Theorem axgroth3 8734

Description: Alternate version of Grothendieck's Axiom. ax-ac 4727 is used to derive this version.

Assertion

Ref	Expression
axgroth3	|- E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y)))

Distinct variable group:   x,y,z,w,v

Proof of Theorem axgroth3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth2 8733	. 2 |- E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y)))
2		visset 1810	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. V
3	2	dominf 4887	. . . . . . . . . . 11 |- ((y =/= (/) /\ y (_ U.y) -> om ~<_ y)
4		ne0i 2283	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. y -> y =/= (/))
5	3, 4	sylan 448	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. y /\ y (_ U.y) -> om ~<_ y)
6		visset 1810	. . . . . . . . . . 11 |- z e. V
7	2, 6	infdif2 7529	. . . . . . . . . 10 |- (om ~<_ y -> ((y \ z) ~<_ z <-> y ~<_ z))
8	5, 7	syl 10	. . . . . . . . 9 |- ((x e. y /\ y (_ U.y) -> ((y \ z) ~<_ z <-> y ~<_ z))
9	8	orbi1d 614	. . . . . . . 8 |- ((x e. y /\ y (_ U.y) -> (((y \ z) ~<_ z \/ z e. y) <-> (y ~<_ z \/ z e. y)))
10	9	imbi2d 611	. . . . . . 7 |- ((x e. y /\ y (_ U.y) -> ((z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y)) <-> (z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))))
11	10	albidv 1277	. . . . . 6 |- ((x e. y /\ y (_ U.y) -> (A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y)) <-> A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))))
12		ssid 2077	. . . . . . . . . . . 12 |- z (_ z
13		sseq1 2079	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v = z -> (v (_ z <-> z (_ z))
14		elequ1 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v = z -> (v e. w <-> z e. w))
15	13, 14	imbi12d 625	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v = z -> ((v (_ z -> v e. w) <-> (z (_ z -> z e. w)))
16	15	a4v 1271	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.v(v (_ z -> v e. w) -> (z (_ z -> z e. w))
17	12, 16	mpi 44	. . . . . . . . . . 11 |- (A.v(v (_ z -> v e. w) -> z e. w)
18	17	r19.22si 1732	. . . . . . . . . 10 |- (E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w) -> E.w e. y z e. w)
19		eluni2 2503	. . . . . . . . . 10 |- (z e. U.y <-> E.w e. y z e. w)
20	18, 19	sylibr 200	. . . . . . . . 9 |- (E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w) -> z e. U.y)
21	20	adantl 388	. . . . . . . 8 |- ((A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) -> z e. U.y)
22	21	r19.20si 1704	. . . . . . 7 |- (A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) -> A.z e. y z e. U.y)
23		dfss3 2056	. . . . . . 7 |- (y (_ U.y <-> A.z e. y z e. U.y)
24	22, 23	sylibr 200	. . . . . 6 |- (A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) -> y (_ U.y)
25	11, 24	sylan2 451	. . . . 5 |- ((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w))) -> (A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y)) <-> A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))))
26	25	pm5.32i 644	. . . 4 |- (((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w))) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y))) <-> ((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w))) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))))
27		df-3an 776	. . . 4 |- ((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y))) <-> ((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w))) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y))))
28		df-3an 776	. . . 4 |- ((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))) <-> ((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w))) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))))
29	26, 27, 28	3bitr4 183	. . 3 |- ((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y))) <-> (x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))))
30	29	exbii 1050	. 2 |- (E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y))) <-> E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))))
31	1, 30	mpbir 190	1 |- E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 774  A.wal 953   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979   =/= wne 1583  A.wral 1643  E.wrex 1644   \ cdif 2041   (_ wss 2044  (/)c0 2277  U.cuni 2499   class class class wbr 2615  omcom 3127   ~<_ cdom 4358

This theorem is referenced by:  axgroth4 8735

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-reg 4576  ax-inf2 4608  ax-ac 4727  ax-groth 8732

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-iso 3195  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-2o 4127  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-map 4317  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-card 4799  df-cda 4901  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-n 5883  df-2 5927  df-n0 6057  df-z 6093  df-seq1 6258  df-exp 6514

Copyright terms: Public domain