MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axmulass Unicode version

Theorem axmulass 8656
Description: Multiplication of complex numbers is associative. Axiom 10 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-mulass 8680. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulass  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  x.  B
)  x.  C )  =  ( A  x.  ( B  x.  C
) ) )

Proof of Theorem axmulass
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 8641 . 2  |-  CC  =  ( ( R.  X.  R. ) /. `'  _E  )
2 mulcnsrec 8643 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  x.  [ <. z ,  w >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) ) ,  ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )
>. ] `'  _E  )
3 mulcnsrec 8643 . 2  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] `'  _E  x.  [ <. v ,  u >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) ) ,  ( ( w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) ) >. ] `'  _E  )
4 mulcnsrec 8643 . 2  |-  ( ( ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  e.  R.  /\  ( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( [ <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) ) ,  ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) ) >. ] `'  _E  x.  [ <. v ,  u >. ] `'  _E  )  =  [ <. (
( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w ) )  .R  u ) ) ) ,  ( ( ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )  .R  v )  +R  ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  .R  u
) ) >. ] `'  _E  )
5 mulcnsrec 8643 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) )  e.  R.  /\  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
)  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  x.  [ <. ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) ) ,  ( ( w  .R  v
)  +R  ( z  .R  u ) )
>. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  .R  ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) ) )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  ( (
w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) ) ) ) ) ,  ( ( y  .R  ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )  +R  ( x  .R  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
) ) ) >. ] `'  _E  )
6 mulclsr 8583 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( x  .R  z
)  e.  R. )
7 m1r 8581 . . . . . 6  |-  -1R  e.  R.
8 mulclsr 8583 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( y  .R  w
)  e.  R. )
9 mulclsr 8583 . . . . . 6  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  ( y  .R  w
)  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
)  e.  R. )
107, 8, 9sylancr 647 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
)  e.  R. )
11 addclsr 8582 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .R  z
)  e.  R.  /\  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) )  e.  R. )  -> 
( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) )  e.  R. )
126, 10, 11syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  /\  ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  e.  R. )
1312an4s 802 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  e.  R. )
14 mulclsr 8583 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( y  .R  z
)  e.  R. )
15 mulclsr 8583 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( x  .R  w
)  e.  R. )
16 addclsr 8582 . . . . 5  |-  ( ( ( y  .R  z
)  e.  R.  /\  ( x  .R  w
)  e.  R. )  ->  ( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  e.  R. )
1714, 15, 16syl2anr 466 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) )  e.  R. )
1817an42s 803 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) )  e.  R. )
1913, 18jca 520 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
( x  .R  z
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) ) )  e.  R.  /\  (
( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )  e.  R. ) )
20 mulclsr 8583 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( z  .R  v
)  e.  R. )
21 mulclsr 8583 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( w  .R  u
)  e.  R. )
22 mulclsr 8583 . . . . . 6  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  ( w  .R  u
)  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
)  e.  R. )
237, 21, 22sylancr 647 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
)  e.  R. )
24 addclsr 8582 . . . . 5  |-  ( ( ( z  .R  v
)  e.  R.  /\  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) )  e.  R. )  -> 
( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) )  e.  R. )
2520, 23, 24syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) )  e.  R. )
2625an4s 802 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) )  e.  R. )
27 mulclsr 8583 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( w  .R  v
)  e.  R. )
28 mulclsr 8583 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( z  .R  u
)  e.  R. )
29 addclsr 8582 . . . . 5  |-  ( ( ( w  .R  v
)  e.  R.  /\  ( z  .R  u
)  e.  R. )  ->  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
)  e.  R. )
3027, 28, 29syl2anr 466 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  u  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  v  e.  R. )
)  ->  ( (
w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) )  e.  R. )
3130an42s 803 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) )  e.  R. )
3226, 31jca 520 . 2  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
( z  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( w  .R  u ) ) )  e.  R.  /\  (
( w  .R  v
)  +R  ( z  .R  u ) )  e.  R. ) )
33 ovex 5732 . . . 4  |-  ( x  .R  ( z  .R  v ) )  e. 
_V
34 ovex 5732 . . . 4  |-  ( x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) )  e. 
_V
35 ovex 5732 . . . 4  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  ( w  .R  v
) ) )  e. 
