MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axi2m1 Unicode version

Theorem axi2m1 8778
Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom 12 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 8802. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axi2m1  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0

Proof of Theorem axi2m1
StepHypRef Expression
1 0r 8699 . . . . . 6  |-  0R  e.  R.
2 1sr 8700 . . . . . 6  |-  1R  e.  R.
3 mulcnsr 8755 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0R  e.  R.  /\ 
1R  e.  R. )  /\  ( 0R  e.  R.  /\ 
1R  e.  R. )
)  ->  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )  =  <. ( ( 0R 
.R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) ) >. )
41, 2, 1, 2, 3mp4an 656 . . . . 5  |-  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )  =  <. ( ( 0R 
.R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) ) >.
5 00sr 8718 . . . . . . . . 9  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  .R  0R )  =  0R )
61, 5ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( 0R 
.R  0R )  =  0R
7 1idsr 8717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1R  e.  R.  ->  ( 1R  .R  1R )  =  1R )
82, 7ax-mp 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1R 
.R  1R )  =  1R
98oveq2i 5832 . . . . . . . . 9  |-  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  1R ) )  =  ( -1R  .R  1R )
10 m1r 8701 . . . . . . . . . 10  |-  -1R  e.  R.
11 1idsr 8717 . . . . . . . . . 10  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
.R  1R )  =  -1R )
1210, 11ax-mp 10 . . . . . . . . 9  |-  ( -1R 
.R  1R )  =  -1R
139, 12eqtri 2306 . . . . . . . 8  |-  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  1R ) )  =  -1R
146, 13oveq12i 5833 . . . . . . 7  |-  ( ( 0R  .R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R )
) )  =  ( 0R  +R  -1R )
15 addcomsr 8706 . . . . . . 7  |-  ( 0R 
+R  -1R )  =  ( -1R  +R  0R )
16 0idsr 8716 . . . . . . . 8  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
+R  0R )  =  -1R )
1710, 16ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  ( -1R 
+R  0R )  =  -1R
1814, 15, 173eqtri 2310 . . . . . 6  |-  ( ( 0R  .R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R )
) )  =  -1R
19 00sr 8718 . . . . . . . . 9  |-  ( 1R  e.  R.  ->  ( 1R  .R  0R )  =  0R )
202, 19ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( 1R 
.R  0R )  =  0R
21 1idsr 8717 . . . . . . . . 9  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  .R  1R )  =  0R )
221, 21ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( 0R 
.R  1R )  =  0R
2320, 22oveq12i 5833 . . . . . . 7  |-  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) )  =  ( 0R  +R  0R )
24 0idsr 8716 . . . . . . . 8  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  +R  0R )  =  0R )
251, 24ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  ( 0R 
+R  0R )  =  0R
2623, 25eqtri 2306 . . . . . 6  |-  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) )  =  0R
2718, 26opeq12i 3804 . . . . 5  |-  <. (
( 0R  .R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R )
) ) ,  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) ) >.  =  <. -1R
,  0R >.
284, 27eqtri 2306 . . . 4  |-  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )  =  <. -1R ,  0R >.
2928oveq1i 5831 . . 3  |-  ( (
<. 0R ,  1R >.  x. 
<. 0R ,  1R >. )  +  <. 1R ,  0R >. )  =  ( <. -1R ,  0R >.  +  <. 1R ,  0R >. )
30 addresr 8757 . . . 4  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  1R  e.  R. )  -> 
( <. -1R ,  0R >.  + 
<. 1R ,  0R >. )  =  <. ( -1R  +R  1R ) ,  0R >. )
3110, 2, 30mp2an 655 . . 3  |-  ( <. -1R ,  0R >.  +  <. 1R ,  0R >. )  =  <. ( -1R  +R  1R ) ,  0R >.
32 m1p1sr 8711 . . . 4  |-  ( -1R 
+R  1R )  =  0R
3332opeq1i 3802 . . 3  |-  <. ( -1R  +R  1R ) ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >.
3429, 31, 333eqtri 2310 . 2  |-  ( (
<. 0R ,  1R >.  x. 
<. 0R ,  1R >. )  +  <. 1R ,  0R >. )  =  <. 0R ,  0R >.
35 df-i 8743 . . . 4  |-  _i  =  <. 0R ,  1R >.
3635, 35oveq12i 5833 . . 3  |-  ( _i  x.  _i )  =  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )
37 df-1 8742 . . 3  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
3836, 37oveq12i 5833 . 2  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  ( ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )  +  <. 1R ,  0R >. )
39 df-0 8741 . 2  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
4034, 38, 393eqtr4i 2316 1  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1625    e. wcel 1687   <.cop 3646  (class class class)co 5821   R.cnr 8486   0Rc0r 8487   1Rc1r 8488   -1Rcm1r 8489    +R cplr 8490    .R cmr 8491   0cc0 8734   1c1 8735   _ici 8736    + caddc 8737    x. cmul 8739
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-inf2 7339
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-int 3866  df-iun 3910  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-1o 6476  df-oadd 6480  df-omul 6481  df-er 6657  df-ec 6659  df-qs 6663  df-ni 8493  df-pli 8494  df-mi 8495  df-lti 8496  df-plpq 8529  df-mpq 8530  df-ltpq 8531  df-enq 8532  df-nq 8533  df-erq 8534  df-plq 8535  df-mq 8536  df-1nq 8537  df-rq 8538  df-ltnq 8539  df-np 8602  df-1p 8603  df-plp 8604  df-mp 8605  df-ltp 8606  df-plpr 8676  df-mpr 8677  df-enr 8678  df-nr 8679  df-plr 8680  df-mr 8681  df-0r 8683  df-1r 8684  df-m1r 8685  df-c 8740  df-0 8741  df-1 8742  df-i 8743  df-add 8745  df-mul 8746
  Copyright terms: Public domain W3C validator