Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  axhcompl-zf Unicode version

Theorem axhcompl-zf 21578
 Description: Derive axiom ax-hcompl 21781 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
axhil.1
axhil.2
Assertion
Ref Expression
axhcompl-zf
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem axhcompl-zf
StepHypRef Expression
1 axhil.2 . . . . . 6
2 simpl 443 . . . . . 6
3 eqid 2283 . . . . . . 7
4 eqid 2283 . . . . . . 7
53, 4hlcompl 21494 . . . . . 6
61, 2, 5sylancr 644 . . . . 5
7 eldm2g 4875 . . . . . 6
87adantr 451 . . . . 5
96, 8mpbid 201 . . . 4
10 df-br 4024 . . . . . 6
111hlnvi 21471 . . . . . . . . . 10
12 df-hba 21549 . . . . . . . . . . . 12
13 axhil.1 . . . . . . . . . . . . 13
1413fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . 12
1512, 14eqtr4i 2306 . . . . . . . . . . 11
1615, 3imsxmet 21261 . . . . . . . . . 10
174mopntopon 17985 . . . . . . . . . 10 TopOn
1811, 16, 17mp2b 9 . . . . . . . . 9 TopOn
19 lmcl 17025 . . . . . . . . 9 TopOn
2018, 19mpan 651 . . . . . . . 8
2120a1i 10 . . . . . . 7
2213, 11, 15, 3, 4h2hlm 21560 . . . . . . . . . . . 12
2322breqi 4029 . . . . . . . . . . 11
24 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12
2524brres 4961 . . . . . . . . . . 11
26 ancom 437 . . . . . . . . . . 11
2723, 25, 263bitri 262 . . . . . . . . . 10
2827baib 871 . . . . . . . . 9
2928adantl 452 . . . . . . . 8
3029biimprd 214 . . . . . . 7
3121, 30jcad 519 . . . . . 6
3210, 31syl5bir 209 . . . . 5
3332eximdv 1608 . . . 4
349, 33mpd 14 . . 3
35 elin 3358 . . 3
36 df-rex 2549 . . 3
3734, 35, 363imtr4i 257 . 2
3813, 11, 15, 3h2hcau 21559 . 2
3937, 38eleq2s 2375 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684  wrex 2544   cin 3151  cop 3643   class class class wbr 4023   cdm 4689   cres 4691  cfv 5255  (class class class)co 5858   cmap 6772  cn 9746  cxmt 16369  cmopn 16372  TopOnctopon 16632  clm 16956  cca 18679  cnv 21140  cba 21142  cims 21147  chlo 21464  chil 21499   cva 21500   csm 21501  cno 21503  ccau 21506   chli 21507 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-ntr 16757  df-nei 16835  df-lm 16959  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-cfil 18681  df-cau 18682  df-cmet 18683  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-cbn 21442  df-hlo 21465  df-hba 21549  df-hvsub 21551  df-hlim 21552  df-hcau 21553
 Copyright terms: Public domain W3C validator