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Theorem axextprim 23458
Description: ax-ext 2264 without distinct variable conditions or defined symbols. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
axextprim  |-  -.  A. x  -.  ( ( x  e.  y  ->  x  e.  z )  ->  (
( x  e.  z  ->  x  e.  y )  ->  y  =  z ) )

Proof of Theorem axextprim
StepHypRef Expression
1 axextnd 8213 . 2  |-  E. x
( ( x  e.  y  <->  x  e.  z
)  ->  y  =  z )
2 dfbi2 609 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  <->  x  e.  z )  <->  ( (
x  e.  y  ->  x  e.  z )  /\  ( x  e.  z  ->  x  e.  y ) ) )
32imbi1i 315 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  y  <-> 
x  e.  z )  ->  y  =  z )  <->  ( ( ( x  e.  y  ->  x  e.  z )  /\  ( x  e.  z  ->  x  e.  y ) )  ->  y  =  z ) )
4 impexp 433 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  y  ->  x  e.  z )  /\  (
x  e.  z  ->  x  e.  y )
)  ->  y  =  z )  <->  ( (
x  e.  y  ->  x  e.  z )  ->  ( ( x  e.  z  ->  x  e.  y )  ->  y  =  z ) ) )
53, 4bitri 240 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  y  <-> 
x  e.  z )  ->  y  =  z )  <->  ( ( x  e.  y  ->  x  e.  z )  ->  (
( x  e.  z  ->  x  e.  y )  ->  y  =  z ) ) )
65exbii 1569 . . 3  |-  ( E. x ( ( x  e.  y  <->  x  e.  z )  ->  y  =  z )  <->  E. x
( ( x  e.  y  ->  x  e.  z )  ->  (
( x  e.  z  ->  x  e.  y )  ->  y  =  z ) ) )
7 df-ex 1529 . . 3  |-  ( E. x ( ( x  e.  y  ->  x  e.  z )  ->  (
( x  e.  z  ->  x  e.  y )  ->  y  =  z ) )  <->  -.  A. x  -.  ( ( x  e.  y  ->  x  e.  z )  ->  (
( x  e.  z  ->  x  e.  y )  ->  y  =  z ) ) )
86, 7bitri 240 . 2  |-  ( E. x ( ( x  e.  y  <->  x  e.  z )  ->  y  =  z )  <->  -.  A. x  -.  ( ( x  e.  y  ->  x  e.  z )  ->  (
( x  e.  z  ->  x  e.  y )  ->  y  =  z ) ) )
91, 8mpbi 199 1  |-  -.  A. x  -.  ( ( x  e.  y  ->  x  e.  z )  ->  (
( x  e.  z  ->  x  e.  y )  ->  y  =  z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408
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