Theorem axgroth2 8762

Description: Alternate version of Grothendieck's Axiom.

Assertion

Ref	Expression
axgroth2	|- E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y)))

Distinct variable group:   x,y,z,w,v

Proof of Theorem axgroth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-groth 8761	. 2 |- E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (z ~~ y \/ z e. y)))
2		visset 1811	. . . . . . . . . 10 |- z e. V
3		ssdomg 4402	. . . . . . . . . 10 |- (z e. V -> (z (_ y -> z ~<_ y))
4	2, 3	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (z (_ y -> z ~<_ y)
5	4	biantrurd 726	. . . . . . . 8 |- (z (_ y -> (y ~<_ z <-> (z ~<_ y /\ y ~<_ z)))
6		visset 1811	. . . . . . . . 9 |- y e. V
7		sbthbg 4451	. . . . . . . . 9 |- (y e. V -> ((z ~<_ y /\ y ~<_ z) <-> z ~~ y))
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- ((z ~<_ y /\ y ~<_ z) <-> z ~~ y)
9	5, 8	syl6bb 535	. . . . . . 7 |- (z (_ y -> (y ~<_ z <-> z ~~ y))
10	9	orbi1d 614	. . . . . 6 |- (z (_ y -> ((y ~<_ z \/ z e. y) <-> (z ~~ y \/ z e. y)))
11	10	pm5.74i 583	. . . . 5 |- ((z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y)) <-> (z (_ y -> (z ~~ y \/ z e. y)))
12	11	albii 998	. . . 4 |- (A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y)) <-> A.z(z (_ y -> (z ~~ y \/ z e. y)))
13	12	3anbi3i 825	. . 3 |- ((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))) <-> (x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (z ~~ y \/ z e. y))))
14	13	exbii 1050	. 2 |- (E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))) <-> E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (z ~~ y \/ z e. y))))
15	1, 14	mpbir 190	1 |- E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 774  A.wal 953   e. wcel 957  E.wex 979  A.wral 1644  E.wrex 1645  Vcvv 1809   (_ wss 2045   class class class wbr 2616   ~~ cen 4361   ~<_ cdom 4362

This theorem is referenced by:  axgroth3 8763

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-groth 8761

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-er 4258  df-en 4364  df-dom 4365

Copyright terms: Public domain