Theorem axi2m1 5208

Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom 19 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axi2m1	|- ((i x. i) + 1) = 0

Proof of Theorem axi2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 5112	. . . . . . 7 |- 0R e. R.
2		1r 5113	. . . . . . 7 |- 1R e. R.
3	1, 2	pm3.2i 285	. . . . . 6 |- (0R e. R. /\ 1R e. R.)
4		mulcnsr 5177	. . . . . 6 |- (((0R e. R. /\ 1R e. R.) /\ (0R e. R. /\ 1R e. R.)) -> (<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.) = <.((0R .R 0R) +R (-1R .R (1R .R 1R))), ((1R .R 0R) +R (0R .R 1R))>.)
5	3, 3, 4	mp2an 694	. . . . 5 |- (<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.) = <.((0R .R 0R) +R (-1R .R (1R .R 1R))), ((1R .R 0R) +R (0R .R 1R))>.
6		00sr 5131	. . . . . . . . 9 |- (0R e. R. -> (0R .R 0R) = 0R)
7	1, 6	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (0R .R 0R) = 0R
8		1idsr 5130	. . . . . . . . . . 11 |- (1R e. R. -> (1R .R 1R) = 1R)
9	2, 8	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- (1R .R 1R) = 1R
10	9	opreq2i 3911	. . . . . . . . 9 |- (-1R .R (1R .R 1R)) = (-1R .R 1R)
11		m1r 5114	. . . . . . . . . 10 |- -1R e. R.
12		1idsr 5130	. . . . . . . . . 10 |- (-1R e. R. -> (-1R .R 1R) = -1R)
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (-1R .R 1R) = -1R
14	10, 13	eqtr 1471	. . . . . . . 8 |- (-1R .R (1R .R 1R)) = -1R
15	7, 14	opreq12i 3912	. . . . . . 7 |- ((0R .R 0R) +R (-1R .R (1R .R 1R))) = (0R +R -1R)
16	1	elisseti 1793	. . . . . . . 8 |- 0R e. V
17	11	elisseti 1793	. . . . . . . 8 |- -1R e. V
18	16, 17	addcomsr 5119	. . . . . . 7 |- (0R +R -1R) = (-1R +R 0R)
19		0idsr 5129	. . . . . . . 8 |- (-1R e. R. -> (-1R +R 0R) = -1R)
20	11, 19	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (-1R +R 0R) = -1R
21	15, 18, 20	3eqtr 1475	. . . . . 6 |- ((0R .R 0R) +R (-1R .R (1R .R 1R))) = -1R
22		00sr 5131	. . . . . . . . 9 |- (1R e. R. -> (1R .R 0R) = 0R)
23	2, 22	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (1R .R 0R) = 0R
24		1idsr 5130	. . . . . . . . 9 |- (0R e. R. -> (0R .R 1R) = 0R)
25	1, 24	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (0R .R 1R) = 0R
26	23, 25	opreq12i 3912	. . . . . . 7 |- ((1R .R 0R) +R (0R .R 1R)) = (0R +R 0R)
27		0idsr 5129	. . . . . . . 8 |- (0R e. R. -> (0R +R 0R) = 0R)
28	1, 27	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (0R +R 0R) = 0R
29	26, 28	eqtr 1471	. . . . . 6 |- ((1R .R 0R) +R (0R .R 1R)) = 0R
30	21, 29	opeq12i 2461	. . . . 5 |- <.((0R .R 0R) +R (-1R .R (1R .R 1R))), ((1R .R 0R) +R (0R .R 1R))>. = <.-1R, 0R>.
31	5, 30	eqtr 1471	. . . 4 |- (<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.) = <.-1R, 0R>.
32	31	opreq1i 3910	. . 3 |- ((<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.) + <.1R, 0R>.) = (<.-1R, 0R>. + <.1R, 0R>.)
33		addresr 5179	. . . 4 |- ((-1R e. R. /\ 1R e. R.) -> (<.-1R, 0R>. + <.1R, 0R>.) = <.(-1R +R 1R), 0R>.)
34	11, 2, 33	mp2an 694	. . 3 |- (<.-1R, 0R>. + <.1R, 0R>.) = <.(-1R +R 1R), 0R>.
35		m1p1sr 5124	. . . 4 |- (-1R +R 1R) = 0R
36	35	opeq1i 2459	. . 3 |- <.(-1R +R 1R), 0R>. = <.0R, 0R>.
37	32, 34, 36	3eqtr 1475	. 2 |- ((<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.) + <.1R, 0R>.) = <.0R, 0R>.
38		df-i 5166	. . . 4 |- i = <.0R, 1R>.
39	38, 38	opreq12i 3912	. . 3 |- (i x. i) = (<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.)
40		df-1 5165	. . 3 |- 1 = <.1R, 0R>.
41	39, 40	opreq12i 3912	. 2 |- ((i x. i) + 1) = ((<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.) + <.1R, 0R>.)
42		df-0 5164	. 2 |- 0 = <.0R, 0R>.
43	37, 41, 42	3eqtr4 1481	1 |- ((i x. i) + 1) = 0

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 1099   e. wcel 1105  <.cop 2382  (class class class)co 3902  R.cnr 4916  0Rc0r 4917  1Rc1r 4918  -1Rcm1r 4919   +R cplr 4920   .R cmr 4921  0cc0 5157  1c1 5158  ici 5159   + caddc 5160   x. cmul 5162

This theorem is referenced by:  0cn 5251  ine0 5357  ixi 5605  inelr 6616

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-0r 5094  df-1r 5095  df-m1r 5096  df-c 5163  df-0 5164  df-1 5165  df-i 5166  df-plus 5168  df-mul 5169

Copyright terms: Public domain