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Theorem axrep1 4133
Description: The version of the Axiom of Replacement used in the Metamath Solitaire applet http://us.metamath.org/mmsolitaire/mms.html. Equivalence is shown via the path ax-rep 4132 
-> axrep1 4133 
-> axrep2 4134 
-> axrepnd 8211 
-> zfcndrep 8231 = ax-rep 4132. (Contributed by NM, 19-Nov-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
axrep1  |-  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ph ) ) )
Distinct variable groups:    ph, y    x, y, z
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
Allowed substitution hints:    ph( x, z)

Proof of Theorem axrep1
StepHypRef Expression
1 eleq2 2345 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  y ) )
21anbi1d 687 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  e.  w  /\  ph )  <->  ( x  e.  y  /\  ph )
) )
32exbidv 1613 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  ( E. x ( x  e.  w  /\  ph )  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ph )
) )
43bibi2d 311 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph )
)  <->  ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ph ) ) ) )
54albidv 1612 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  ( A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) )  <->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ph )
) ) )
65exbidv 1613 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( E. x A. z ( z  e.  x  <->  E. x
( x  e.  w  /\  ph ) )  <->  E. x A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ph ) ) ) )
76imbi2d 309 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
( A. x E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  E. x A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph )
) )  <->  ( A. x E. y A. z
( ph  ->  z  =  y )  ->  E. x A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ph ) ) ) ) )
8 ax-rep 4132 . . . 4  |-  ( A. x E. y A. z
( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  E. y A. z
( z  e.  y  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) ) )
9 nfv 1606 . . . . . . . . 9  |-  F/ y
ph
10919.3 1782 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ph  <->  ph )
1110imbi1i 317 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y ph  ->  z  =  y )  <->  ( ph  ->  z  =  y ) )
1211albii 1554 . . . . . 6  |-  ( A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  <->  A. z ( ph  ->  z  =  y ) )
1312exbii 1570 . . . . 5  |-  ( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  <->  E. y A. z ( ph  ->  z  =  y ) )
1413albii 1554 . . . 4  |-  ( A. x E. y A. z
( A. y ph  ->  z  =  y )  <->  A. x E. y A. z ( ph  ->  z  =  y ) )
15 nfv 1606 . . . . . . 7  |-  F/ x  z  e.  y
16 nfe1 1707 . . . . . . 7  |-  F/ x E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph )
1715, 16nfbi 1773 . . . . . 6  |-  F/ x
( z  e.  y  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) )
1817nfal 1767 . . . . 5  |-  F/ x A. z ( z  e.  y  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) )
19 nfv 1606 . . . . 5  |-  F/ y A. z ( z  e.  x  <->  E. x
( x  e.  w  /\  ph ) )
20 elequ2 1690 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  x ) )
2110anbi2i 677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  w  /\  A. y ph )  <->  ( x  e.  w  /\  ph )
)
2221exbii 1570 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph )  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) )
2322a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  ( E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph )  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) ) )
2420, 23bibi12d 314 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( z  e.  y  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) )  <->  ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) ) ) )
2524albidv 1612 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  ( A. z ( z  e.  y  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) )  <->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph )
) ) )
2618, 19, 25cbvex 1927 . . . 4  |-  ( E. y A. z ( z  e.  y  <->  E. x
( x  e.  w  /\  A. y ph )
)  <->  E. x A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph )
) )
278, 14, 263imtr3i 258 . . 3  |-  ( A. x E. y A. z
( ph  ->  z  =  y )  ->  E. x A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) ) )
287, 27chvarv 1958 . 2  |-  ( A. x E. y A. z
( ph  ->  z  =  y )  ->  E. x A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ph ) ) )
292819.35ri 1590 1  |-  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1528   E.wex 1529    = wceq 1624    e. wcel 1685
This theorem is referenced by:  axrep2  4134
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-an 362  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-cleq 2277  df-clel 2280
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