Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axmulcom Structured version   Unicode version

Theorem axmulcom 9032
 Description: Multiplication of complex numbers is commutative. Axiom 8 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcom 9056 be used later. Instead, use mulcom 9078. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulcom

Proof of Theorem axmulcom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 9019 . 2
2 mulcnsrec 9021 . 2
3 mulcnsrec 9021 . 2
4 mulcomsr 8966 . . 3
5 mulcomsr 8966 . . . 4
65oveq2i 6094 . . 3
74, 6oveq12i 6095 . 2
8 mulcomsr 8966 . . . 4
9 mulcomsr 8966 . . . 4
108, 9oveq12i 6095 . . 3
11 addcomsr 8964 . . 3
1210, 11eqtri 2458 . 2
131, 2, 3, 7, 12ecovcom 7017 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   cep 4494  ccnv 4879  (class class class)co 6083  cnr 8744  cm1r 8747   cplr 8748   cmr 8749  cc 8990   cmul 8997 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-ec 6909  df-qs 6913  df-ni 8751  df-pli 8752  df-mi 8753  df-lti 8754  df-plpq 8787  df-mpq 8788  df-ltpq 8789  df-enq 8790  df-nq 8791  df-erq 8792  df-plq 8793  df-mq 8794  df-1nq 8795  df-rq 8796  df-ltnq 8797  df-np 8860  df-plp 8862  df-mp 8863  df-ltp 8864  df-plpr 8934  df-mpr 8935  df-enr 8936  df-nr 8937  df-plr 8938  df-mr 8939  df-c 8998  df-mul 9004
 Copyright terms: Public domain W3C validator