MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axi2m1 Unicode version

Theorem axi2m1 8658
Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom 12 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 8682. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axi2m1  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0

Proof of Theorem axi2m1
StepHypRef Expression
1 0r 8579 . . . . . 6  |-  0R  e.  R.
2 1sr 8580 . . . . . 6  |-  1R  e.  R.
3 mulcnsr 8635 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0R  e.  R.  /\ 
1R  e.  R. )  /\  ( 0R  e.  R.  /\ 
1R  e.  R. )
)  ->  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )  =  <. ( ( 0R 
.R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) ) >. )
41, 2, 1, 2, 3mp4an 657 . . . . 5  |-  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )  =  <. ( ( 0R 
.R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) ) >.
5 00sr 8598 . . . . . . . . 9  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  .R  0R )  =  0R )
61, 5ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( 0R 
.R  0R )  =  0R
7 1idsr 8597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1R  e.  R.  ->  ( 1R  .R  1R )  =  1R )
82, 7ax-mp 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1R 
.R  1R )  =  1R
98oveq2i 5718 . . . . . . . . 9  |-  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  1R ) )  =  ( -1R  .R  1R )
10 m1r 8581 . . . . . . . . . 10  |-  -1R  e.  R.
11 1idsr 8597 . . . . . . . . . 10  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
.R  1R )  =  -1R )
1210, 11ax-mp 10 . . . . . . . . 9  |-  ( -1R 
.R  1R )  =  -1R
139, 12eqtri 2273 . . . . . . . 8  |-  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  1R ) )  =  -1R
146, 13oveq12i 5719 . . . . . . 7  |-  ( ( 0R  .R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R )
) )  =  ( 0R  +R  -1R )
15 addcomsr 8586 . . . . . . 7  |-  ( 0R 
+R  -1R )  =  ( -1R  +R  0R )
16 0idsr 8596 . . . . . . . 8  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
+R  0R )  =  -1R )
1710, 16ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  ( -1R 
+R  0R )  =  -1R
1814, 15, 173eqtri 2277 . . . . . 6  |-  ( ( 0R  .R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R )
) )  =  -1R
19 00sr 8598 . . . . . . . . 9  |-  ( 1R  e.  R.  ->  ( 1R  .R  0R )  =  0R )
202, 19ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( 1R 
.R  0R )  =  0R
21 1idsr 8597 . . . . . . . . 9  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  .R  1R )  =  0R )
221, 21ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( 0R 
.R  1R )  =  0R
2320, 22oveq12i 5719 . . . . . . 7  |-  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) )  =  ( 0R  +R  0R )
24 0idsr 8596 . . . . . . . 8  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  +R  0R )  =  0R )
251, 24ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  ( 0R 
+R  0R )  =  0R
2623, 25eqtri 2273 . . . . . 6  |-  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) )  =  0R
2718, 26opeq12i 3698 . . . . 5  |-  <. (
( 0R  .R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R )
) ) ,  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) ) >.  =  <. -1R
,  0R >.
284, 27eqtri 2273 . . . 4  |-  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )  =  <. -1R ,  0R >.
2928oveq1i 5717 . . 3  |-  ( (
<. 0R ,  1R >.  x. 
<. 0R ,  1R >. )  +  <. 1R ,  0R >. )  =  ( <. -1R ,  0R >.  +  <. 1R ,  0R >. )
30 addresr 8637 . . . 4  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  1R  e.  R. )  -> 
( <. -1R ,  0R >.  + 
<. 1R ,  0R >. )  =  <. ( -1R  +R  1R ) ,  0R >. )
3110, 2, 30mp2an 656 . . 3  |-  ( <. -1R ,  0R >.  +  <. 1R ,  0R >. )  =  <. ( -1R  +R  1R ) ,  0R >.
32 m1p1sr 8591 . . . 4  |-  ( -1R 
+R  1R )  =  0R
3332opeq1i 3696 . . 3  |-  <. ( -1R  +R  1R ) ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >.
3429, 31, 333eqtri 2277 . 2  |-  ( (
<. 0R ,  1R >.  x. 
<. 0R ,  1R >. )  +  <. 1R ,  0R >. )  =  <. 0R ,  0R >.
35 df-i 8623 . . . 4  |-  _i  =  <. 0R ,  1R >.
3635, 35oveq12i 5719 . . 3  |-  ( _i  x.  _i )  =  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )
37 df-1 8622 . . 3  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
3836, 37oveq12i 5719 . 2  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  ( ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )  +  <. 1R ,  0R >. )
39 df-0 8621 . 2  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
4034, 38, 393eqtr4i 2283 1  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1619    e. wcel 1621   <.cop 3544  (class class class)co 5707   R.cnr 8366   0Rc0r 8367   1Rc1r 8368   -1Rcm1r 8369    +R cplr 8370    .R cmr 8371   0cc0 8614   1c1 8615   _ici 8616    + caddc 8617    x. cmul 8619
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4035  ax-nul 4043  ax-pow 4079  ax-pr 4105  ax-un 4400  ax-inf2 7223
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2511  df-rex 2512  df-reu 2513  df-rab 2514  df-v 2727  df-sbc 2920  df-csb 3007  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3086  df-pss 3088  df-nul 3360  df-if 3468  df-pw 3529  df-sn 3547  df-pr 3548  df-tp 3549  df-op 3550  df-uni 3725  df-int 3758  df-iun 3802  df-br 3918  df-opab 3972  df-mpt 3973  df-tr 4008  df-eprel 4195  df-id 4199  df-po 4204  df-so 4205  df-fr 4242  df-we 4244  df-ord 4285  df-on 4286  df-lim 4287  df-suc 4288  df-om 4545  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-fun 4599  df-fn 4600  df-f 4601  df-f1 4602  df-fo 4603  df-f1o 4604  df-fv 4605  df-ov 5710  df-oprab 5711  df-mpt2 5712  df-1st 5971  df-2nd 5972  df-recs 6271  df-rdg 6306  df-1o 6362  df-oadd 6366  df-omul 6367  df-er 6543  df-ec 6545  df-qs 6549  df-ni 8373  df-pli 8374  df-mi 8375  df-lti 8376  df-plpq 8409  df-mpq 8410  df-ltpq 8411  df-enq 8412  df-nq 8413  df-erq 8414  df-plq 8415  df-mq 8416  df-1nq 8417  df-rq 8418  df-ltnq 8419  df-np 8482  df-1p 8483  df-plp 8484  df-mp 8485  df-ltp 8486  df-plpr 8556  df-mpr 8557  df-enr 8558  df-nr 8559  df-plr 8560  df-mr 8561  df-0r 8563  df-1r 8564  df-m1r 8565  df-c 8620  df-0 8621  df-1 8622  df-i 8623  df-plus 8625  df-mul 8626
  Copyright terms: Public domain W3C validator