Theorem axregnd 4879

Description: A version of the Axiom of Regularity with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axregnd	|- (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))

Proof of Theorem axregnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbnae 1130	. . . . . 6 |- (-. A.z z = x -> A.x -. A.z z = x)
2		hbnae 1130	. . . . . 6 |- (-. A.z z = y -> A.x -. A.z z = y)
3	1, 2	hban 985	. . . . 5 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> A.x(-. A.z z = x /\ -. A.z z = y))
4		hbnae 1130	. . . . . . . 8 |- (-. A.z z = x -> A.z -. A.z z = x)
5		hbnae 1130	. . . . . . . 8 |- (-. A.z z = y -> A.z -. A.z z = y)
6	4, 5	hban 985	. . . . . . 7 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> A.z(-. A.z z = x /\ -. A.z z = y))
7		dveel2 1337	. . . . . . . . 9 |- (-. A.z z = x -> (w e. x -> A.z w e. x))
8	7	adantr 389	. . . . . . . 8 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (w e. x -> A.z w e. x))
9		dveel2 1337	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.z z = y -> (w e. y -> A.z w e. y))
10	9	adantl 388	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (w e. y -> A.z w e. y))
11	6, 10	hbnd 1085	. . . . . . . 8 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (-. w e. y -> A.z -. w e. y))
12	6, 8, 11	hbimd 1086	. . . . . . 7 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> ((w e. x -> -. w e. y) -> A.z(w e. x -> -. w e. y)))
13		elequ1 1123	. . . . . . . . 9 |- (w = z -> (w e. x <-> z e. x))
14		elequ1 1123	. . . . . . . . . 10 |- (w = z -> (w e. y <-> z e. y))
15	14	negbid 609	. . . . . . . . 9 |- (w = z -> (-. w e. y <-> -. z e. y))
16	13, 15	imbi12d 624	. . . . . . . 8 |- (w = z -> ((w e. x -> -. w e. y) <-> (z e. x -> -. z e. y)))
17	16	a1i 8	. . . . . . 7 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (w = z -> ((w e. x -> -. w e. y) <-> (z e. x -> -. z e. y))))
18	6, 12, 17	cbvald 1302	. . . . . 6 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (A.w(w e. x -> -. w e. y) <-> A.z(z e. x -> -. z e. y)))
19	18	anbi2d 614	. . . . 5 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> ((x e. y /\ A.w(w e. x -> -. w e. y)) <-> (x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
20	3, 19	exbid 1081	. . . 4 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (E.x(x e. y /\ A.w(w e. x -> -. w e. y)) <-> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
21		axregndlem2 4878	. . . 4 |- (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.w(w e. x -> -. w e. y)))
22	20, 21	syl5bi 208	. . 3 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
23	22	ex 373	. 2 |- (-. A.z z = x -> (-. A.z z = y -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))))
24		axregndlem1 4877	. . 3 |- (A.x x = z -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
25	24	alequcoms 1126	. 2 |- (A.z z = x -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
26		hbae 1128	. . . 4 |- (A.z z = y -> A.xA.z z = y)
27		elirrv 4522	. . . . . . . . . 10 |- -. z e. z
28		elequ2 1124	. . . . . . . . . 10 |- (z = y -> (z e. z <-> z e. y))
29	27, 28	mtbii 713	. . . . . . . . 9 |- (z = y -> -. z e. y)
30	29	a4s 960	. . . . . . . 8 |- (A.z z = y -> -. z e. y)
31	30	a1d 12	. . . . . . 7 |- (A.z z = y -> (z e. x -> -. z e. y))
32	31	a5i 965	. . . . . 6 |- (A.z z = y -> A.z(z e. x -> -. z e. y))
33	32	anim2i 335	. . . . 5 |- ((x e. y /\ A.z z = y) -> (x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))
34	33	expcom 374	. . . 4 |- (A.z z = y -> (x e. y -> (x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
35	26, 34	19.22d 1038	. . 3 |- (A.z z = y -> (E.x x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
36		19.8a 1005	. . 3 |- (x e. y -> E.x x e. y)
37	35, 36	syl5 21	. 2 |- (A.z z = y -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
38	23, 25, 37	pm2.61ii 130	1 |- (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 950  E.wex 956   = wceq 1099   e. wcel 1105

This theorem is referenced by:  zfcndreg 4892

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-pow 2710  ax-reg 4517

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384

Copyright terms: Public domain