MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axmulcom Unicode version

Theorem axmulcom 8772
Description: Multiplication of complex numbers is commutative. Axiom 8 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcom 8796 be used later. Instead, use mulcom 8818. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulcom  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( B  x.  A ) )
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem axmulcom
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 8759 . 2  |-  CC  =  ( ( R.  X.  R. ) /. `'  _E  )
2 mulcnsrec 8761 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  x.  [ <. z ,  w >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) ) ,  ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )
>. ] `'  _E  )
3 mulcnsrec 8761 . 2  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] `'  _E  x.  [ <. x ,  y >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( z  .R  x )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  y ) ) ) ,  ( ( w  .R  x )  +R  ( z  .R  y
) ) >. ] `'  _E  )
4 mulcomsr 8706 . . 3  |-  ( x  .R  z )  =  ( z  .R  x
)
5 mulcomsr 8706 . . . 4  |-  ( y  .R  w )  =  ( w  .R  y
)
65oveq2i 5830 . . 3  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) )  =  ( -1R  .R  (
w  .R  y )
)
74, 6oveq12i 5831 . 2  |-  ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w
) ) )  =  ( ( z  .R  x )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  y ) ) )
8 mulcomsr 8706 . . . 4  |-  ( y  .R  z )  =  ( z  .R  y
)
9 mulcomsr 8706 . . . 4  |-  ( x  .R  w )  =  ( w  .R  x
)
108, 9oveq12i 5831 . . 3  |-  ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w ) )  =  ( ( z  .R  y )  +R  (
w  .R  x )
)
11 addcomsr 8704 . . 3  |-  ( ( z  .R  y )  +R  ( w  .R  x ) )  =  ( ( w  .R  x )  +R  (
z  .R  y )
)
1210, 11eqtri 2304 . 2  |-  ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w ) )  =  ( ( w  .R  x )  +R  (
z  .R  y )
)
131, 2, 3, 7, 12ecovcom 6764 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( B  x.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685    _E cep 4302   `'ccnv 4687  (class class class)co 5819   R.cnr 8484   -1Rcm1r 8487    +R cplr 8488    .R cmr 8489   CCcc 8730    x. cmul 8737
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-ec 6657  df-qs 6661  df-ni 8491  df-pli 8492  df-mi 8493  df-lti 8494  df-plpq 8527  df-mpq 8528  df-ltpq 8529  df-enq 8530  df-nq 8531  df-erq 8532  df-plq 8533  df-mq 8534  df-1nq 8535  df-rq 8536  df-ltnq 8537  df-np 8600  df-plp 8602  df-mp 8603  df-ltp 8604  df-plpr 8674  df-mpr 8675  df-enr 8676  df-nr 8677  df-plr 8678  df-mr 8679  df-c 8738  df-mul 8744
  Copyright terms: Public domain W3C validator