MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axmulass Unicode version

Theorem axmulass 8747
Description: Multiplication of complex numbers is associative. Axiom 10 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-mulass 8771. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulass  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  x.  B
)  x.  C )  =  ( A  x.  ( B  x.  C
) ) )

Proof of Theorem axmulass
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 8732 . 2  |-  CC  =  ( ( R.  X.  R. ) /. `'  _E  )
2 mulcnsrec 8734 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  x.  [ <. z ,  w >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) ) ,  ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )
>. ] `'  _E  )
3 mulcnsrec 8734 . 2  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] `'  _E  x.  [ <. v ,  u >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) ) ,  ( ( w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) ) >. ] `'  _E  )
4 mulcnsrec 8734 . 2  |-  ( ( ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  e.  R.  /\  ( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( [ <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) ) ,  ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) ) >. ] `'  _E  x.  [ <. v ,  u >. ] `'  _E  )  =  [ <. (
( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w ) )  .R  u ) ) ) ,  ( ( ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )  .R  v )  +R  ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  .R  u
) ) >. ] `'  _E  )
5 mulcnsrec 8734 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) )  e.  R.  /\  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
)  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  x.  [ <. ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) ) ,  ( ( w  .R  v
)  +R  ( z  .R  u ) )
>. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  .R  ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) ) )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  ( (
w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) ) ) ) ) ,  ( ( y  .R  ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )  +R  ( x  .R  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
) ) ) >. ] `'  _E  )
6 mulclsr 8674 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( x  .R  z
)  e.  R. )
7 m1r 8672 . . . . . 6  |-  -1R  e.  R.
8 mulclsr 8674 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( y  .R  w
)  e.  R. )
9 mulclsr 8674 . . . . . 6  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  ( y  .R  w
)  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
)  e.  R. )
107, 8, 9sylancr 647 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
)  e.  R. )
11 addclsr 8673 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .R  z
)  e.  R.  /\  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) )  e.  R. )  -> 
( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) )  e.  R. )
126, 10, 11syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  /\  ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  e.  R. )
1312an4s 802 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  e.  R. )
14 mulclsr 8674 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( y  .R  z
)  e.  R. )
15 mulclsr 8674 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( x  .R  w
)  e.  R. )
16 addclsr 8673 . . . . 5  |-  ( ( ( y  .R  z
)  e.  R.  /\  ( x  .R  w
)  e.  R. )  ->  ( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  e.  R. )
1714, 15, 16syl2anr 466 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) )  e.  R. )
1817an42s 803 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) )  e.  R. )
1913, 18jca 520 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
( x  .R  z
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) ) )  e.  R.  /\  (
( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )  e.  R. ) )
20 mulclsr 8674 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( z  .R  v
)  e.  R. )
21 mulclsr 8674 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( w  .R  u
)  e.  R. )
22 mulclsr 8674 . . . . . 6  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  ( w  .R  u
)  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
)  e.  R. )
237, 21, 22sylancr 647 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
)  e.  R. )
24 addclsr 8673 . . . . 5  |-  ( ( ( z  .R  v
)  e.  R.  /\  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) )  e.  R. )  -> 
( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) )  e.  R. )
2520, 23, 24syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) )  e.  R. )
2625an4s 802 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) )  e.  R. )
27 mulclsr 8674 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( w  .R  v
)  e.  R. )
28 mulclsr 8674 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( z  .R  u
)  e.  R. )
29 addclsr 8673 . . . . 5  |-  ( ( ( w  .R  v
)  e.  R.  /\  ( z  .R  u
)  e.  R. )  ->  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
)  e.  R. )
3027, 28, 29syl2anr 466 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  u  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  v  e.  R. )
)  ->  ( (
w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) )  e.  R. )
3130an42s 803 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) )  e.  R. )
3226, 31jca 520 . 2  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
( z  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( w  .R  u ) ) )  e.  R.  /\  (
( w  .R  v
)  +R  ( z  .R  u ) )  e.  R. ) )
33 ovex 5817 . . . 4  |-  ( x  .R  ( z  .R  v ) )  e. 
