsr 8585 . . . . 5  |-  ( ( ( y  .R  v
)  e.  R.  /\  ( x  .R  u
)  e.  R. )  ->  ( ( y  .R  v )  +R  (
x  .R  u )
)  e.  R. )
3532, 33, 34syl2anr 466 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  u  e.  R. )  /\  ( y  e.  R.  /\  v  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  v )  +R  ( x  .R  u
) )  e.  R. )
3635an42s 803 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  v )  +R  ( x  .R  u
) )  e.  R. )
3731, 36jca 520 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
( x  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) ) )  e.  R.  /\  (
( y  .R  v
)  +R  ( x  .R  u ) )  e.  R. ) )
38 distrsr 8593 . . . 4  |-  ( x  .R  ( z  +R  v ) )  =  ( ( x  .R  z )  +R  (
x  .R  v )
)
39 distrsr 8593 . . . . . 6  |-  ( y  .R  ( w  +R  u ) )  =  ( ( y  .R  w )  +R  (
y  .R  u )
)
4039oveq2i 5721 . . . . 5  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  ( w  +R  u
) ) )  =  ( -1R  .R  (
( y  .R  w
)  +R  ( y  .R  u ) ) )
41 distrsr 8593 . . . . 5  |-  ( -1R 
.R  ( ( y  .R  w )  +R  ( y  .R  u
) ) )  =  ( ( -1R  .R  ( y  .R  w
) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  u ) ) )
4240, 41eqtri 2273 . . . 4  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  ( w  +R  u
) ) )  =  ( ( -1R  .R  ( y  .R  w
) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  u ) ) )
4338, 42oveq12i 5722 . . 3  |-  ( ( x  .R  ( z  +R  v ) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  (
w  +R  u ) ) ) )  =  ( ( ( x  .R  z )  +R  ( x  .R  v
) )  +R  (
( -1R  .R  (
y  .R  w )
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) ) ) )
44 ovex 5735 . . . 4  |-  ( x  .R  z )  e. 
_V
45 ovex 5735 . . . 4  |-  ( x  .R  v )  e. 
_V
46 ovex 5735 . . . 4  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) )  e. 
_V
47 addcomsr 8589 . . . 4  |-  ( f  +R  g )  =  ( g  +R  f
)
48 addasssr 8590 . . . 4  |-  ( ( f  +R  g )  +R  h )  =  ( f  +R  (
g  +R  h ) )
49 ovex 5735 . . . 4  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) )  e. 
_V
5044, 45, 46, 47, 48, 49caov4 5903 . . 3  |-  ( ( ( x  .R  z
)  +R  ( x  .R  v ) )  +R  ( ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
) ) )  =  ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  +R  (
( x  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) ) ) )
5143, 50eqtri 2273 . 2  |-  ( ( x  .R  ( z  +R  v ) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  (
w  +R  u ) ) ) )  =  ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  +R  (
( x  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) ) ) )
52 distrsr 8593 . . . 4  |-  ( y  .R  ( z  +R  v ) )  =  ( ( y  .R  z )  +R  (
y  .R  v )
)
53 distrsr 8593 . . . 4  |-  ( x  .R  ( w  +R  u ) )  =  ( ( x  .R  w )  +R  (
x  .R  u )
)
5452, 53oveq12i 5722 . . 3  |-  ( ( y  .R  ( z  +R  v ) )  +R  ( x  .R  ( w  +R  u
) ) )  =  ( ( ( y  .R  z )  +R  ( y  .R  v
) )  +R  (
( x  .R  w
)  +R  ( x  .R  u ) ) )
55 ovex 5735 . . . 4  |-  ( y  .R  z )  e. 
_V
56 ovex 5735 . . . 4  |-  ( y  .R  v )  e. 
_V
57 ovex 5735 . . . 4  |-  ( x  .R  w )  e. 
_V
58 ovex 5735 . . . 4  |-  ( x  .R  u )  e. 
_V
5955, 56, 57, 47, 48, 58caov4 5903 . . 3  |-  ( ( ( y  .R  z
)  +R  ( y  .R  v ) )  +R  ( ( x  .R  w )  +R  ( x  .R  u
) ) )  =  ( ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) )  +R  (
( y  .R  v
)  +R  ( x  .R  u ) ) )
6054, 59eqtri 2273 . 2  |-  ( ( y  .R  ( z  +R  v ) )  +R  ( x  .R  ( w  +R  u
) ) )  =  ( ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) )  +R  (
( y  .R  v
)  +R  ( x  .R  u ) ) )
611, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 24, 37, 51, 60ecovdi 6657 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B  +  C ) )  =  ( ( A  x.  B )  +  ( A  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    _E cep 4196   `'ccnv 4579  (class class class)co 5710   R.cnr 8369   -1Rcm1r 8372    +R cplr 8373    .R cmr 8374   CCcc 8615    + caddc 8620    x. cmul 8622
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ec 6548  df-qs 6552  df-ni 8376  df-pli 8377  df-mi 8378  df-lti 8379  df-plpq 8412  df-mpq 8413  df-ltpq 8414  df-enq 8415  df-nq 8416  df-erq 8417  df-plq 8418  df-mq 8419  df-1nq 8420  df-rq 8421  df-ltnq 8422  df-np 8485  df-1p 8486  df-plp 8487  df-mp 8488  df-ltp 8489  df-plpr 8559  df-mpr 8560  df-enr 8561  df-nr 8562  df-plr 8563  df-mr 8564  df-m1r 8568  df-c 8623  df-plus 8628  df-mul 8629
  Copyright terms: Public domain W3C validator