MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axmulass Unicode version

Theorem axmulass 8779
Description: Multiplication of complex numbers is associative. Axiom 10 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-mulass 8803. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulass  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  x.  B
)  x.  C )  =  ( A  x.  ( B  x.  C
) ) )

Proof of Theorem axmulass
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 8764 . 2  |-  CC  =  ( ( R.  X.  R. ) /. `'  _E  )
2 mulcnsrec 8766 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  x.  [ <. z ,  w >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) ) ,  ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )
>. ] `'  _E  )
3 mulcnsrec 8766 . 2  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] `'  _E  x.  [ <. v ,  u >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) ) ,  ( ( w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) ) >. ] `'  _E  )
4 mulcnsrec 8766 . 2  |-  ( ( ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  e.  R.  /\  ( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( [ <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) ) ,  ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) ) >. ] `'  _E  x.  [ <. v ,  u >. ] `'  _E  )  =  [ <. (
( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w ) )  .R  u ) ) ) ,  ( ( ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )  .R  v )  +R  ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  .R  u
) ) >. ] `'  _E  )
5 mulcnsrec 8766 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) )  e.  R.  /\  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
)  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  x.  [ <. ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) ) ,  ( ( w  .R  v
)  +R  ( z  .R  u ) )
>. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  .R  ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) ) )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  ( (
w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) ) ) ) ) ,  ( ( y  .R  ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )  +R  ( x  .R  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
) ) ) >. ] `'  _E  )
6 mulclsr 8706 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( x  .R  z
)  e.  R. )
7 m1r 8704 . . . . . 6  |-  -1R  e.  R.
8 mulclsr 8706 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( y  .R  w
)  e.  R. )
9 mulclsr 8706 . . . . . 6  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  ( y  .R  w
)  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
)  e.  R. )
107, 8, 9sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
)  e.  R. )
11 addclsr 8705 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .R  z
)  e.  R.  /\  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) )  e.  R. )  -> 
( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) )  e.  R. )
126, 10, 11syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  /\  ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  e.  R. )
1312an4s 799 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  e.  R. )
14 mulclsr 8706 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( y  .R  z
)  e.  R. )
15 mulclsr 8706 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( x  .R  w
)  e.  R. )
16 addclsr 8705 . . . . 5  |-  ( ( ( y  .R  z
)  e.  R.  /\  ( x  .R  w
)  e.  R. )  ->  ( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  e.  R. )
1714, 15, 16syl2anr 464 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) )  e.  R. )
1817an42s 800 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) )  e.  R. )
1913, 18jca 518 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
( x  .R  z
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) ) )  e.  R.  /\  (
( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )  e.  R. ) )
20 mulclsr 8706 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( z  .R  v
)  e.  R. )
21 mulclsr 8706 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( w  .R  u
)  e.  R. )
22 mulclsr 8706 . . . . . 6  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  ( w  .R  u
)  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
)  e.  R. )
237, 21, 22sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
)  e.  R. )
24 addclsr 8705 . . . . 5  |-  ( ( ( z  .R  v
)  e.  R.  /\  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) )  e.  R. )  -> 
( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) )  e.  R. )
2520, 23, 24syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) )  e.  R. )
2625an4s 799 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) )  e.  R. )
27 mulclsr 8706 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( w  .R  v
)  e.  R. )
28 mulclsr 8706 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( z  .R  u
)  e.  R. )
29 addclsr 8705 . . . . 5  |-  ( ( ( w  .R  v
)  e.  R.  /\  ( z  .R  u
)  e.  R. )  ->  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
)  e.  R. )
3027, 28, 29syl2anr 464 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  u  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  v  e.  R. )
)  ->  ( (
w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) )  e.  R. )
3130an42s 800 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) )  e.  R. )
3226, 31jca 518 . 2  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
( z  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( w  .R  u ) ) )  e.  R.  /\  (
( w  .R  v
)  +R  ( z  .R  u ) )  e.  R. ) )
33 ovex 5883 . . . 4  |-  ( x  .R  ( z  .R  v ) )  e. 
