MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axrep4 Structured version   Unicode version

Theorem axrep4 4316
Description: A more traditional version of the Axiom of Replacement. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)
Hypothesis
Ref Expression
axrep4.1  |-  F/ z
ph
Assertion
Ref Expression
axrep4  |-  ( A. x E. z A. y
( ph  ->  y  =  z )  ->  E. z A. y ( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem axrep4
StepHypRef Expression
1 axrep3 4315 . . 3  |-  E. x
( E. z A. y ( ph  ->  y  =  z )  ->  A. y ( y  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. z ph ) ) )
2119.35i 1611 . 2  |-  ( A. x E. z A. y
( ph  ->  y  =  z )  ->  E. x A. y ( y  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. z ph ) ) )
3 nfv 1629 . . . . 5  |-  F/ z  y  e.  x
4 nfv 1629 . . . . . . 7  |-  F/ z  x  e.  w
5 nfa1 1806 . . . . . . 7  |-  F/ z A. z ph
64, 5nfan 1846 . . . . . 6  |-  F/ z ( x  e.  w  /\  A. z ph )
76nfex 1865 . . . . 5  |-  F/ z E. x ( x  e.  w  /\  A. z ph )
83, 7nfbi 1856 . . . 4  |-  F/ z ( y  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. z ph ) )
98nfal 1864 . . 3  |-  F/ z A. y ( y  e.  x  <->  E. x
( x  e.  w  /\  A. z ph )
)
10 nfv 1629 . . . . 5  |-  F/ x  y  e.  z
11 nfe1 1747 . . . . 5  |-  F/ x E. x ( x  e.  w  /\  ph )
1210, 11nfbi 1856 . . . 4  |-  F/ x
( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph )
)
1312nfal 1864 . . 3  |-  F/ x A. y ( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) )
14 elequ2 1730 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  z ) )
15 axrep4.1 . . . . . . . . 9  |-  F/ z
ph
161519.3 1791 . . . . . . . 8  |-  ( A. z ph  <->  ph )
1716anbi2i 676 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  w  /\  A. z ph )  <->  ( x  e.  w  /\  ph )
)
1817exbii 1592 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  e.  w  /\  A. z ph )  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) )
1918a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( E. x ( x  e.  w  /\  A. z ph )  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) ) )
2014, 19bibi12d 313 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. z ph ) )  <->  ( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) ) ) )
2120albidv 1635 . . 3  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y ( y  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. z ph ) )  <->  A. y
( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph )
) ) )
229, 13, 21cbvex 1983 . 2  |-  ( E. x A. y ( y  e.  x  <->  E. x
( x  e.  w  /\  A. z ph )
)  <->  E. z A. y
( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph )
) )
232, 22sylib 189 1  |-  ( A. x E. z A. y
( ph  ->  y  =  z )  ->  E. z A. y ( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550   F/wnf 1553
This theorem is referenced by:  axrep5  4317  funimaexg  5522
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-rep 4312
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554
  Copyright terms: Public domain W3C validator