Theorem axinf2 4633

Description: A standard version of Axiom of Infinity, expanded to primitives, derived from our version of Infinity ax-inf 4631 and Regularity ax-reg 4602.

This theorem should not be referenced in any proof. Instead, use ax-inf2 4634 below so that the ordinary uses of Regularity can be more easily identified.

Assertion

Ref	Expression
axinf2	|- E.x(E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem axinf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 3155	. . 3 |- (/) e. om
2		peano2 3156	. . . 4 |- (y e. om -> suc y e. om)
3	2	ax-gen 965	. . 3 |- A.y(y e. om -> suc y e. om)
4		axinf 4632	. . . . . 6 |- E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))
5	4	inf2 4617	. . . . 5 |- E.x(x =/= (/) /\ x (_ U.x)
6	5	inf3 4629	. . . 4 |- om e. V
7		eleq2 1538	. . . . 5 |- (x = om -> ((/) e. x <-> (/) e. om))
8		eleq2 1538	. . . . . . 7 |- (x = om -> (y e. x <-> y e. om))
9		eleq2 1538	. . . . . . 7 |- (x = om -> (suc y e. x <-> suc y e. om))
10	8, 9	imbi12d 628	. . . . . 6 |- (x = om -> ((y e. x -> suc y e. x) <-> (y e. om -> suc y e. om)))
11	10	albidv 1280	. . . . 5 |- (x = om -> (A.y(y e. x -> suc y e. x) <-> A.y(y e. om -> suc y e. om)))
12	7, 11	anbi12d 630	. . . 4 |- (x = om -> (((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x)) <-> ((/) e. om /\ A.y(y e. om -> suc y e. om))))
13	6, 12	cla4ev 1872	. . 3 |- (((/) e. om /\ A.y(y e. om -> suc y e. om)) -> E.x((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x)))
14	1, 3, 13	mp2an 699	. 2 |- E.x((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x))
15		0el 2300	. . . . 5 |- ((/) e. x <-> E.y e. x A.z -. z e. y)
16		df-rex 1653	. . . . 5 |- (E.y e. x A.z -. z e. y <-> E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y))
17	15, 16	bitr 173	. . . 4 |- ((/) e. x <-> E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y))
18		sucel 3048	. . . . . . 7 |- (suc y e. x <-> E.z e. x A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))
19		df-rex 1653	. . . . . . 7 |- (E.z e. x A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)) <-> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))
20	18, 19	bitr 173	. . . . . 6 |- (suc y e. x <-> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))
21	20	imbi2i 185	. . . . 5 |- ((y e. x -> suc y e. x) <-> (y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))
22	21	albii 1001	. . . 4 |- (A.y(y e. x -> suc y e. x) <-> A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))
23	17, 22	anbi12i 484	. . 3 |- (((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x)) <-> (E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))))
24	23	exbii 1053	. 2 |- (E.x((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x)) <-> E.x(E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))))
25	14, 24	mpbi 189	1 |- E.x(E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  E.wrex 1649  (/)c0 2283  suc csuc 2956  omcom 3137

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf 4631

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fv 3204  df-rdg 3938

Copyright terms: Public domain