Theorem axeuclid 25806

Description: Euclid's axiom. Take an angle B A C and a point D between B and C. Now, if you extend the segment A D to a point T, then T lies between two points x and y that lie on the angle. Axiom A10 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axeuclid	|- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( D Btwn <. A , T >. /\ D Btwn <. B , C >. /\ A =/= D ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) ( B Btwn <. A , x >. /\ C Btwn <. A , y >. /\ T Btwn <. x , y >. ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, C, y   x, D, y   x, N, y   x, T, y

Proof of Theorem axeuclid

Dummy variables i p q r s u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl21 1035	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
2		simpl22 1036	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
3	1, 2	jca 519	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) )
4		simpl23 1037	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
5		simpl3r 1013	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> T e. ( EE ` N ) )
6	4, 5	jca 519	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) )
7		simprll 739	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> p e. ( 0 [,] 1 ) )
8		simprlr 740	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> q e. ( 0 [,] 1 ) )
9		simp21 990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
10	9	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) -> A e. ( EE ` N ) )
11		fveecn 25745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` i ) e. CC )
12	10, 11	sylan 458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` i ) e. CC )
13		simp3r 986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> T e. ( EE ` N ) )
14	13	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) -> T e. ( EE ` N ) )
15		fveecn 25745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( T e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( T ` i ) e. CC )
16	14, 15	sylan 458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( T ` i ) e. CC )
17		mulid2 9045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A ` i ) e. CC -> ( 1 x. ( A ` i ) ) = ( A ` i ) )
18		mul02 9200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( T ` i ) e. CC -> ( 0 x. ( T ` i ) ) = 0 )
19	17, 18	oveqan12d 6059	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) -> ( ( 1 x. ( A ` i ) ) + ( 0 x. ( T ` i ) ) ) = ( ( A ` i ) + 0 ) )
20		addid1 9202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A ` i ) e. CC -> ( ( A ` i ) + 0 ) = ( A ` i ) )
21	20	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) -> ( ( A ` i ) + 0 ) = ( A ` i ) )
22	19, 21	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) -> ( ( 1 x. ( A ` i ) ) + ( 0 x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) )
23	12, 16, 22	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 1 x. ( A ` i ) ) + ( 0 x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) )
24		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = 0 -> ( 1 - p ) = ( 1 - 0 ) )
25		ax-1cn 9004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 e. CC
26	25	subid1i 9328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 - 0 ) = 1
27	24, 26	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p = 0 -> ( 1 - p ) = 1 )
28	27	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p = 0 -> ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) = ( 1 x. ( A ` i ) ) )
29		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p = 0 -> ( p x. ( T ` i ) ) = ( 0 x. ( T ` i ) ) )
30	28, 29	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p = 0 -> ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( ( 1 x. ( A ` i ) ) + ( 0 x. ( T ` i ) ) ) )
31	30	eqeq1d 2412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p = 0 -> ( ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) <-> ( ( 1 x. ( A ` i ) ) + ( 0 x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) ) )
32	31	ad2antlr 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) <-> ( ( 1 x. ( A ` i ) ) + ( 0 x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) ) )
33	23, 32	mpbird 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) )
34	33	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) <-> ( D ` i ) = ( A ` i ) ) )
35		eqcom 2406	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D ` i ) = ( A ` i ) <-> ( A ` i ) = ( D ` i ) )
36	34, 35	syl6bb 253	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) <-> ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
37	36	biimpd 199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) -> ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
38	37	adantrd 455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) -> ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
39	38	ralimdva 2744	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) -> ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
40	39	impancom 428	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> ( p = 0 -> A. i e. ( 1 ... N ) ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
41	9	ad2antrr 707	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
42		simp3l 985	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
43	42	ad2antrr 707	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
44		eqeefv 25746	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) -> ( A = D <-> A. i e. ( 1 ... N ) ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
45	41, 43, 44	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> ( A = D <-> A. i e. ( 1 ... N ) ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
46	40, 45	sylibrd 226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> ( p = 0 -> A = D ) )
47	46	necon3d 2605	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> ( A =/= D -> p =/= 0 ) )
48	47	impr 603	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) -> p =/= 0 )
49	48	anasss 629	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> p =/= 0 )
50		eqtr2 2422	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) -> ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) )
51	50	ralimi 2741	. . . . . . 7 |- ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) )
52	51	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) )
53	52	ad2antll 710	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) )
54		axeuclidlem 25805	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) /\ p =/= 0 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
55	3, 6, 7, 8, 49, 53, 54	syl231anc 1204	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
56	55	exp32 589	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) ) )
