MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axpre-lttri Structured version   Unicode version

Theorem axpre-lttri 9045
Description: Ordering on reals satisfies strict trichotomy. Axiom 18 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version for extended reals is axlttri 9152. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-lttri 9069. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-lttri  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  <RR  A ) ) )

Proof of Theorem axpre-lttri
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 9011 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 elreal 9011 . 2  |-  ( B  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  B )
3 breq1 4218 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  A  <RR  <. y ,  0R >. ) )
4 eqeq1 2444 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >.  <->  A  =  <. y ,  0R >. ) )
5 breq2 4219 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. y ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >.  <->  <. y ,  0R >. 
<RR  A ) )
64, 5orbi12d 692 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  = 
<. y ,  0R >.  \/ 
<. y ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >. )  <-> 
( A  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >.  <RR  A ) ) )
76notbid 287 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( -.  ( <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >. 
<RR  <. x ,  0R >. )  <->  -.  ( A  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >. 
<RR  A ) ) )
83, 7bibi12d 314 . 2  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  -.  ( <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >. 
<RR  <. x ,  0R >. ) )  <->  ( A  <RR 
<. y ,  0R >.  <->  -.  ( A  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >.  <RR  A ) ) ) )
9 breq2 4219 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  <RR 
<. y ,  0R >.  <->  A  <RR  B ) )
10 eqeq2 2447 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  =  <. y ,  0R >.  <-> 
A  =  B ) )
11 breq1 4218 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( <. y ,  0R >.  <RR  A  <->  B  <RR  A ) )
1210, 11orbi12d 692 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >.  <RR  A )  <-> 
( A  =  B  \/  B  <RR  A ) ) )
1312notbid 287 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( -.  ( A  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >.  <RR  A )  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  <RR  A ) ) )
149, 13bibi12d 314 . 2  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  <RR  <. y ,  0R >.  <->  -.  ( A  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >.  <RR  A ) )  <->  ( A  <RR  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  <RR  A ) ) ) )
15 ltsosr 8974 . . . 4  |-  <R  Or  R.
16 sotric 4532 . . . 4  |-  ( ( 
<R  Or  R.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  ->  ( x  <R  y  <->  -.  ( x  =  y  \/  y  <R  x ) ) )
1715, 16mpan 653 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( x  <R  y  <->  -.  ( x  =  y  \/  y  <R  x
) ) )
18 ltresr 9020 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  x  <R  y )
19 vex 2961 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
2019eqresr 9017 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  0R >.  = 
<. y ,  0R >.  <->  x  =  y )
21 ltresr 9020 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >.  <->  y  <R  x )
2220, 21orbi12i 509 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  0R >.  = 
<. y ,  0R >.  \/ 
<. y ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >. )  <-> 
( x  =  y  \/  y  <R  x
) )
2322notbii 289 . . 3  |-  ( -.  ( <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >. 
<RR  <. x ,  0R >. )  <->  -.  ( x  =  y  \/  y  <R  x ) )
2417, 18, 233bitr4g 281 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >. 
<RR  <. y ,  0R >.  <->  -.  ( <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >. 
<RR  <. x ,  0R >. ) ) )
251, 2, 8, 14, 242gencl 2987 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  <RR  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   <.cop 3819   class class class wbr 4215    Or wor 4505   R.cnr 8747   0Rc0r 8748    <R cltr 8753   RRcr 8994    <RR cltrr 8999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-er 6908  df-ec 6910  df-qs 6914  df-ni 8754  df-pli 8755  df-mi 8756  df-lti 8757  df-plpq 8790  df-mpq 8791  df-ltpq 8792  df-enq 8793  df-nq 8794  df-erq 8795  df-plq 8796  df-mq 8797  df-1nq 8798  df-rq 8799  df-ltnq 8800  df-np 8863  df-1p 8864  df-plp 8865  df-ltp 8867  df-enr 8939  df-nr 8940  df-ltr 8943  df-0r 8944  df-r 9005  df-lt 9008
  Copyright terms: Public domain W3C validator