_V
34 ovex 5883 . . . 4  |-  ( x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) )  e. 
_V
35 ovex 5883 . . . 4  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  ( w  .R  v
) ) )  e. 
_V
36 addcomsr 8709 . . . 4  |-  ( f  +R  g )  =  ( g  +R  f
)
37 addasssr 8710 . . . 4  |-  ( ( f  +R  g )  +R  h )  =  ( f  +R  (
g  +R  h ) )
38 ovex 5883 . . . 4  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  ( z  .R  u
) ) )  e. 
_V
3933, 34, 35, 36, 37, 38caov42 6053 . . 3  |-  ( ( ( x  .R  (
z  .R  v )
)  +R  ( x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )  +R  ( ( -1R 
.R  ( y  .R  ( w  .R  v
) ) )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  ( z  .R  u ) ) ) ) )  =  ( ( ( x  .R  ( z  .R  v
) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  ( w  .R  v
) ) ) )  +R  ( ( -1R 
.R  ( y  .R  ( z  .R  u
) ) )  +R  ( x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) ) ) )
40 distrsr 8713 . . . 4  |-  ( x  .R  ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) ) )  =  ( ( x  .R  ( z  .R  v
) )  +R  (
x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )
41 distrsr 8713 . . . . . 6  |-  ( y  .R  ( ( w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) ) )  =  ( ( y  .R  ( w  .R  v
) )  +R  (
y  .R  ( z  .R  u ) ) )
4241oveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
) ) )  =  ( -1R  .R  (
( y  .R  (
w  .R  v )
)  +R  ( y  .R  ( z  .R  u ) ) ) )
43 distrsr 8713 . . . . 5  |-  ( -1R 
.R  ( ( y  .R  ( w  .R  v ) )  +R  ( y  .R  (
z  .R  u )
) ) )  =  ( ( -1R  .R  ( y  .R  (
w  .R  v )
) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  ( z  .R  u
) ) ) )
4442, 43eqtri 2303 . . . 4  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
) ) )  =  ( ( -1R  .R  ( y  .R  (
w  .R  v )
) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  ( z  .R  u
) ) ) )
4540, 44oveq12i 5870 . . 3  |-  ( ( x  .R  ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  (
( w  .R  v
)  +R  ( z  .R  u ) ) ) ) )  =  ( ( ( x  .R  ( z  .R  v ) )  +R  ( x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) ) )  +R  ( ( -1R  .R  ( y  .R  ( w  .R  v ) ) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  (
z  .R  u )
) ) ) )
46 vex 2791 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
477elexi 2797 . . . . . 6  |-  -1R  e.  _V
48 vex 2791 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
49 mulcomsr 8711 . . . . . 6  |-  ( f  .R  g )  =  ( g  .R  f
)
50 distrsr 8713 . . . . . 6  |-  ( f  .R  ( g  +R  h ) )  =  ( ( f  .R  g )  +R  (
f  .R  h )
)
51 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( y  .R  w )  e. 
_V
52 vex 2791 . . . . . 6  |-  v  e. 
_V
53 mulasssr 8712 . . . . . 6  |-  ( ( f  .R  g )  .R  h )  =  ( f  .R  (
g  .R  h )
)
5446, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53caovdilem 6055 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .R  z
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) ) )  .R  v )  =  ( ( x  .R  ( z  .R  v
) )  +R  ( -1R  .R  ( ( y  .R  w )  .R  v ) ) )
55 mulasssr 8712 . . . . . . 7  |-  ( ( y  .R  w )  .R  v )  =  ( y  .R  (
w  .R  v )
)
5655oveq2i 5869 . . . . . 6  |-  ( -1R 
.R  ( ( y  .R  w )  .R  v ) )  =  ( -1R  .R  (
y  .R  ( w  .R  v ) ) )
5756oveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( ( x  .R  ( z  .R  v ) )  +R  ( -1R  .R  ( ( y  .R  w )  .R  v
) ) )  =  ( ( x  .R  ( z  .R  v
) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  ( w  .R  v
) ) ) )
5854, 57eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( ( x  .R  z
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) ) )  .R  v )  =  ( ( x  .R  ( z  .R  v
) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  ( w  .R  v
) ) ) )
59 vex 2791 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
60 vex 2791 . . . . . . 7  |-  w  e. 
