Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axi2m1 Structured version   Unicode version

Theorem axi2m1 9026
 Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom 12 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 9050. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axi2m1

Proof of Theorem axi2m1
StepHypRef Expression
1 0r 8947 . . . . . 6
2 1sr 8948 . . . . . 6
3 mulcnsr 9003 . . . . . 6
41, 2, 1, 2, 3mp4an 655 . . . . 5
5 00sr 8966 . . . . . . . . 9
61, 5ax-mp 8 . . . . . . . 8
7 1idsr 8965 . . . . . . . . . . 11
82, 7ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
98oveq2i 6084 . . . . . . . . 9
10 m1r 8949 . . . . . . . . . 10
11 1idsr 8965 . . . . . . . . . 10
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . . . 9
139, 12eqtri 2455 . . . . . . . 8
146, 13oveq12i 6085 . . . . . . 7
15 addcomsr 8954 . . . . . . 7
16 0idsr 8964 . . . . . . . 8
1710, 16ax-mp 8 . . . . . . 7
1814, 15, 173eqtri 2459 . . . . . 6
19 00sr 8966 . . . . . . . . 9
202, 19ax-mp 8 . . . . . . . 8
21 1idsr 8965 . . . . . . . . 9
221, 21ax-mp 8 . . . . . . . 8
2320, 22oveq12i 6085 . . . . . . 7
24 0idsr 8964 . . . . . . . 8
251, 24ax-mp 8 . . . . . . 7
2623, 25eqtri 2455 . . . . . 6
2718, 26opeq12i 3981 . . . . 5
284, 27eqtri 2455 . . . 4
2928oveq1i 6083 . . 3
30 addresr 9005 . . . 4
3110, 2, 30mp2an 654 . . 3
32 m1p1sr 8959 . . . 4
3332opeq1i 3979 . . 3
3429, 31, 333eqtri 2459 . 2
35 df-i 8991 . . . 4
3635, 35oveq12i 6085 . . 3
37 df-1 8990 . . 3
3836, 37oveq12i 6085 . 2
39 df-0 8989 . 2
4034, 38, 393eqtr4i 2465 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wceq 1652   wcel 1725  cop 3809  (class class class)co 6073  cnr 8734  c0r 8735  c1r 8736  cm1r 8737   cplr 8738   cmr 8739  cc0 8982  c1 8983  ci 8984   caddc 8985   cmul 8987 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-ni 8741  df-pli 8742  df-mi 8743  df-lti 8744  df-plpq 8777  df-mpq 8778  df-ltpq 8779  df-enq 8780  df-nq 8781  df-erq 8782  df-plq 8783  df-mq 8784  df-1nq 8785  df-rq 8786  df-ltnq 8787  df-np 8850  df-1p 8851  df-plp 8852  df-mp 8853  df-ltp 8854  df-plpr 8924  df-mpr 8925  df-enr 8926  df-nr 8927  df-plr 8928  df-mr 8929  df-0r 8931  df-1r 8932  df-m1r 8933  df-c 8988  df-0 8989  df-1 8990  df-i 8991  df-add 8993  df-mul 8994
 Copyright terms: Public domain W3C validator