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Theorem axrep1 4132
Description: The version of the Axiom of Replacement used in the Metamath Solitaire applet http://us.metamath.org/mmsolitaire/mms.html. Equivalence is shown via the path ax-rep 4131 
-> axrep1 4132 
-> axrep2 4133 
-> axrepnd 8216 
-> zfcndrep 8236 = ax-rep 4131. (Contributed by NM, 19-Nov-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
axrep1  |-  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ph ) ) )
Distinct variable groups:    ph, y    x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, z)

Proof of Theorem axrep1
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  y ) )
21anbi1d 685 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  e.  w  /\  ph )  <->  ( x  e.  y  /\  ph )
) )
32exbidv 1612 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  ( E. x ( x  e.  w  /\  ph )  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ph )
) )
43bibi2d 309 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph )
)  <->  ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ph ) ) ) )
54albidv 1611 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  ( A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) )  <->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ph )
) ) )
65exbidv 1612 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( E. x A. z ( z  e.  x  <->  E. x
( x  e.  w  /\  ph ) )  <->  E. x A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ph ) ) ) )
76imbi2d 307 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
( A. x E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  E. x A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph )
) )  <->  ( A. x E. y A. z
( ph  ->  z  =  y )  ->  E. x A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ph ) ) ) ) )
8 ax-rep 4131 . . . 4  |-  ( A. x E. y A. z
( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  E. y A. z
( z  e.  y  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) ) )
9 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ y
ph
10919.3 1781 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ph  <->  ph )
1110imbi1i 315 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y ph  ->  z  =  y )  <->  ( ph  ->  z  =  y ) )
1211albii 1553 . . . . . 6  |-  ( A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  <->  A. z ( ph  ->  z  =  y ) )
1312exbii 1569 . . . . 5  |-  ( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  <->  E. y A. z ( ph  ->  z  =  y ) )
1413albii 1553 . . . 4  |-  ( A. x E. y A. z
( A. y ph  ->  z  =  y )  <->  A. x E. y A. z ( ph  ->  z  =  y ) )
15 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ x  z  e.  y
16 nfe1 1706 . . . . . . 7  |-  F/ x E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph )
1715, 16nfbi 1772 . . . . . 6  |-  F/ x
( z  e.  y  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) )
1817nfal 1766 . . . . 5  |-  F/ x A. z ( z  e.  y  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) )
19 nfv 1605 . . . . 5  |-  F/ y A. z ( z  e.  x  <->  E. x
( x  e.  w  /\  ph ) )
20 elequ2 1689 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  x ) )
2110anbi2i 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  w  /\  A. y ph )  <->  ( x  e.  w  /\  ph )
)
2221exbii 1569 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph )  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) )
2322a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  ( E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph )  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) ) )
2420, 23bibi12d 312 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( z  e.  y  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) )  <->  ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) ) ) )
2524albidv 1611 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  ( A. z ( z  e.  y  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) )  <->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph )
) ) )
2618, 19, 25cbvex 1925 . . . 4  |-  ( E. y A. z ( z  e.  y  <->  E. x
( x  e.  w  /\  A. y ph )
)  <->  E. x A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph )
) )
278, 14, 263imtr3i 256 . . 3  |-  ( A. x E. y A. z
( ph  ->  z  =  y )  ->  E. x A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) ) )
287, 27chvarv 1953 . 2  |-  ( A. x E. y A. z
( ph  ->  z  =  y )  ->  E. x A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ph ) ) )
292819.35ri 1589 1  |-  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684
This theorem is referenced by:  axrep2  4133
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-cleq 2276  df-clel 2279
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