_V
34 ovex 5817 . . . 4  |-  ( x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) )  e. 
_V
35 ovex 5817 . . . 4  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  ( w  .R  v
) ) )  e. 
_V
36 addcomsr 8677 . . . 4  |-  ( f  +R  g )  =  ( g  +R  f
)
37 addasssr 8678 . . . 4  |-  ( ( f  +R  g )  +R  h )  =  ( f  +R  (
g  +R  h ) )
38 ovex 5817 . . . 4  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  ( z  .R  u
) ) )  e. 
_V
3933, 34, 35, 36, 37, 38caov42 5987 . . 3  |-  ( ( ( x  .R  (
z  .R  v )
)  +R  ( x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )  +R  ( ( -1R 
.R  ( y  .R  ( w  .R  v
) ) )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  ( z  .R  u ) ) ) ) )  =  ( ( ( x  .R  ( z  .R  v
) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  ( w  .R  v
) ) ) )  +R  ( ( -1R 
.R  ( y  .R  ( z  .R  u
) ) )  +R  ( x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) ) ) )
40 distrsr 8681 . . . 4  |-  ( x  .R  ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) ) )  =  ( ( x  .R  ( z  .R  v
) )  +R  (
x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )
41 distrsr 8681 . . . . . 6  |-  ( y  .R  ( ( w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) ) )  =  ( ( y  .R  ( w  .R  v
) )  +R  (
y  .R  ( z  .R  u ) ) )
4241oveq2i 5803 . . . . 5  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
) ) )  =  ( -1R  .R  (
( y  .R  (
w  .R  v )
)  +R  ( y  .R  ( z  .R  u ) ) ) )
43 distrsr 8681 . . . . 5  |-  ( -1R 
.R  ( ( y  .R  ( w  .R  v ) )  +R  ( y  .R  (
z  .R  u )
) ) )  =  ( ( -1R  .R  ( y  .R  (
w  .R  v )
) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  ( z  .R  u
) ) ) )
4442, 43eqtri 2278 . . . 4  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
) ) )  =  ( ( -1R  .R  ( y  .R  (
w  .R  v )
) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  ( z  .R  u
) ) ) )
4540, 44oveq12i 5804 . . 3  |-  ( ( x  .R  ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  (
( w  .R  v
)  +R  ( z  .R  u ) ) ) ) )  =  ( ( ( x  .R  ( z  .R  v ) )  +R  ( x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) ) )  +R  ( ( -1R  .R  ( y  .R  ( w  .R  v ) ) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  (
z  .R  u )
) ) ) )
46 vex 2766 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
477elexi 2772 . . . . . 6  |-  -1R  e.  _V
48 vex 2766 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
49 mulcomsr 8679 . . . . . 6  |-  ( f  .R  g )  =  ( g  .R  f
)
50 distrsr 8681 . . . . . 6  |-  ( f  .R  ( g  +R  h ) )  =  ( ( f  .R  g )  +R  (
f  .R  h )
)
51 ovex 5817 . . . . . 6  |-  ( y  .R  w )  e. 
_V
52 vex 2766 . . . . . 6  |-  v  e. 
_V
53 mulasssr 8680 . . . . . 6  |-  ( ( f  .R  g )  .R  h )  =  ( f  .R  (
g  .R  h )
)
5446, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53caovdilem 5989 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .R  z
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) ) )  .R  v )  =  ( ( x  .R  ( z  .R  v
) )  +R  ( -1R  .R  ( ( y  .R  w )  .R  v ) ) )
55 mulasssr 8680 . . . . . . 7  |-  ( ( y  .R  w )  .R  v )  =  ( y  .R  (
w  .R  v )
)
5655oveq2i 5803 . . . . . 6  |-  ( -1R 
.R  ( ( y  .R  w )  .R  v ) )  =  ( -1R  .R  (
y  .R  ( w  .R  v ) ) )
5756oveq2i 5803 . . . . 5  |-  ( ( x  .R  ( z  .R  v ) )  +R  ( -1R  .R  ( ( y  .R  w )  .R  v
) ) )  =  ( ( x  .R  ( z  .R  v
) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  ( w  .R  v
) ) ) )
5854, 57eqtri 2278 . . . 4  |-  ( ( ( x  .R  z
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) ) )  .R  v )  =  ( ( x  .R  ( z  .R  v
) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  ( w  .R  v
) ) ) )
59 vex 2766 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
60 vex 2766 . . . . . . 7  |-  w  e. 
