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Theorem axextprim 25150
Description: ax-ext 2417 without distinct variable conditions or defined symbols. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
axextprim  |-  -.  A. x  -.  ( ( x  e.  y  ->  x  e.  z )  ->  (
( x  e.  z  ->  x  e.  y )  ->  y  =  z ) )

Proof of Theorem axextprim
StepHypRef Expression
1 axextnd 8466 . 2  |-  E. x
( ( x  e.  y  <->  x  e.  z
)  ->  y  =  z )
2 dfbi2 610 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  <->  x  e.  z )  <->  ( (
x  e.  y  ->  x  e.  z )  /\  ( x  e.  z  ->  x  e.  y ) ) )
32imbi1i 316 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  y  <-> 
x  e.  z )  ->  y  =  z )  <->  ( ( ( x  e.  y  ->  x  e.  z )  /\  ( x  e.  z  ->  x  e.  y ) )  ->  y  =  z ) )
4 impexp 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  y  ->  x  e.  z )  /\  (
x  e.  z  ->  x  e.  y )
)  ->  y  =  z )  <->  ( (
x  e.  y  ->  x  e.  z )  ->  ( ( x  e.  z  ->  x  e.  y )  ->  y  =  z ) ) )
53, 4bitri 241 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  y  <-> 
x  e.  z )  ->  y  =  z )  <->  ( ( x  e.  y  ->  x  e.  z )  ->  (
( x  e.  z  ->  x  e.  y )  ->  y  =  z ) ) )
65exbii 1592 . . 3  |-  ( E. x ( ( x  e.  y  <->  x  e.  z )  ->  y  =  z )  <->  E. x
( ( x  e.  y  ->  x  e.  z )  ->  (
( x  e.  z  ->  x  e.  y )  ->  y  =  z ) ) )
7 df-ex 1551 . . 3  |-  ( E. x ( ( x  e.  y  ->  x  e.  z )  ->  (
( x  e.  z  ->  x  e.  y )  ->  y  =  z ) )  <->  -.  A. x  -.  ( ( x  e.  y  ->  x  e.  z )  ->  (
( x  e.  z  ->  x  e.  y )  ->  y  =  z ) ) )
86, 7bitri 241 . 2  |-  ( E. x ( ( x  e.  y  <->  x  e.  z )  ->  y  =  z )  <->  -.  A. x  -.  ( ( x  e.  y  ->  x  e.  z )  ->  (
( x  e.  z  ->  x  e.  y )  ->  y  =  z ) ) )
91, 8mpbi 200 1  |-  -.  A. x  -.  ( ( x  e.  y  ->  x  e.  z )  ->  (
( x  e.  z  ->  x  e.  y )  ->  y  =  z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561
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