MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axpre-lttri Unicode version

Theorem axpre-lttri 9029
Description: Ordering on reals satisfies strict trichotomy. Axiom 18 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version for extended reals is axlttri 9136. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-lttri 9053. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-lttri  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  <RR  A ) ) )

Proof of Theorem axpre-lttri
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 8995 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 elreal 8995 . 2  |-  ( B  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  B )
3 breq1 4207 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  A  <RR  <. y ,  0R >. ) )
4 eqeq1 2441 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >.  <->  A  =  <. y ,  0R >. ) )
5 breq2 4208 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. y ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >.  <->  <. y ,  0R >. 
<RR  A ) )
64, 5orbi12d 691 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  = 
<. y ,  0R >.  \/ 
<. y ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >. )  <-> 
( A  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >.  <RR  A ) ) )
76notbid 286 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( -.  ( <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >. 
<RR  <. x ,  0R >. )  <->  -.  ( A  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >. 
<RR  A ) ) )
83, 7bibi12d 313 . 2  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  -.  ( <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >. 
<RR  <. x ,  0R >. ) )  <->  ( A  <RR 
<. y ,  0R >.  <->  -.  ( A  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >.  <RR  A ) ) ) )
9 breq2 4208 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  <RR 
<. y ,  0R >.  <->  A  <RR  B ) )
10 eqeq2 2444 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  =  <. y ,  0R >.  <-> 
A  =  B ) )
11 breq1 4207 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( <. y ,  0R >.  <RR  A  <->  B  <RR  A ) )
1210, 11orbi12d 691 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >.  <RR  A )  <-> 
( A  =  B  \/  B  <RR  A ) ) )
1312notbid 286 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( -.  ( A  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >.  <RR  A )  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  <RR  A ) ) )
149, 13bibi12d 313 . 2  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  <RR  <. y ,  0R >.  <->  -.  ( A  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >.  <RR  A ) )  <->  ( A  <RR  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  <RR  A ) ) ) )
15 ltsosr 8958 . . . 4  |-  <R  Or  R.
16 sotric 4521 . . . 4  |-  ( ( 
<R  Or  R.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  ->  ( x  <R  y  <->  -.  ( x  =  y  \/  y  <R  x ) ) )
1715, 16mpan 652 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( x  <R  y  <->  -.  ( x  =  y  \/  y  <R  x
) ) )
18 ltresr 9004 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  x  <R  y )
19 vex 2951 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
2019eqresr 9001 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  0R >.  = 
<. y ,  0R >.  <->  x  =  y )
21 ltresr 9004 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >.  <->  y  <R  x )
2220, 21orbi12i 508 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  0R >.  = 
<. y ,  0R >.  \/ 
<. y ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >. )  <-> 
( x  =  y  \/  y  <R  x
) )
2322notbii 288 . . 3  |-  ( -.  ( <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >. 
<RR  <. x ,  0R >. )  <->  -.  ( x  =  y  \/  y  <R  x ) )
2417, 18, 233bitr4g 280 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >. 
<RR  <. y ,  0R >.  <->  -.  ( <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >. 
<RR  <. x ,  0R >. ) ) )
251, 2, 8, 14, 242gencl 2977 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  <RR  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   <.cop 3809   class class class wbr 4204    Or wor 4494   R.cnr 8731   0Rc0r 8732    <R cltr 8737   RRcr 8978    <RR cltrr 8983
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-omul 6720  df-er 6896  df-ec 6898  df-qs 6902  df-ni 8738  df-pli 8739  df-mi 8740  df-lti 8741  df-plpq 8774  df-mpq 8775  df-ltpq 8776  df-enq 8777  df-nq 8778  df-erq 8779  df-plq 8780  df-mq 8781  df-1nq 8782  df-rq 8783  df-ltnq 8784  df-np 8847  df-1p 8848  df-plp 8849  df-ltp 8851  df-enr 8923  df-nr 8924  df-ltr 8927  df-0r 8928  df-r 8989  df-lt 8992
  Copyright terms: Public domain W3C validator