Theorem axhv0cl 8855

Description: Derive axiom ax-hv0cl 8873 from Hilbert space under ZF set theory.

Hypotheses

Ref	Expression
axhil.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.
axhil.2	|- U e. CHil

Assertion

Ref	Expression
axhv0cl	|- 0h e. H~

Proof of Theorem axhv0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axhil.2	. 2 |- U e. CHil
2		df-hba 8838	. . . 4 |- H~ = (Base` <.<. +h , .h >., normh>.)
3		axhil.1	. . . . 5 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
4	3	fveq2i 3727	. . . 4 |- (Base` U) = (Base` <.<. +h , .h >., normh>.)
5	2, 4	eqtr4 1498	. . 3 |- H~ = (Base` U)
6		df-h0v 8839	. . . 4 |- 0h = (0v` <.<. +h , .h >., normh>.)
7	3	fveq2i 3727	. . . 4 |- (0v` U) = (0v` <.<. +h , .h >., normh>.)
8	6, 7	eqtr4 1498	. . 3 |- 0h = (0v` U)
9	5, 8	hl0cl 8604	. 2 |- (U e. CHil -> 0h e. H~)
10	1, 9	ax-mp 7	1 |- 0h e. H~

Syntax hints:   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411  ` cfv 3182  Basecba 8205  0vcn0v 8207  CHilchl 8589  H~chil 8788   +h cva 8789   .h csm 8790  0hc0v 8791  normhcno 8794

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-grp 8037  df-gid 8038  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219  df-bn 8523  df-hl 8590  df-hba 8838  df-h0v 8839

Copyright terms: Public domain