_V
36 addcomsr 8586 . . . 4  |-  ( f  +R  g )  =  ( g  +R  f
)
37 addasssr 8587 . . . 4  |-  ( ( f  +R  g )  +R  h )  =  ( f  +R  (
g  +R  h ) )
38 ovex 5732 . . . 4  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  ( z  .R  u
) ) )  e. 
_V
3933, 34, 35, 36, 37, 38caov42 5902 . . 3  |-  ( ( ( x  .R  (
z  .R  v )
)  +R  ( x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )  +R  ( ( -1R 
.R  ( y  .R  ( w  .R  v
) ) )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  ( z  .R  u ) ) ) ) )  =  ( ( ( x  .R  ( z  .R  v
) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  ( w  .R  v
) ) ) )  +R  ( ( -1R 
.R  ( y  .R  ( z  .R  u
) ) )  +R  ( x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) ) ) )
40 distrsr 8590 . . . 4  |-  ( x  .R  ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) ) )  =  ( ( x  .R  ( z  .R  v
) )  +R  (
x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )
41 distrsr 8590 . . . . . 6  |-  ( y  .R  ( ( w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) ) )  =  ( ( y  .R  ( w  .R  v
) )  +R  (
y  .R  ( z  .R  u ) ) )
4241oveq2i 5718 . . . . 5  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
) ) )  =  ( -1R  .R  (
( y  .R  (
w  .R  v )
)  +R  ( y  .R  ( z  .R  u ) ) ) )
43 distrsr 8590 . . . . 5  |-  ( -1R 
.R  ( ( y  .R  ( w  .R  v ) )  +R  ( y  .R  (
z  .R  u )
) ) )  =  ( ( -1R  .R  ( y  .R  (
w  .R  v )
) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  ( z  .R  u
) ) ) )
4442, 43eqtri 2273 . . . 4  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
) ) )  =  ( ( -1R  .R  ( y  .R  (
w  .R  v )
) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  ( z  .R  u
) ) ) )
4540, 44oveq12i 5719 . . 3  |-  ( ( x  .R  ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  (
( w  .R  v
)  +R  ( z  .R  u ) ) ) ) )  =  ( ( ( x  .R  ( z  .R  v ) )  +R  ( x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) ) )  +R  ( ( -1R  .R  ( y  .R  ( w  .R  v ) ) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  (
z  .R  u )
) ) ) )
46 vex 2728 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
477elexi 2734 . . . . . 6  |-  -1R  e.  _V
48 vex 2728 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
49 mulcomsr 8588 . . . . . 6  |-  ( f  .R  g )  =  ( g  .R  f
)
50 distrsr 8590 . . . . . 6  |-  ( f  .R  ( g  +R  h ) )  =  ( ( f  .R  g )  +R  (
f  .R  h )
)
51 ovex 5732 . . . . . 6  |-  ( y  .R  w )  e. 
_V
52 vex 2728 . . . . . 6  |-  v  e. 
_V
53 mulasssr 8589 . . . . . 6  |-  ( ( f  .R  g )  .R  h )  =  ( f  .R  (
g  .R  h )
)
5446, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53caovdilem 5904 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .R  z
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) ) )  .R  v )  =  ( ( x  .R  ( z  .R  v
) )  +R  ( -1R  .R  ( ( y  .R  w )  .R  v ) ) )
55 mulasssr 8589 . . . . . . 7  |-  ( ( y  .R  w )  .R  v )  =  ( y  .R  (
w  .R  v )
)
5655oveq2i 5718 . . . . . 6  |-  ( -1R 
.R  ( ( y  .R  w )  .R  v ) )  =  ( -1R  .R  (
y  .R  ( w  .R  v ) ) )
5756oveq2i 5718 . . . . 5  |-  ( ( x  .R  ( z  .R  v ) )  +R  ( -1R  .R  ( ( y  .R  w )  .R  v
) ) )  =  ( ( x  .R  ( z  .R  v
) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  ( w  .R  v
) ) ) )
5854, 57eqtri 2273 . . . 4  |-  ( ( ( x  .R  z
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) ) )  .R  v )  =  ( ( x  .R  ( z  .R  v
) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  ( w  .R  v
) ) ) )
59 vex 2728 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
60 vex 2728 . . . . . . 7  |-  w  e. 
_V
61 vex 2728 . . . . . . 7  |-  u  e. 
