MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdistr Structured version   Unicode version

Theorem axdistr 9025
Description: Distributive law for complex numbers. Axiom 11 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-distr 9049 be used later. Instead, use adddi 9071. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axdistr  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B  +  C ) )  =  ( ( A  x.  B )  +  ( A  x.  C ) ) )

Proof of Theorem axdistr
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 9009 . 2  |-  CC  =  ( ( R.  X.  R. ) /. `'  _E  )
2 addcnsrec 9010 . 2  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] `'  _E  +  [ <. v ,  u >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( z  +R  v
) ,  ( w  +R  u ) >. ] `'  _E  )
3 mulcnsrec 9011 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( ( z  +R  v )  e.  R.  /\  ( w  +R  u
)  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  x.  [ <. ( z  +R  v ) ,  ( w  +R  u )
>. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  .R  ( z  +R  v ) )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  ( w  +R  u ) ) ) ) ,  ( ( y  .R  ( z  +R  v ) )  +R  ( x  .R  ( w  +R  u
) ) ) >. ] `'  _E  )
4 mulcnsrec 9011 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  x.  [ <. z ,  w >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) ) ,  ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )
>. ] `'  _E  )
5 mulcnsrec 9011 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  x.  [ <. v ,  u >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
) ) ,  ( ( y  .R  v
)  +R  ( x  .R  u ) )
>. ] `'  _E  )
6 addcnsrec 9010 . 2  |-  ( ( ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  e.  R.  /\  ( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  e.  R. )  /\  ( ( ( x  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
) )  e.  R.  /\  ( ( y  .R  v )  +R  (
x  .R  u )
)  e.  R. )
)  ->  ( [ <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) ) ,  ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) ) >. ] `'  _E  +  [ <. (
( x  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) ) ) ,  ( ( y  .R  v )  +R  ( x  .R  u
) ) >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  +R  (
( x  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) ) ) ) ,  ( ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )  +R  ( ( y  .R  v )  +R  ( x  .R  u
) ) ) >. ] `'  _E  )
7 addclsr 8950 . . . 4  |-  ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( z  +R  v
)  e.  R. )
8 addclsr 8950 . . . 4  |-  ( ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( w  +R  u
)  e.  R. )
97, 8anim12i 550 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  +R  v )  e.  R.  /\  (
w  +R  u )  e.  R. ) )
109an4s 800 . 2  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  +R  v )  e.  R.  /\  (
w  +R  u )  e.  R. ) )
11 mulclsr 8951 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( x  .R  z
)  e.  R. )
12 m1r 8949 . . . . . 6  |-  -1R  e.  R.
13 mulclsr 8951 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( y  .R  w
)  e.  R. )
14 mulclsr 8951 . . . . . 6  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  ( y  .R  w
)  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
)  e.  R. )
1512, 13, 14sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
)  e.  R. )
16 addclsr 8950 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .R  z
)  e.  R.  /\  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) )  e.  R. )  -> 
( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) )  e.  R. )
1711, 15, 16syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  /\  ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  e.  R. )
1817an4s 800 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  e.  R. )
19 mulclsr 8951 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( y  .R  z
)  e.  R. )
20 mulclsr 8951 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( x  .R  w
)  e.  R. )
21 addclsr 8950 . . . . 5  |-  ( ( ( y  .R  z
)  e.  R.  /\  ( x  .R  w
)  e.  R. )  ->  ( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  e.  R. )
2219, 20, 21syl2anr 465 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) )  e.  R. )
2322an42s 801 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) )  e.  R. )
2418, 23jca 519 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
( x  .R  z
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) ) )  e.  R.  /\  (
( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )  e.  R. ) )
25 mulclsr 8951 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( x  .R  v
)  e.  R. )
26 mulclsr 8951 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( y  .R  u
)  e.  R. )
27 mulclsr 8951 . . . . . 6  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  ( y  .R  u
)  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
)  e.  R. )
2812, 26, 27sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
)  e.  R. )
29 addclsr 8950 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .R  v
)  e.  R.  /\  ( -1R  .R  ( y  .R  u ) )  e.  R. )  -> 
( ( x  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  u ) ) )  e.  R. )
3025, 28, 29syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  v  e.  R. )  /\  ( y  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
x  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
) )  e.  R. )
3130an4s 800 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
x  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
) )  e.  R. )
32 mulclsr 8951 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( y  .R  v
)  e.  R. )
33 mulclsr 8951 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( x  .R  u
)  e.  R. )
34 addclsr 8950 . . . . 5  |-  ( ( ( y  .R  v
)  e.  R.  /\  ( x  .R  u
)  e.  R. )  ->  ( ( y  .R  v )  +R  (
x  .R  u )
)  e.  R. )
3532, 33, 34syl2anr 465 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  u  e.  R. )  /\  ( y  e.  R.  /\  v  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  v )  +R  ( x  .R  u
) )  e.  R. )
3635an42s 801 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  v )  +R  ( x  .R  u
) )  e.  R. )
3731, 36jca 519 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
( x  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) ) )  e.  R.  /\  (
( y  .R  v
)  +R  ( x  .R  u ) )  e.  R. ) )
38 distrsr 8958 . . . 4  |-  ( x  .R  ( z  +R  v ) )  =  ( ( x  .R  z )  +R  (
x  .R  v )
)
39 distrsr 8958 . . . . . 6  |-  ( y  .R  ( w  +R  u ) )  =  ( ( y  .R  w )  +R  (
y  .R  u )
)
4039oveq2i 6084 . . . . 5  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  ( w  +R  u
) ) )  =  ( -1R  .R  (
( y  .R  w
)  +R  ( y  .R  u ) ) )
41 distrsr 8958 . . . . 5  |-  ( -1R 
.R  ( ( y  .R  w )  +R  ( y  .R  u
) ) )  =  ( ( -1R  .R  ( y  .R  w
) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  u ) ) )
4240, 41eqtri 2455 . . . 4  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  ( w  +R  u
) ) )  =  ( ( -1R  .R  ( y  .R  w
) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  u ) ) )
4338, 42oveq12i 6085 . . 3  |-  ( ( x  .R  ( z  +R  v ) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  (
w  +R  u ) ) ) )  =  ( ( ( x  .R  z )  +R  ( x  .R  v
) )  +R  (
( -1R  .R  (
y  .R  w )
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) ) ) )
44 ovex 6098 . . . 4  |-  ( x  .R  z )  e. 
