Theorem axmulcom 5276

Description: Multiplication of complex numbers is commutative. Axiom 10 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axmulcom	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. B) = (B x. A))

Proof of Theorem axmulcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 5262	. 2 |- CC = ((R. X. R.)/.`'E)
2		mulcnsrec 5264	. 2 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (z e. R. /\ w e. R.)) -> ([<.x, y>.]`'E x. [<.z, w>.]`'E) = [<.((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))), ((y .R z) +R (x .R w))>.]`'E)
3		mulcnsrec 5264	. 2 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (x e. R. /\ y e. R.)) -> ([<.z, w>.]`'E x. [<.x, y>.]`'E) = [<.((z .R x) +R (-1R .R (w .R y))), ((w .R x) +R (z .R y))>.]`'E)
4		visset 1813	. . . 4 |- x e. V
5		visset 1813	. . . 4 |- z e. V
6	4, 5	mulcomsr 5198	. . 3 |- (x .R z) = (z .R x)
7		visset 1813	. . . . 5 |- y e. V
8		visset 1813	. . . . 5 |- w e. V
9	7, 8	mulcomsr 5198	. . . 4 |- (y .R w) = (w .R y)
10	9	opreq2i 3972	. . 3 |- (-1R .R (y .R w)) = (-1R .R (w .R y))
11	6, 10	opreq12i 3973	. 2 |- ((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) = ((z .R x) +R (-1R .R (w .R y)))
12	7, 5	mulcomsr 5198	. . . 4 |- (y .R z) = (z .R y)
13	4, 8	mulcomsr 5198	. . . 4 |- (x .R w) = (w .R x)
14	12, 13	opreq12i 3973	. . 3 |- ((y .R z) +R (x .R w)) = ((z .R y) +R (w .R x))
15		oprex 3983	. . . 4 |- (z .R y) e. V
16		oprex 3983	. . . 4 |- (w .R x) e. V
17	15, 16	addcomsr 5196	. . 3 |- ((z .R y) +R (w .R x)) = ((w .R x) +R (z .R y))
18	14, 17	eqtr 1495	. 2 |- ((y .R z) +R (x .R w)) = ((w .R x) +R (z .R y))
19	1, 2, 3, 11, 18	ecoprcom 4319	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. B) = (B x. A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Ecep 2830  `'ccnv 3169  (class class class)co 3963  R.cnr 4993  -1Rcm1r 4996   +R cplr 4997   .R cmr 4998  CCcc 5232   x. cmul 5239

This theorem is referenced by:  mulcomt 5306  adddirt 5319  mulcom 5323  mulid2t 5417  mul12t 5418  mul23t 5419  muladdt 5421  subdirt 5428  mul02t 5444  mulneg2t 5452  recextlem1 5682  mulcan 5686  mulcanOLD 5687  mulcan2t 5692  mulcan2tOLD 5693  divmul3t 5709  recid2t 5736  divrec2t 5740  div23t 5742  div13t 5743  div12t 5744  divcan4t 5762  divcan4tOLD 5763  rec11rt 5779  divmul13t 5782  divmul24t 5783  divdivdivt 5785  prodgt02t 5827  prodge02t 5829  ltmul2t 5831  lemul2t 5833  lemul2it 5839  lemul2itOLD 5840  ltmulgt12t 5847  ltmuldiv2t 5865  ltmuldiv2tOLD 5866  ltdivmul2t 5870  ltdivmul2tOLD 5871  lt2mul2divt 5872  ledivmul2tOLD 5873  lemuldiv2t 5876  lemuldiv2tOLD 5877  times2t 6005  subsqt 6642  imcjt 6819  abscjt 6834  sqabsaddt 6848  sqabssubt 6849  bccmplt 6962  fsummulc2 7034  geolimilem 7235  cvgratlem1ALT 7247  cvgratlem1 7250  fsum0diag4 7261  efcltlem1 7304  efexpt 7372  sin2tt 7462  demoivre 7484  ablmul 8131  nvscom 8250  nv1 8304  ipblnfi 8516  sinmpi 8694  cosmpi 8695  sinppi 8696  efper 8747  hvmulcomt 8912  norm1t 9121  pjthlem7 9225  h1de2b 9477  homul12t 9731  kbmult 9879  riesz3 9995  riesz1t 9998  branmfnt 10038  kbass2t 10050  kbass4t 10052  strlem1 10177  msra3 10631

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-c 5240  df-mul 5246

Copyright terms: Public domain