57	56	rexlimdvv 2796	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
58		brbtwn 25742	. . . . 5 |- ( ( D e. ( EE ` N ) /\ A e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) -> ( D Btwn <. A , T >. <-> E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) ) )
59	42, 9, 13, 58	syl3anc 1184	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( D Btwn <. A , T >. <-> E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) ) )
60		simp22 991	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
61		simp23 992	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
62		brbtwn 25742	. . . . 5 |- ( ( D e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) -> ( D Btwn <. B , C >. <-> E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) )
63	42, 60, 61, 62	syl3anc 1184	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( D Btwn <. B , C >. <-> E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) )
64	59, 63	3anbi12d 1255	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( D Btwn <. A , T >. /\ D Btwn <. B , C >. /\ A =/= D ) <-> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) /\ A =/= D ) ) )
65		r19.26 2798	. . . . . . 7 |- ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) <-> ( A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) )
66	65	2rexbii 2693	. . . . . 6 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) <-> E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) )
67		reeanv 2835	. . . . . 6 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) <-> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) )
68	66, 67	bitri 241	. . . . 5 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) <-> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) )
69	68	anbi1i 677	. . . 4 |- ( ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) <-> ( ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) )
70		r19.41v 2821	. . . . . 6 |- ( E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) <-> ( E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) )
71	70	rexbii 2691	. . . . 5 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) <-> E. p e. ( 0 [,] 1 ) ( E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) )
72		r19.41v 2821	. . . . 5 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) ( E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) <-> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) )
73	71, 72	bitri 241	. . . 4 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) <-> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) )
74		df-3an 938	. . . 4 |- ( ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) /\ A =/= D ) <-> ( ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) )
75	69, 73, 74	3bitr4i 269	. . 3 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) <-> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) /\ A =/= D ) )
76	64, 75	syl6bbr 255	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( D Btwn <. A , T >. /\ D Btwn <. B , C >. /\ A =/= D ) <-> E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) )
77		simpl22 1036	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
78		simpl21 1035	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
79		simprl 733	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> x e. ( EE ` N ) )
80		brbtwn 25742	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( EE ` N ) /\ A e. ( EE ` N ) /\ x e. ( EE ` N ) ) -> ( B Btwn <. A , x >. <-> E. r e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) ) )
81	77, 78, 79, 80	syl3anc 1184	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> ( B Btwn <. A , x >. <-> E. r e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) ) )
82		simpl23 1037	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
83		simprr 734	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> y e. ( EE ` N ) )
84		brbtwn 25742	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( EE ` N ) /\ A e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( C Btwn <. A , y >. <-> E. s e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) ) )
85	82, 78, 83, 84	syl3anc 1184	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> ( C Btwn <. A , y >. <-> E. s e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) ) )
86		simpl3r 1013	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> T e. ( EE ` N ) )
87		brbtwn 25742	. . . . . 6 |- ( ( T e. ( EE ` N ) /\ x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( T Btwn <. x , y >. <-> E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
88	86, 79, 83, 87	syl3anc 1184	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> ( T Btwn <. x , y >. <-> E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
89	81, 85, 88	3anbi123d 1254	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( B Btwn <. A , x >. /\ C Btwn <. A , y >. /\ T Btwn <. x , y >. ) <-> ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ E. s e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
90		r19.26-3 2800	. . . . . . 7 |- ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
91	90	rexbii 2691	. . . . . 6 |- ( E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. u e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
92	91	2rexbii 2693	. . . . 5 |- ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
93		3reeanv 2836	. . . . 5 |- ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ E. s e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
94	92, 93	bitri 241	. . . 4 |- ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ E. s e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
95	89, 94	syl6bbr 255	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( B Btwn <. A , x >. /\ C Btwn <. A , y >. /\ T Btwn <. x , y >. ) <-> E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
96	95	2rexbidva 2707	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) ( B Btwn <. A , x >. /\ C Btwn <. A , y >. /\ T Btwn <. x , y >. ) <-> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
97	57, 76, 96	3imtr4d 260	1 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( D Btwn <. A , T >. /\ D Btwn <. B , C >. /\ A =/= D ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) ( B Btwn <. A , x >. /\ C Btwn <. A , y >. /\ T Btwn <. x , y >. ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   <.cop 3777   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   - cmin 9247   NNcn 9956   [,]cicc 10875   ...cfz 10999   EEcee 25731   Btwn cbtwn 25732

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-z 10239  df-uz 10445  df-icc 10879  df-fz 11000  df-ee 25734  df-btwn 25735