Theorem axresscn 5422

Description: The real numbers are a subset of the complex numbers. Axiom 2 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axresscn	|- RR (_ CC

Proof of Theorem axresscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 2132	. . 3 |- R. (_ R.
2		0r 5343	. . . 4 |- 0R e. R.
3		snssi 2530	. . . 4 |- (0R e. R. -> {0R} (_ R.)
4	2, 3	ax-mp 7	. . 3 |- {0R} (_ R.
5		ssxp 3345	. . 3 |- ((R. (_ R. /\ {0R} (_ R.) -> (R. X. {0R}) (_ (R. X. R.))
6	1, 4, 5	mp2an 701	. 2 |- (R. X. {0R}) (_ (R. X. R.)
7		df-r 5398	. 2 |- RR = (R. X. {0R})
8		df-c 5394	. 2 |- CC = (R. X. R.)
9	6, 7, 8	3sstr4i 2152	1 |- RR (_ CC

Syntax hints:   e. wcel 994   (_ wss 2099  {csn 2467   X. cxp 3249  R.cnr 5147  0Rc0r 5148  CCcc 5386  RRcr 5387

This theorem is referenced by:  ax1cn 5423  reex 5466  recn 5467  recni 5468  nnsscn 6073  nn0sscn 6272  qsscn 6404  ser1monoi 6702  reexpcl 6775  rpexpcl 6777  nthruc 6946  seq1ublem 7114  ser1absdiflem 7132  climserzlei 7350  climsupi 7358  caucvglem2 7361  caucvgi 7366  cvgcmp2clem 7385  cvgcmp2clemOLD 7386  cvgcmp3ci 7390  abscncf 7480  recncf 7481  imcncf 7482  ivthlem4 7489  ivthlem6 7491  ivthlem7 7492  ivthlem8 7493  ivthlem9 7494  isupivthi 7495  reeff1 7618  reeff1olem1 7632  reeff1o 7634  remetba 8120  readdsubg 8370  abscncfALT 8598  ipasslem7 8752  pilem1 8938  efifolem1 8994  circgrp 9012  ivthALT 11515  fsumltisumii 11885  fsumleisumii 11888  metdcn 11918  iiuni 11933  recms 12066  iccbnd 12082  phtpycom 12092  phtpycolem3 12095  phtpycolem4 12096

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-enr 5320  df-nr 5321  df-0r 5325  df-c 5394  df-r 5398

Copyright terms: Public domain