Theorem axmulcl 5285

Description: Closure law for multiplication of complex numbers. Axiom 7 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axmulcl	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. B) e. CC)

Proof of Theorem axmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axmulopr 5278	. 2 |- x. :(CC X. CC)-->CC
2	1	foprcl 4021	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. B) e. CC)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 960  (class class class)co 3969  CCcc 5244   x. cmul 5251

This theorem is referenced by:  mulclt 5315  mulcl 5333  cnegextlem2 5358  cnegext 5360  mul4t 5432  muladdt 5433  subdit 5439  submul2t 5472  mulsubt 5489  recextlem1 5694  recext 5696  muleqaddt 5712  receu 5713  mulnzcnopr 5714  divasst 5748  divmuldivt 5782  divadddivt 5786  divdivdivt 5787  conjmult 5799  zneo 6202  qbtwnre 6279  expclt 6582  mulexpt 6595  sqclt 6612  subsqt 6643  subsq2t 6644  bernneq 6653  bernneq2 6654  cjclt 6765  crret 6770  crimt 6771  reim0t 6775  recjt 6818  imcjt 6819  cjreimt 6828  cjreim2t 6829  cj11t 6830  sqabsaddt 6848  sqabssubt 6849  absreimsqt 6856  absreimt 6857  fsummulc1 7033  binomlem1 7066  binomlem2 7067  binomlem4 7069  binomlem5 7070  climmullem4 7123  climmullem5 7124  climmullem8 7127  climsub 7130  caucvg3a 7164  caucvg3lem 7166  fnsmnt 7226  geoser 7234  geolimilem 7235  fsum0diaglem2 7257  fsum0diag2 7259  mulc1cncf 7279  efaddlem3 7340  efaddlem5 7342  efaddlem6 7343  efaddlem13 7350  efaddlem17 7354  efaddlem19 7356  efaddlem27 7364  efexpt 7372  abspef01tlub 7395  sinclt 7431  cosclt 7432  resinvalt 7433  recosvalt 7434  efi4pt 7435  resin4pt 7436  recos4pt 7437  resinclt 7438  recosclt 7439  sinnegt 7442  cosnegt 7443  efivalt 7447  efmivalt 7448  efeult 7449  sinsubt 7455  cossubt 7456  addsint 7457  subsint 7458  addcost 7459  subcost 7460  sincossqt 7461  sin2tt 7462  sin01bndlem2 7469  sin01bndlem3 7470  cos01bndlem2 7471  cos01bndlem3 7472  abseft 7484  demoivre 7485  demoivreALT 7486  znnen 7503  mulcn 7985  ablmul 8127  ipval2 8353  4ipval2 8354  4ipval3 8358  ipid 8359  ipcl 8361  ipcj 8363  ip1cnilem4 8372  ip1cnilem6 8374  cnph 8474  ipasslem2 8487  ipasslem4 8489  ipasslem8 8493  ipasslem9 8494  ipasslem11 8496  ubthlem7 8531  ubthlem8 8532  ubthlem9 8533  ubthlem10 8534  minveclem18 8558  sincolem 8660  sinperlem2 8682  sinper 8685  cosper 8686  efimpi 8693  sincosq1eq 8704  efgh 8713  efghgrpilem 8714  efif 8716  efif1lem4 8728  efielcirc 8734  shftefif1olem 8736  eff1lem 8738  eff1i 8739  effoi 8740  efper 8742  hhssnv 9129  pjthlem4 9217  pjthlem7 9220  spansncol 9486  homulasst 9723  lnfnmul 9968  riesz3 9990  mslb1 10600  2wsms 10601

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-m1r 5185  df-c 5252  df-mul 5258

Copyright terms: Public domain