_V
61 vex 2791 . . . . . . 7  |-  u  e. 
_V
6259, 46, 48, 49, 50, 60, 61, 53caovdilem 6055 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )  .R  u )  =  ( ( y  .R  ( z  .R  u
) )  +R  (
x  .R  ( w  .R  u ) ) )
6362oveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( -1R 
.R  ( ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w ) )  .R  u ) )  =  ( -1R  .R  (
( y  .R  (
z  .R  u )
)  +R  ( x  .R  ( w  .R  u ) ) ) )
64 distrsr 8713 . . . . . 6  |-  ( -1R 
.R  ( ( y  .R  ( z  .R  u ) )  +R  ( x  .R  (
w  .R  u )
) ) )  =  ( ( -1R  .R  ( y  .R  (
z  .R  u )
) )  +R  ( -1R  .R  ( x  .R  ( w  .R  u
) ) ) )
65 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( w  .R  u )  e. 
_V
6647, 46, 65, 49, 53caov12 6048 . . . . . . 7  |-  ( -1R 
.R  ( x  .R  ( w  .R  u
) ) )  =  ( x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) )
6766oveq2i 5869 . . . . . 6  |-  ( ( -1R  .R  ( y  .R  ( z  .R  u ) ) )  +R  ( -1R  .R  ( x  .R  (
w  .R  u )
) ) )  =  ( ( -1R  .R  ( y  .R  (
z  .R  u )
) )  +R  (
x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )
6864, 67eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( -1R 
.R  ( ( y  .R  ( z  .R  u ) )  +R  ( x  .R  (
w  .R  u )
) ) )  =  ( ( -1R  .R  ( y  .R  (
z  .R  u )
) )  +R  (
x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )
6963, 68eqtri 2303 . . . 4  |-  ( -1R 
.R  ( ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w ) )  .R  u ) )  =  ( ( -1R  .R  ( y  .R  (
z  .R  u )
) )  +R  (
x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )
7058, 69oveq12i 5870 . . 3  |-  ( ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) )  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  .R  u )
) )  =  ( ( ( x  .R  ( z  .R  v
) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  ( w  .R  v
) ) ) )  +R  ( ( -1R 
.R  ( y  .R  ( z  .R  u
) ) )  +R  ( x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) ) ) )
7139, 45, 703eqtr4ri 2314 . 2  |-  ( ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) )  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  .R  u )
) )  =  ( ( x  .R  (
( z  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( w  .R  u ) ) ) )  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
) ) ) )
72 ovex 5883 . . . 4  |-  ( y  .R  ( z  .R  v ) )  e. 
_V
73 ovex 5883 . . . 4  |-  ( y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) )  e. 
_V
74 ovex 5883 . . . 4  |-  ( x  .R  ( w  .R  v ) )  e. 
_V
75 ovex 5883 . . . 4  |-  ( x  .R  ( z  .R  u ) )  e. 