_V
61 vex 2766 . . . . . . 7  |-  u  e. 
_V
6259, 46, 48, 49, 50, 60, 61, 53caovdilem 5989 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )  .R  u )  =  ( ( y  .R  ( z  .R  u
) )  +R  (
x  .R  ( w  .R  u ) ) )
6362oveq2i 5803 . . . . 5  |-  ( -1R 
.R  ( ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w ) )  .R  u ) )  =  ( -1R  .R  (
( y  .R  (
z  .R  u )
)  +R  ( x  .R  ( w  .R  u ) ) ) )
64 distrsr 8681 . . . . . 6  |-  ( -1R 
.R  ( ( y  .R  ( z  .R  u ) )  +R  ( x  .R  (
w  .R  u )
) ) )  =  ( ( -1R  .R  ( y  .R  (
z  .R  u )
) )  +R  ( -1R  .R  ( x  .R  ( w  .R  u
) ) ) )
65 ovex 5817 . . . . . . . 8  |-  ( w  .R  u )  e. 
_V
6647, 46, 65, 49, 53caov12 5982 . . . . . . 7  |-  ( -1R 
.R  ( x  .R  ( w  .R  u
) ) )  =  ( x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) )
6766oveq2i 5803 . . . . . 6  |-  ( ( -1R  .R  ( y  .R  ( z  .R  u ) ) )  +R  ( -1R  .R  ( x  .R  (
w  .R  u )
) ) )  =  ( ( -1R  .R  ( y  .R  (
z  .R  u )
) )  +R  (
x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )
6864, 67eqtri 2278 . . . . 5  |-  ( -1R 
.R  ( ( y  .R  ( z  .R  u ) )  +R  ( x  .R  (
w  .R  u )
) ) )  =  ( ( -1R  .R  ( y  .R  (
z  .R  u )
) )  +R  (
x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )
6963, 68eqtri 2278 . . . 4  |-  ( -1R 
.R  ( ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w ) )  .R  u ) )  =  ( ( -1R  .R  ( y  .R  (
z  .R  u )
) )  +R  (
x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )
7058, 69oveq12i 5804 . . 3  |-  ( ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) )  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  .R  u )
) )  =  ( ( ( x  .R  ( z  .R  v
) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  ( w  .R  v
) ) ) )  +R  ( ( -1R 
.R  ( y  .R  ( z  .R  u
) ) )  +R  ( x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) ) ) )
7139, 45, 703eqtr4ri 2289 . 2  |-  ( ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) )  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  .R  u )
) )  =  ( ( x  .R  (
( z  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( w  .R  u ) ) ) )  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
) ) ) )
72 ovex 5817 . . . 4  |-  ( y  .R  ( z  .R  v ) )  e. 
_V
73 ovex 5817 . . . 4  |-  ( y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) )  e. 
_V
74 ovex 5817 . . . 4  |-  ( x  .R  ( w  .R  v ) )  e. 
_V
75 ovex 5817 . . . 4  |-  ( x  .R  ( z  .R  u ) )  e. 