_V
6259, 46, 48, 49, 50, 60, 61, 53caovdilem 5904 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )  .R  u )  =  ( ( y  .R  ( z  .R  u
) )  +R  (
x  .R  ( w  .R  u ) ) )
6362oveq2i 5718 . . . . 5  |-  ( -1R 
.R  ( ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w ) )  .R  u ) )  =  ( -1R  .R  (
( y  .R  (
z  .R  u )
)  +R  ( x  .R  ( w  .R  u ) ) ) )
64 distrsr 8590 . . . . . 6  |-  ( -1R 
.R  ( ( y  .R  ( z  .R  u ) )  +R  ( x  .R  (
w  .R  u )
) ) )  =  ( ( -1R  .R  ( y  .R  (
z  .R  u )
) )  +R  ( -1R  .R  ( x  .R  ( w  .R  u
) ) ) )
65 ovex 5732 . . . . . . . 8  |-  ( w  .R  u )  e. 
_V
6647, 46, 65, 49, 53caov12 5897 . . . . . . 7  |-  ( -1R 
.R  ( x  .R  ( w  .R  u
) ) )  =  ( x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) )
6766oveq2i 5718 . . . . . 6  |-  ( ( -1R  .R  ( y  .R  ( z  .R  u ) ) )  +R  ( -1R  .R  ( x  .R  (
w  .R  u )
) ) )  =  ( ( -1R  .R  ( y  .R  (
z  .R  u )
) )  +R  (
x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )
6864, 67eqtri 2273 . . . . 5  |-  ( -1R 
.R  ( ( y  .R  ( z  .R  u ) )  +R  ( x  .R  (
w  .R  u )
) ) )  =  ( ( -1R  .R  ( y  .R  (
z  .R  u )
) )  +R  (
x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )
6963, 68eqtri 2273 . . . 4  |-  ( -1R 
.R  ( ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w ) )  .R  u ) )  =  ( ( -1R  .R  ( y  .R  (
z  .R  u )
) )  +R  (
x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )
7058, 69oveq12i 5719 . . 3  |-  ( ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) )  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  .R  u )
) )  =  ( ( ( x  .R  ( z  .R  v
) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  ( w  .R  v
) ) ) )  +R  ( ( -1R 
.R  ( y  .R  ( z  .R  u
) ) )  +R  ( x  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) ) ) )
7139, 45, 703eqtr4ri 2284 . 2  |-  ( ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) )  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  .R  u )
) )  =  ( ( x  .R  (
( z  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( w  .R  u ) ) ) )  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
) ) ) )
72 ovex 5732 . . . 4  |-  ( y  .R  ( z  .R  v ) )  e. 
_V
73 ovex 5732 . . . 4  |-  ( y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) )  e. 
_V
74 ovex 5732 . . . 4  |-  ( x  .R  ( w  .R  v ) )  e. 
_V
75 ovex 5732 . . . 4  |-  ( x  .R  ( z  .R  u ) )  e. 
_V
7672, 73, 74, 36, 37, 75caov42 5902 . . 3  |-  ( ( ( y  .R  (
z  .R  v )
)  +R  ( y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )  +R  ( ( x  .R  ( w  .R  v ) )  +R  ( x  .R  (
z  .R  u )
) ) )  =  ( ( ( y  .R  ( z  .R  v ) )  +R  ( x  .R  (
w  .R  v )
) )  +R  (
( x  .R  (
z  .R  u )
)  +R  ( y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) ) )
77 distrsr 8590 . . . 4  |-  ( y  .R  ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) ) )  =  ( ( y  .R  ( z  .R  v
) )  +R  (
y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )
78 distrsr 8590 . . . 4  |-  ( x  .R  ( ( w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) ) )  =  ( ( x  .R  ( w  .R  v
) )  +R  (
x  .R  ( z  .R  u ) ) )
7977, 78oveq12i 5719 . . 3  |-  ( ( y  .R  ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )  +R  ( x  .R  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
) ) )  =  ( ( ( y  .R  ( z  .R  v ) )  +R  ( y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) ) )  +R  ( ( x  .R  ( w  .R  v ) )  +R  ( x  .R  ( z  .R  u
) ) ) )
8059, 46, 48, 49, 50, 60, 52, 53caovdilem 5904 . . . 4  |-  ( ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )  .R  v )  =  ( ( y  .R  ( z  .R  v
) )  +R  (
