MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axi2m1 Unicode version

Theorem axi2m1 8735
Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom 12 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 8759. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axi2m1  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0

Proof of Theorem axi2m1
StepHypRef Expression
1 0r 8656 . . . . . 6  |-  0R  e.  R.
2 1sr 8657 . . . . . 6  |-  1R  e.  R.
3 mulcnsr 8712 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0R  e.  R.  /\ 
1R  e.  R. )  /\  ( 0R  e.  R.  /\ 
1R  e.  R. )
)  ->  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )  =  <. ( ( 0R 
.R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) ) >. )
41, 2, 1, 2, 3mp4an 657 . . . . 5  |-  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )  =  <. ( ( 0R 
.R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) ) >.
5 00sr 8675 . . . . . . . . 9  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  .R  0R )  =  0R )
61, 5ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( 0R 
.R  0R )  =  0R
7 1idsr 8674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1R  e.  R.  ->  ( 1R  .R  1R )  =  1R )
82, 7ax-mp 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1R 
.R  1R )  =  1R
98oveq2i 5789 . . . . . . . . 9  |-  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  1R ) )  =  ( -1R  .R  1R )
10 m1r 8658 . . . . . . . . . 10  |-  -1R  e.  R.
11 1idsr 8674 . . . . . . . . . 10  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
.R  1R )  =  -1R )
1210, 11ax-mp 10 . . . . . . . . 9  |-  ( -1R 
.R  1R )  =  -1R
139, 12eqtri 2276 . . . . . . . 8  |-  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  1R ) )  =  -1R
146, 13oveq12i 5790 . . . . . . 7  |-  ( ( 0R  .R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R )
) )  =  ( 0R  +R  -1R )
15 addcomsr 8663 . . . . . . 7  |-  ( 0R 
+R  -1R )  =  ( -1R  +R  0R )
16 0idsr 8673 . . . . . . . 8  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
+R  0R )  =  -1R )
1710, 16ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  ( -1R 
+R  0R )  =  -1R
1814, 15, 173eqtri 2280 . . . . . 6  |-  ( ( 0R  .R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R )
) )  =  -1R
19 00sr 8675 . . . . . . . . 9  |-  ( 1R  e.  R.  ->  ( 1R  .R  0R )  =  0R )
202, 19ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( 1R 
.R  0R )  =  0R
21 1idsr 8674 . . . . . . . . 9  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  .R  1R )  =  0R )
221, 21ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( 0R 
.R  1R )  =  0R
2320, 22oveq12i 5790 . . . . . . 7  |-  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) )  =  ( 0R  +R  0R )
24 0idsr 8673 . . . . . . . 8  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  +R  0R )  =  0R )
251, 24ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  ( 0R 
+R  0R )  =  0R
2623, 25eqtri 2276 . . . . . 6  |-  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) )  =  0R
2718, 26opeq12i 3761 . . . . 5  |-  <. (
( 0R  .R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R )
) ) ,  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) ) >.  =  <. -1R
,  0R >.
284, 27eqtri 2276 . . . 4  |-  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )  =  <. -1R ,  0R >.
2928oveq1i 5788 . . 3  |-  ( (
<. 0R ,  1R >.  x. 
<. 0R ,  1R >. )  +  <. 1R ,  0R >. )  =  ( <. -1R ,  0R >.  +  <. 1R ,  0R >. )
30 addresr 8714 . . . 4  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  1R  e.  R. )  -> 
( <. -1R ,  0R >.  + 
<. 1R ,  0R >. )  =  <. ( -1R  +R  1R ) ,  0R >. )
3110, 2, 30mp2an 656 . . 3  |-  ( <. -1R ,  0R >.  +  <. 1R ,  0R >. )  =  <. ( -1R  +R  1R ) ,  0R >.
32 m1p1sr 8668 . . . 4  |-  ( -1R 
+R  1R )  =  0R
3332opeq1i 3759 . . 3  |-  <. ( -1R  +R  1R ) ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >.
3429, 31, 333eqtri 2280 . 2  |-  ( (
<. 0R ,  1R >.  x. 
<. 0R ,  1R >. )  +  <. 1R ,  0R >. )  =  <. 0R ,  0R >.
35 df-i 8700 . . . 4  |-  _i  =  <. 0R ,  1R >.
3635, 35oveq12i 5790 . . 3  |-  ( _i  x.  _i )  =  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )
37 df-1 8699 . . 3  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
3836, 37oveq12i 5790 . 2  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  ( ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )  +  <. 1R ,  0R >. )
39 df-0 8698 . 2  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
4034, 38, 393eqtr4i 2286 1  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1619    e. wcel 1621   <.cop 3603  (class class class)co 5778   R.cnr 8443   0Rc0r 8444   1Rc1r 8445   -1Rcm1r 8446    +R cplr 8447    .R cmr 8448   0cc0 8691   1c1 8692   _ici 8693    + caddc 8694    x. cmul 8696
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-oadd 6437  df-omul 6438  df-er 6614  df-ec 6616  df-qs 6620  df-ni 8450  df-pli 8451  df-mi 8452  df-lti 8453  df-plpq 8486  df-mpq 8487  df-ltpq 8488  df-enq 8489  df-nq 8490  df-erq 8491  df-plq 8492  df-mq 8493  df-1nq 8494  df-rq 8495  df-ltnq 8496  df-np 8559  df-1p 8560  df-plp 8561  df-mp 8562  df-ltp 8563  df-plpr 8633  df-mpr 8634  df-enr 8635  df-nr 8636  df-plr 8637  df-mr 8638  df-0r 8640  df-1r 8641  df-m1r 8642  df-c 8697  df-0 8698  df-1 8699  df-i 8700  df-plus 8702  df-mul 8703
  Copyright terms: Public domain W3C validator