_V
7672, 73, 74, 36, 37, 75caov42 5987 . . 3  |-  ( ( ( y  .R  (
z  .R  v )
)  +R  ( y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )  +R  ( ( x  .R  ( w  .R  v ) )  +R  ( x  .R  (
z  .R  u )
) ) )  =  ( ( ( y  .R  ( z  .R  v ) )  +R  ( x  .R  (
w  .R  v )
) )  +R  (
( x  .R  (
z  .R  u )
)  +R  ( y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) ) )
77 distrsr 8681 . . . 4  |-  ( y  .R  ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) ) )  =  ( ( y  .R  ( z  .R  v
) )  +R  (
y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )
78 distrsr 8681 . . . 4  |-  ( x  .R  ( ( w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) ) )  =  ( ( x  .R  ( w  .R  v
) )  +R  (
x  .R  ( z  .R  u ) ) )
7977, 78oveq12i 5804 . . 3  |-  ( ( y  .R  ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )  +R  ( x  .R  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
) ) )  =  ( ( ( y  .R  ( z  .R  v ) )  +R  ( y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) ) )  +R  ( ( x  .R  ( w  .R  v ) )  +R  ( x  .R  ( z  .R  u
) ) ) )
8059, 46, 48, 49, 50, 60, 52, 53caovdilem 5989 . . . 4  |-  ( ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )  .R  v )  =  ( ( y  .R  ( z  .R  v
) )  +R  (
x  .R  ( w  .R  v ) ) )
8146, 47, 48, 49, 50, 51, 61, 53caovdilem 5989 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .R  z
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) ) )  .R  u )  =  ( ( x  .R  ( z  .R  u
) )  +R  ( -1R  .R  ( ( y  .R  w )  .R  u ) ) )
82 mulasssr 8680 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  .R  w )  .R  u )  =  ( y  .R  (
w  .R  u )
)
8382oveq2i 5803 . . . . . . 7  |-  ( -1R 
.R  ( ( y  .R  w )  .R  u ) )  =  ( -1R  .R  (
y  .R  ( w  .R  u ) ) )
8447, 59, 65, 49, 53caov12 5982 . . . . . . 7  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  ( w  .R  u
) ) )  =  ( y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) )
8583, 84eqtri 2278 . . . . . 6  |-  ( -1R 
.R  ( ( y  .R  w )  .R  u ) )  =  ( y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) )
8685oveq2i 5803 . . . . 5  |-  ( ( x  .R  ( z  .R  u ) )  +R  ( -1R  .R  ( ( y  .R  w )  .R  u
) ) )  =  ( ( x  .R  ( z  .R  u
) )  +R  (
y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )
8781, 86eqtri 2278 . . . 4  |-  ( ( ( x  .R  z
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) ) )  .R  u )  =  ( ( x  .R  ( z  .R  u
) )  +R  (
y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )
8880, 87oveq12i 5804 . . 3  |-  ( ( ( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  .R  v )  +R  ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  .R  u
) )  =  ( ( ( y  .R  ( z  .R  v
) )  +R  (
x  .R  ( w  .R  v ) ) )  +R  ( ( x  .R  ( z  .R  u ) )  +R  ( y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) ) ) )
8976, 79, 883eqtr4ri 2289 . 2  |-  ( ( ( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  .R  v )  +R  ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  .R  u
) )  =  ( ( y  .R  (
( z  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( w  .R  u ) ) ) )  +R  ( x  .R  ( ( w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) ) ) )
901, 2, 3, 4, 5, 19, 32, 71, 89ecovass 6738 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  x.  B
)  x.  C )  =  ( A  x.  ( B  x.  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    _E cep 4275   `'ccnv 4660  (class class class)co 5792   R.cnr 8457   -1Rcm1r 8460    +R cplr 8461    .R cmr 8462   CCcc 8703    x. cmul 8710
This theorem is referenced by:  fmul01lt1lem2  27083
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-ec 6630  df-qs 6634  df-ni 8464  df-pli 8465  df-mi 8466  df-lti 8467  df-plpq 8500  df-mpq 8501  df-ltpq 8502  df-enq 8503  df-nq 8504  df-erq 8505  df-plq 8506  df-mq 8507  df-1nq 8508  df-rq 8509  df-ltnq 8510  df-np 8573  df-1p 8574  df-plp 8575  df-mp 8576  df-ltp 8577  df-plpr 8647  df-mpr 8648  df-enr 8649  df-nr 8650  df-plr 8651  df-mr 8652  df-m1r 8656  df-c 8711  df-mul 8717
  Copyright terms: Public domain W3C validator