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Theorem axgroth4 8470
Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. ax-ac 8101 is used to derive this version. (Contributed by NM, 16-Apr-2007.)
Assertion
Ref Expression
axgroth4  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v

Proof of Theorem axgroth4
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axgroth3 8469 . 2  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
2 elequ2 1701 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  v  ->  (
u  e.  w  <->  u  e.  v ) )
32imbi2d 307 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  v  ->  (
( u  C_  z  ->  u  e.  w )  <-> 
( u  C_  z  ->  u  e.  v ) ) )
43albidv 1615 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  v  ->  ( A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  w
)  <->  A. u ( u 
C_  z  ->  u  e.  v ) ) )
54cbvrexv 2778 . . . . . . 7  |-  ( E. w  e.  y  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  w
)  <->  E. v  e.  y 
A. u ( u 
C_  z  ->  u  e.  v ) )
65anbi2i 675 . . . . . 6  |-  ( ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  w
) )  <->  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. v  e.  y  A. u
( u  C_  z  ->  u  e.  v ) ) )
7 r19.42v 2707 . . . . . 6  |-  ( E. v  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  v ) )  <->  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. v  e.  y  A. u
( u  C_  z  ->  u  e.  v ) ) )
8 sseq1 3212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  w  ->  (
u  C_  z  <->  w  C_  z
) )
9 elequ1 1699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  w  ->  (
u  e.  v  <->  w  e.  v ) )
108, 9imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  w  ->  (
( u  C_  z  ->  u  e.  v )  <-> 
( w  C_  z  ->  w  e.  v ) ) )
1110cbvalv 1955 . . . . . . . . 9  |-  ( A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  v )  <->  A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  v ) )
1211anbi2i 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  v ) )  <->  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  v ) ) )
13 19.26 1583 . . . . . . . 8  |-  ( A. w ( ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  (
w  C_  z  ->  w  e.  v ) )  <-> 
( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  v ) ) )
14 pm4.76 836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  ( w  C_  z  ->  w  e.  v ) )  <->  ( w  C_  z  ->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) ) )
15 elin 3371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( y  i^i  v )  <->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) )
1615imbi2i 303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  <->  ( w  C_  z  ->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) ) )
1714, 16bitr4i 243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  ( w  C_  z  ->  w  e.  v ) )  <->  ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v
) ) )
1817albii 1556 . . . . . . . 8  |-  ( A. w ( ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  (
w  C_  z  ->  w  e.  v ) )  <->  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) ) )
1912, 13, 183bitr2i 264 . . . . . . 7  |-  ( ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  v ) )  <->  A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) ) )
2019rexbii 2581 . . . . . 6  |-  ( E. v  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  v ) )  <->  E. v  e.  y  A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) ) )
216, 7, 203bitr2i 264 . . . . 5  |-  ( ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  w
) )  <->  E. v  e.  y  A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) ) )
2221ralbii 2580 . . . 4  |-  ( A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. u
( u  C_  z  ->  u  e.  w ) )  <->  A. z  e.  y  E. v  e.  y 
A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v
) ) )
23223anbi2i 1143 . . 3  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  w
) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
2423exbii 1572 . 2  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. u
( u  C_  z  ->  u  e.  w ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( ( y  \ 
z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
251, 24mpbi 199 1  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    ~<_ cdom 6877
This theorem is referenced by:  grothprim  8472
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-reg 7322  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-groth 8461
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810
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