_V
45 ovex 6098 . . . 4  |-  ( x  .R  v )  e. 
_V
46 ovex 6098 . . . 4  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) )  e. 
_V
47 addcomsr 8954 . . . 4  |-  ( f  +R  g )  =  ( g  +R  f
)
48 addasssr 8955 . . . 4  |-  ( ( f  +R  g )  +R  h )  =  ( f  +R  (
g  +R  h ) )
49 ovex 6098 . . . 4  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) )  e. 
_V
5044, 45, 46, 47, 48, 49caov4 6270 . . 3  |-  ( ( ( x  .R  z
)  +R  ( x  .R  v ) )  +R  ( ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
) ) )  =  ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  +R  (
( x  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) ) ) )
5143, 50eqtri 2455 . 2  |-  ( ( x  .R  ( z  +R  v ) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  (
w  +R  u ) ) ) )  =  ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  +R  (
( x  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) ) ) )
52 distrsr 8958 . . . 4  |-  ( y  .R  ( z  +R  v ) )  =  ( ( y  .R  z )  +R  (
y  .R  v )
)
53 distrsr 8958 . . . 4  |-  ( x  .R  ( w  +R  u ) )  =  ( ( x  .R  w )  +R  (
x  .R  u )
)
5452, 53oveq12i 6085 . . 3  |-  ( ( y  .R  ( z  +R  v ) )  +R  ( x  .R  ( w  +R  u
) ) )  =  ( ( ( y  .R  z )  +R  ( y  .R  v
) )  +R  (
( x  .R  w
)  +R  ( x  .R  u ) ) )
55 ovex 6098 . . . 4  |-  ( y  .R  z )  e. 
_V
56 ovex 6098 . . . 4  |-  ( y  .R  v )  e. 
_V
57 ovex 6098 . . . 4  |-  ( x  .R  w )  e. 
_V
58 ovex 6098 . . . 4  |-  ( x  .R  u )  e. 
_V
5955, 56, 57, 47, 48, 58caov4 6270 . . 3  |-  ( ( ( y  .R  z
)  +R  ( y  .R  v ) )  +R  ( ( x  .R  w )  +R  ( x  .R  u
) ) )  =  ( ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) )  +R  (
( y  .R  v
)  +R  ( x  .R  u ) ) )
6054, 59eqtri 2455 . 2  |-  ( ( y  .R  ( z  +R  v ) )  +R  ( x  .R  ( w  +R  u
) ) )  =  ( ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) )  +R  (
( y  .R  v
)  +R  ( x  .R  u ) ) )
611, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 24, 37, 51, 60ecovdi 7009 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B  +  C ) )  =  ( ( A  x.  B )  +  ( A  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    _E cep 4484   `'ccnv 4869  (class class class)co 6073   R.cnr 8734   -1Rcm1r 8737    +R cplr 8738    .R cmr 8739   CCcc 8980    + caddc 8985    x. cmul 8987
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-ni 8741  df-pli 8742  df-mi 8743  df-lti 8744  df-plpq 8777  df-mpq 8778  df-ltpq 8779  df-enq 8780  df-nq 8781  df-erq 8782  df-plq 8783  df-mq 8784  df-1nq 8785  df-rq 8786  df-ltnq 8787  df-np 8850  df-1p 8851  df-plp 8852  df-mp 8853  df-ltp 8854  df-plpr 8924  df-mpr 8925  df-enr 8926  df-nr 8927  df-plr 8928  df-mr 8929  df-m1r 8933  df-c 8988  df-add 8993  df-mul 8994
  Copyright terms: Public domain W3C validator