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Theorem axgroth3 8543
Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. ax-cc 8151 is used to derive this version. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
axgroth3  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v

Proof of Theorem axgroth3
StepHypRef Expression
1 axgroth2 8537 . 2  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
2 ssid 3273 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  C_  z
3 sseq1 3275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  z  ->  (
v  C_  z  <->  z  C_  z ) )
4 elequ1 1713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  z  ->  (
v  e.  w  <->  z  e.  w ) )
53, 4imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  z  ->  (
( v  C_  z  ->  v  e.  w )  <-> 
( z  C_  z  ->  z  e.  w ) ) )
65spv 2003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
)  ->  ( z  C_  z  ->  z  e.  w ) )
72, 6mpi 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
)  ->  z  e.  w )
87reximi 2726 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
)  ->  E. w  e.  y  z  e.  w )
9 eluni2 3912 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  U. y  <->  E. w  e.  y  z  e.  w )
108, 9sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
)  ->  z  e.  U. y )
1110adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) )  ->  z  e.  U. y )
1211ralimi 2694 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  ->  A. z  e.  y  z  e.  U. y )
13 dfss3 3246 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  U. y  <->  A. z  e.  y  z  e.  U. y )
1412, 13sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  ->  y  C_  U. y )
15 ne0i 3537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  y  ->  y  =/=  (/) )
16 vex 2867 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
1716dominf 8161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  =/=  (/)  /\  y  C_ 
U. y )  ->  om 
~<_  y )
1815, 17sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  U. y )  ->  om  ~<_  y )
19 grothac 8542 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  card  =  _V
2016, 19eleqtrri 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
dom  card
21 vex 2867 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
2221, 19eleqtrri 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
dom  card
23 infdif2 7926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  dom  card  /\  z  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  y )  -> 
( ( y  \ 
z )  ~<_  z  <->  y  ~<_  z ) )
2420, 22, 23mp3an12 1267 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  ~<_  y  ->  ( (
y  \  z )  ~<_  z 
<->  y  ~<_  z ) )
2518, 24syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  U. y )  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  <-> 
y  ~<_  z ) )
2625orbi1d 683 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  U. y )  ->  ( ( ( y  \  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y )  <->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
2726imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  U. y )  ->  ( ( z 
C_  y  ->  (
( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
2827albidv 1625 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  U. y )  ->  ( A. z
( z  C_  y  ->  ( ( y  \ 
z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  A. z ( z 
C_  y  ->  (
y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
2914, 28sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) ) )  -> 
( A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  A. z
( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
3029pm5.32i 618 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( ( y  \ 
z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
31 df-3an 936 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
32 df-3an 936 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
3330, 31, 323bitr4i 268 . . 3  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
3433exbii 1582 . 2  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( ( y  \ 
z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
351, 34mpbir 200 1  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1540   E.wex 1541    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619   E.wrex 2620   _Vcvv 2864    \ cdif 3225    C_ wss 3228   (/)c0 3531   U.cuni 3908   class class class wbr 4104   omcom 4738   dom cdm 4771    ~<_ cdom 6949   cardccrd 7658
This theorem is referenced by:  axgroth4  8544
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-reg 7396  ax-inf2 7432  ax-cc 8151  ax-groth 8535
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-oi 7315  df-card 7662  df-cda 7884
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