MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axmulcom Unicode version

Theorem axmulcom 8793
Description: Multiplication of complex numbers is commutative. Axiom 8 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcom 8817 be used later. Instead, use mulcom 8839. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulcom  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( B  x.  A ) )

Proof of Theorem axmulcom
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 8780 . 2  |-  CC  =  ( ( R.  X.  R. ) /. `'  _E  )
2 mulcnsrec 8782 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  x.  [ <. z ,  w >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) ) ,  ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )
>. ] `'  _E  )
3 mulcnsrec 8782 . 2  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] `'  _E  x.  [ <. x ,  y >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( z  .R  x )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  y ) ) ) ,  ( ( w  .R  x )  +R  ( z  .R  y
) ) >. ] `'  _E  )
4 mulcomsr 8727 . . 3  |-  ( x  .R  z )  =  ( z  .R  x
)
5 mulcomsr 8727 . . . 4  |-  ( y  .R  w )  =  ( w  .R  y
)
65oveq2i 5885 . . 3  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) )  =  ( -1R  .R  (
w  .R  y )
)
74, 6oveq12i 5886 . 2  |-  ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w
) ) )  =  ( ( z  .R  x )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  y ) ) )
8 mulcomsr 8727 . . . 4  |-  ( y  .R  z )  =  ( z  .R  y
)
9 mulcomsr 8727 . . . 4  |-  ( x  .R  w )  =  ( w  .R  x
)
108, 9oveq12i 5886 . . 3  |-  ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w ) )  =  ( ( z  .R  y )  +R  (
w  .R  x )
)
11 addcomsr 8725 . . 3  |-  ( ( z  .R  y )  +R  ( w  .R  x ) )  =  ( ( w  .R  x )  +R  (
z  .R  y )
)
1210, 11eqtri 2316 . 2  |-  ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w ) )  =  ( ( w  .R  x )  +R  (
z  .R  y )
)
131, 2, 3, 7, 12ecovcom 6785 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( B  x.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    _E cep 4319   `'ccnv 4704  (class class class)co 5874   R.cnr 8505   -1Rcm1r 8508    +R cplr 8509    .R cmr 8510   CCcc 8751    x. cmul 8758
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-ni 8512  df-pli 8513  df-mi 8514  df-lti 8515  df-plpq 8548  df-mpq 8549  df-ltpq 8550  df-enq 8551  df-nq 8552  df-erq 8553  df-plq 8554  df-mq 8555  df-1nq 8556  df-rq 8557  df-ltnq 8558  df-np 8621  df-plp 8623  df-mp 8624  df-ltp 8625  df-plpr 8695  df-mpr 8696  df-enr 8697  df-nr 8698  df-plr 8699  df-mr 8700  df-c 8759  df-mul 8765
  Copyright terms: Public domain W3C validator