Theorem axpownd 4876

Description: A version of the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axpownd	|- (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))

Proof of Theorem axpownd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axpowndlem4 4875	. 2 |- (-. A.y y = x -> (-. A.y y = z -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))))
2		axpowndlem1 4872	. . 3 |- (A.x x = y -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
3	2	alequcoms 1126	. 2 |- (A.y y = x -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
4	2	a1d 12	. . 3 |- (A.x x = y -> (A.y y = z -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))))
5		hbnae 1130	. . . . . . . 8 |- (-. A.x x = y -> A.y -. A.x x = y)
6		hbae 1128	. . . . . . . 8 |- (A.y y = z -> A.yA.y y = z)
7	5, 6	hban 985	. . . . . . 7 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> A.y(-. A.x x = y /\ A.y y = z))
8		el 2719	. . . . . . . . . . . . 13 |- E.w x e. w
9		dveel1 1336	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-. A.y y = x -> (x e. w -> A.y x e. w))
10	9	nalequcoms 1127	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. A.x x = y -> (x e. w -> A.y x e. w))
11		elequ2 1124	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w = y -> (x e. w <-> x e. y))
12	11	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. A.x x = y -> (w = y -> (x e. w <-> x e. y)))
13	5, 10, 12	cbvexd 1303	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. A.x x = y -> (E.w x e. w <-> E.y x e. y))
14	8, 13	mpbii 193	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. A.x x = y -> E.y x e. y)
15		19.8a 1005	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.y x e. y -> E.xE.y x e. y)
16	14, 15	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.x x = y -> E.xE.y x e. y)
17		df-ex 957	. . . . . . . . . . 11 |- (E.xE.y x e. y <-> -. A.x -. E.y x e. y)
18	16, 17	sylib 198	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.x x = y -> -. A.x -. E.y x e. y)
19	18	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> -. A.x -. E.y x e. y)
20		pm4.2i 171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.y y = z -> (-. x e. y <-> -. x e. y))
21	20	dral1 1137	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.y y = z -> (A.y -. x e. y <-> A.z -. x e. y))
22		alnex 1009	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.y -. x e. y <-> -. E.y x e. y)
23		alnex 1009	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.z -. x e. y <-> -. E.z x e. y)
24	21, 22, 23	3bitr3g 552	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y y = z -> (-. E.y x e. y <-> -. E.z x e. y))
25		nd2 4862	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.y y = z -> -. A.y x e. z)
26		mtt 709	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. A.y x e. z -> (-. E.z x e. y <-> (E.z x e. y -> A.y x e. z)))
27	25, 26	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y y = z -> (-. E.z x e. y <-> (E.z x e. y -> A.y x e. z)))
28	24, 27	bitrd 526	. . . . . . . . . . 11 |- (A.y y = z -> (-. E.y x e. y <-> (E.z x e. y -> A.y x e. z)))
29	28	dral2 1138	. . . . . . . . . 10 |- (A.y y = z -> (A.x -. E.y x e. y <-> A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z)))
30	29	adantl 388	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> (A.x -. E.y x e. y <-> A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z)))
31	19, 30	mtbid 711	. . . . . . . 8 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> -. A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z))
32	31	pm2.21d 78	. . . . . . 7 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> (A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))
33	7, 32	19.21ai 974	. . . . . 6 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> A.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))
34		19.8a 1005	. . . . . 6 |- (A.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x) -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))
35	33, 34	syl 10	. . . . 5 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))
36	35	a1d 12	. . . 4 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
37	36	ex 373	. . 3 |- (-. A.x x = y -> (A.y y = z -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))))
38	4, 37	pm2.61i 126	. 2 |- (A.y y = z -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
39	1, 3, 38	pm2.61ii 130	1 |- (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 950  E.wex 956   = wceq 1099   e. wcel 1105

This theorem is referenced by:  zfcndpow 4891

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-reg 4517

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384

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