x  .R  ( w  .R  v ) ) )
8146, 47, 48, 49, 50, 51, 61, 53caovdilem 5904 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .R  z
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) ) )  .R  u )  =  ( ( x  .R  ( z  .R  u
) )  +R  ( -1R  .R  ( ( y  .R  w )  .R  u ) ) )
82 mulasssr 8589 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  .R  w )  .R  u )  =  ( y  .R  (
w  .R  u )
)
8382oveq2i 5718 . . . . . . 7  |-  ( -1R 
.R  ( ( y  .R  w )  .R  u ) )  =  ( -1R  .R  (
y  .R  ( w  .R  u ) ) )
8447, 59, 65, 49, 53caov12 5897 . . . . . . 7  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  ( w  .R  u
) ) )  =  ( y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) )
8583, 84eqtri 2273 . . . . . 6  |-  ( -1R 
.R  ( ( y  .R  w )  .R  u ) )  =  ( y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) )
8685oveq2i 5718 . . . . 5  |-  ( ( x  .R  ( z  .R  u ) )  +R  ( -1R  .R  ( ( y  .R  w )  .R  u
) ) )  =  ( ( x  .R  ( z  .R  u
) )  +R  (
y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )
8781, 86eqtri 2273 . . . 4  |-  ( ( ( x  .R  z
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) ) )  .R  u )  =  ( ( x  .R  ( z  .R  u
) )  +R  (
y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) )
8880, 87oveq12i 5719 . . 3  |-  ( ( ( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  .R  v )  +R  ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  .R  u
) )  =  ( ( ( y  .R  ( z  .R  v
) )  +R  (
x  .R  ( w  .R  v ) ) )  +R  ( ( x  .R  ( z  .R  u ) )  +R  ( y  .R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) ) ) )
8976, 79, 883eqtr4ri 2284 . 2  |-  ( ( ( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  .R  v )  +R  ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  .R  u
) )  =  ( ( y  .R  (
( z  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( w  .R  u ) ) ) )  +R  ( x  .R  ( ( w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) ) ) )
901, 2, 3, 4, 5, 19, 32, 71, 89ecovass 6653 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  x.  B
)  x.  C )  =  ( A  x.  ( B  x.  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    _E cep 4193   `'ccnv 4576  (class class class)co 5707   R.cnr 8366   -1Rcm1r 8369    +R cplr 8370    .R cmr 8371   CCcc 8612    x. cmul 8619
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4035  ax-nul 4043  ax-pow 4079  ax-pr 4105  ax-un 4400  ax-inf2 7223
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2511  df-rex 2512  df-reu 2513  df-rab 2514  df-v 2727  df-sbc 2920  df-csb 3007  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3086  df-pss 3088  df-nul 3360  df-if 3468  df-pw 3529  df-sn 3547  df-pr 3548  df-tp 3549  df-op 3550  df-uni 3725  df-int 3758  df-iun 3802  df-br 3918  df-opab 3972  df-mpt 3973  df-tr 4008  df-eprel 4195  df-id 4199  df-po 4204  df-so 4205  df-fr 4242  df-we 4244  df-ord 4285  df-on 4286  df-lim 4287  df-suc 4288  df-om 4545  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-fun 4599  df-fn 4600  df-f 4601  df-f1 4602  df-fo 4603  df-f1o 4604  df-fv 4605  df-ov 5710  df-oprab 5711  df-mpt2 5712  df-1st 5971  df-2nd 5972  df-recs 6271  df-rdg 6306  df-1o 6362  df-oadd 6366  df-omul 6367  df-er 6543  df-ec 6545  df-qs 6549  df-ni 8373  df-pli 8374  df-mi 8375  df-lti 8376  df-plpq 8409  df-mpq 8410  df-ltpq 8411  df-enq 8412  df-nq 8413  df-erq 8414  df-plq 8415  df-mq 8416  df-1nq 8417  df-rq 8418  df-ltnq 8419  df-np 8482  df-1p 8483  df-plp 8484  df-mp 8485  df-ltp 8486  df-plpr 8556  df-mpr 8557  df-enr 8558  df-nr 8559  df-plr 8560  df-mr 8561  df-m1r 8565  df-c 8620  df-mul 8626
  Copyright terms: Public domain W3C validator