MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axmulcom Unicode version

Theorem axmulcom 8745
Description: Multiplication of complex numbers is commutative. Axiom 8 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-mulcom 8769. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulcom  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( B  x.  A ) )

Proof of Theorem axmulcom
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 8732 . 2  |-  CC  =  ( ( R.  X.  R. ) /. `'  _E  )
2 mulcnsrec 8734 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  x.  [ <. z ,  w >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) ) ,  ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )
>. ] `'  _E  )
3 mulcnsrec 8734 . 2  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] `'  _E  x.  [ <. x ,  y >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( z  .R  x )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  y ) ) ) ,  ( ( w  .R  x )  +R  ( z  .R  y
) ) >. ] `'  _E  )
4 mulcomsr 8679 . . 3  |-  ( x  .R  z )  =  ( z  .R  x
)
5 mulcomsr 8679 . . . 4  |-  ( y  .R  w )  =  ( w  .R  y
)
65oveq2i 5803 . . 3  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) )  =  ( -1R  .R  (
w  .R  y )
)
74, 6oveq12i 5804 . 2  |-  ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w
) ) )  =  ( ( z  .R  x )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  y ) ) )
8 mulcomsr 8679 . . . 4  |-  ( y  .R  z )  =  ( z  .R  y
)
9 mulcomsr 8679 . . . 4  |-  ( x  .R  w )  =  ( w  .R  x
)
108, 9oveq12i 5804 . . 3  |-  ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w ) )  =  ( ( z  .R  y )  +R  (
w  .R  x )
)
11 addcomsr 8677 . . 3  |-  ( ( z  .R  y )  +R  ( w  .R  x ) )  =  ( ( w  .R  x )  +R  (
z  .R  y )
)
1210, 11eqtri 2278 . 2  |-  ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w ) )  =  ( ( w  .R  x )  +R  (
z  .R  y )
)
131, 2, 3, 7, 12ecovcom 6737 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( B  x.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    _E cep 4275   `'ccnv 4660  (class class class)co 5792   R.cnr 8457   -1Rcm1r 8460    +R cplr 8461    .R cmr 8462   CCcc 8703    x. cmul 8710
This theorem is referenced by:  stoweidlem10  27094
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-ec 6630  df-qs 6634  df-ni 8464  df-pli 8465  df-mi 8466  df-lti 8467  df-plpq 8500  df-mpq 8501  df-ltpq 8502  df-enq 8503  df-nq 8504  df-erq 8505  df-plq 8506  df-mq 8507  df-1nq 8508  df-rq 8509  df-ltnq 8510  df-np 8573  df-plp 8575  df-mp 8576  df-ltp 8577  df-plpr 8647  df-mpr 8648  df-enr 8649  df-nr 8650  df-plr 8651  df-mr 8652  df-c 8711  df-mul 8717
  Copyright terms: Public domain W3C validator