_V
7672, 73, 74, 36, 37, 75caov42 6053 . . 3  |-  ( ( ( y  .R  (
z  .R  v )
)  +R  ( y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )  +R  ( ( x  .R  ( w  .R  v ) )  +R  ( x  .R  (
z  .R  u )
) ) )  =  ( ( ( y  .R  ( z  .R  v ) )  +R  ( x  .R  (
w  .R  v )
) )  +R  (
( x  .R  (
z  .R  u )
)  +R  ( y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) ) )
77 distrsr 8713 . . . 4  |-  ( y  .R  ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) ) )  =  ( ( y  .R  ( z  .R  v
) )  +R  (
y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )
78 distrsr 8713 . . . 4  |-  ( x  .R  ( ( w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) ) )  =  ( ( x  .R  ( w  .R  v
) )  +R  (
x  .R  ( z  .R  u ) ) )
7977, 78oveq12i 5870 . . 3  |-  ( ( y  .R  ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )  +R  ( x  .R  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
) ) )  =  ( ( ( y  .R  ( z  .R  v ) )  +R  ( y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) ) )  +R  ( ( x  .R  ( w  .R  v ) )  +R  ( x  .R  ( z  .R  u
) ) ) )
8059, 46, 48, 49, 50, 60, 52, 53caovdilem 6055 . . . 4  |-  ( ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )  .R  v )  =  ( ( y  .R  ( z  .R  v
) )  +R  (
x  .R  ( w  .R  v ) ) )
8146, 47, 48, 49, 50, 51, 61, 53caovdilem 6055 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .R  z
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) ) )  .R  u )  =  ( ( x  .R  ( z  .R  u
) )  +R  ( -1R  .R  ( ( y  .R  w )  .R  u ) ) )
82 mulasssr 8712 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  .R  w )  .R  u )  =  ( y  .R  (
w  .R  u )
)
8382oveq2i 5869 . . . . . . 7  |-  ( -1R 
.R  ( ( y  .R  w )  .R  u ) )  =  ( -1R  .R  (
y  .R  ( w  .R  u ) ) )
8447, 59, 65, 49, 53caov12 6048 . . . . . . 7  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  ( w  .R  u
) ) )  =  ( y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) )
8583, 84eqtri 2303 . . . . . 6  |-  ( -1R 
.R  ( ( y  .R  w )  .R  u ) )  =  ( y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) )
8685oveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( ( x  .R  ( z  .R  u ) )  +R  ( -1R  .R  ( ( y  .R  w )  .R  u
) ) )  =  ( ( x  .R  ( z  .R  u
) )  +R  (
y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )
8781, 86eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( ( x  .R  z
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) ) )  .R  u )  =  ( ( x  .R  ( z  .R  u
) )  +R  (
y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )
8880, 87oveq12i 5870 . . 3  |-  ( ( ( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  .R  v )  +R  ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  .R  u
) )  =  ( ( ( y  .R  ( z  .R  v
) )  +R  (
x  .R  ( w  .R  v ) ) )  +R  ( ( x  .R  ( z  .R  u ) )  +R  ( y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) ) ) )
8976, 79, 883eqtr4ri 2314 . 2  |-  ( ( ( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  .R  v )  +R  ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  .R  u
) )  =  ( ( y  .R  (
( z  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( w  .R  u ) ) ) )  +R  ( x  .R  ( ( w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) ) ) )
901, 2, 3, 4, 5, 19, 32, 71, 89ecovass 6770 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  x.  B
)  x.  C )  =  ( A  x.  ( B  x.  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    _E cep 4303   `'ccnv 4688  (class class class)co 5858   R.cnr 8489   -1Rcm1r 8492    +R cplr 8493    .R cmr 8494   CCcc 8735    x. cmul 8742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-ni 8496  df-pli 8497  df-mi 8498  df-lti 8499  df-plpq 8532  df-mpq 8533  df-ltpq 8534  df-enq 8535  df-nq 8536  df-erq 8537  df-plq 8538  df-mq 8539  df-1nq 8540  df-rq 8541  df-ltnq 8542  df-np 8605  df-1p 8606  df-plp 8607  df-mp 8608  df-ltp 8609  df-plpr 8679  df-mpr 8680  df-enr 8681  df-nr 8682  df-plr 8683  df-mr 8684  df-m1r 8688  df-c 8743  df-mul 8749
  Copyright terms: Public domain W3C validator