Theorem axrep5 4110

Description: Axiom of Replacement (similar to Axiom Rep of [BellMachover] p. 463). The antecedent tells us ph is analogous to a "function" from x to y (although it is not really a function since it is a wff and not a class). In the consequent we postulate the existence of a set z that corresponds to the "image" of ph restricted to some other set w. The hypothesis says z must not be free in ph. (Contributed by NM, 26-Nov-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
axrep5.1	|- F/ z ph

Assertion

Ref	Expression
axrep5	|- ( A. x ( x e. w -> E. z A. y ( ph -> y = z ) ) -> E. z A. y ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem axrep5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.37v 2033	. . . . 5 |- ( E. z ( x e. w -> A. y ( ph -> y = z ) ) <-> ( x e. w -> E. z A. y ( ph -> y = z ) ) )
2		impexp 435	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. w /\ ph ) -> y = z ) <-> ( x e. w -> ( ph -> y = z ) ) )
3	2	albii 1554	. . . . . . 7 |- ( A. y ( ( x e. w /\ ph ) -> y = z ) <-> A. y ( x e. w -> ( ph -> y = z ) ) )
4		19.21v 2012	. . . . . . 7 |- ( A. y ( x e. w -> ( ph -> y = z ) ) <-> ( x e. w -> A. y ( ph -> y = z ) ) )
5	3, 4	bitr2i 243	. . . . . 6 |- ( ( x e. w -> A. y ( ph -> y = z ) ) <-> A. y ( ( x e. w /\ ph ) -> y = z ) )
6	5	exbii 1580	. . . . 5 |- ( E. z ( x e. w -> A. y ( ph -> y = z ) ) <-> E. z A. y ( ( x e. w /\ ph ) -> y = z ) )
7	1, 6	bitr3i 244	. . . 4 |- ( ( x e. w -> E. z A. y ( ph -> y = z ) ) <-> E. z A. y ( ( x e. w /\ ph ) -> y = z ) )
8	7	albii 1554	. . 3 |- ( A. x ( x e. w -> E. z A. y ( ph -> y = z ) ) <-> A. x E. z A. y ( ( x e. w /\ ph ) -> y = z ) )
9		nfv 1629	. . . . 5 |- F/ z x e. w
10		axrep5.1	. . . . 5 |- F/ z ph
11	9, 10	nfan 1737	. . . 4 |- F/ z ( x e. w /\ ph )
12	11	axrep4 4109	. . 3 |- ( A. x E. z A. y ( ( x e. w /\ ph ) -> y = z ) -> E. z A. y ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ( x e. w /\ ph ) ) ) )
13	8, 12	sylbi 189	. 2 |- ( A. x ( x e. w -> E. z A. y ( ph -> y = z ) ) -> E. z A. y ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ( x e. w /\ ph ) ) ) )
14		anabs5 787	. . . . . 6 |- ( ( x e. w /\ ( x e. w /\ ph ) ) <-> ( x e. w /\ ph ) )
15	14	exbii 1580	. . . . 5 |- ( E. x ( x e. w /\ ( x e. w /\ ph ) ) <-> E. x ( x e. w /\ ph ) )
16	15	bibi2i 306	. . . 4 |- ( ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ( x e. w /\ ph ) ) ) <-> ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) )
17	16	albii 1554	. . 3 |- ( A. y ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ( x e. w /\ ph ) ) ) <-> A. y ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) )
18	17	exbii 1580	. 2 |- ( E. z A. y ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ( x e. w /\ ph ) ) ) <-> E. z A. y ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) )
19	13, 18	sylib 190	1 |- ( A. x ( x e. w -> E. z A. y ( ph -> y = z ) ) -> E. z A. y ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 6   <-> wb 178   /\ wa 360   A.wal 1532   E.wex 1537   F/wnf 1539   = wceq 1619   e. wcel 1621

This theorem is referenced by:  zfrepclf  4111  axsep  4114

This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-ext 2239  ax-rep 4105

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-cleq 2251  df-clel 2254