MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axrrecex Structured version   Unicode version

Theorem axrrecex 9038
Description: Existence of reciprocal of nonzero real number. Axiom 16 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-rrecex 9062. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axrrecex  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  ->  E. x  e.  RR  ( A  x.  x
)  =  1 )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem axrrecex
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 9006 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  A )
2 df-rex 2711 . . . 4  |-  ( E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  A  <->  E. y ( y  e. 
R.  /\  <. y ,  0R >.  =  A
) )
31, 2bitri 241 . . 3  |-  ( A  e.  RR  <->  E. y
( y  e.  R.  /\ 
<. y ,  0R >.  =  A ) )
4 neeq1 2609 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( <. y ,  0R >.  =/=  0  <->  A  =/=  0 ) )
5 oveq1 6088 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  ( A  x.  x ) )
65eqeq1d 2444 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1  <-> 
( A  x.  x
)  =  1 ) )
76rexbidv 2726 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1  <->  E. x  e.  RR  ( A  x.  x
)  =  1 ) )
84, 7imbi12d 312 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. y ,  0R >.  =/=  0  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  1 )  <-> 
( A  =/=  0  ->  E. x  e.  RR  ( A  x.  x
)  =  1 ) ) )
9 df-0 8997 . . . . . . 7  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
109eqeq2i 2446 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  0  <->  <. y ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >. )
11 vex 2959 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
1211eqresr 9012 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  0R >.  = 
<. 0R ,  0R >.  <->  y  =  0R )
1310, 12bitri 241 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  0  <->  y  =  0R )
1413necon3bii 2633 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =/=  0  <->  y  =/=  0R )
15 recexsr 8982 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  R.  /\  y  =/=  0R )  ->  E. z  e.  R.  ( y  .R  z
)  =  1R )
1615ex 424 . . . . 5  |-  ( y  e.  R.  ->  (
y  =/=  0R  ->  E. z  e.  R.  (
y  .R  z )  =  1R ) )
17 opelreal 9005 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
z ,  0R >.  e.  RR  <->  z  e.  R. )
1817anbi1i 677 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. z ,  0R >.  e.  RR  /\  ( <.
y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. )  =  1 )  <->  ( z  e.  R.  /\  ( <.
y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. )  =  1 ) )
19 mulresr 9014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  <. (
y  .R  z ) ,  0R >. )
2019eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1  <->  <. ( y  .R  z
) ,  0R >.  =  1 ) )
21 df-1 8998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
2221eqeq2i 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( y  .R  z
) ,  0R >.  =  1  <->  <. ( y  .R  z ) ,  0R >.  =  <. 1R ,  0R >. )
23 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  .R  z )  e. 
_V
2423eqresr 9012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( y  .R  z
) ,  0R >.  = 
<. 1R ,  0R >.  <->  (
y  .R  z )  =  1R )
2522, 24bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
( y  .R  z
) ,  0R >.  =  1  <->  ( y  .R  z )  =  1R )
2620, 25syl6bb 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1  <-> 
( y  .R  z
)  =  1R )
)
2726pm5.32da 623 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  R.  ->  (
( z  e.  R.  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 )  <-> 
( z  e.  R.  /\  ( y  .R  z
)  =  1R )
) )
2818, 27syl5bb 249 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  R.  ->  (
( <. z ,  0R >.  e.  RR  /\  ( <. y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. )  =  1 )  <->  ( z  e.  R.  /\  ( y  .R  z )  =  1R ) ) )
29 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  ( <.
y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. ) )
3029eqeq1d 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( ( <.
y ,  0R >.  x.  x )  =  1  <-> 
( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 ) )
3130rspcev 3052 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. z ,  0R >.  e.  RR  /\  ( <.
y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. )  =  1 )  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 )
3228, 31syl6bir 221 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  R.  ->  (
( z  e.  R.  /\  ( y  .R  z
)  =  1R )  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) )
3332exp3a 426 . . . . . 6  |-  ( y  e.  R.  ->  (
z  e.  R.  ->  ( ( y  .R  z
)  =  1R  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) ) )
3433rexlimdv 2829 . . . . 5  |-  ( y  e.  R.  ->  ( E. z  e.  R.  ( y  .R  z
)  =  1R  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) )
3516, 34syld 42 . . . 4  |-  ( y  e.  R.  ->  (
y  =/=  0R  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) )
3614, 35syl5bi 209 . . 3  |-  ( y  e.  R.  ->  ( <. y ,  0R >.  =/=  0  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  1 ) )
373, 8, 36gencl 2984 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  =/=  0  ->  E. x  e.  RR  ( A  x.  x )  =  1 ) )
3837imp 419 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  ->  E. x  e.  RR  ( A  x.  x
)  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   E.wrex 2706   <.cop 3817  (class class class)co 6081   R.cnr 8742   0Rc0r 8743   1Rc1r 8744    .R cmr 8747   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    x. cmul 8995
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-ni 8749  df-pli 8750  df-mi 8751  df-lti 8752  df-plpq 8785  df-mpq 8786  df-ltpq 8787  df-enq 8788  df-nq 8789  df-erq 8790  df-plq 8791  df-mq 8792  df-1nq 8793  df-rq 8794  df-ltnq 8795  df-np 8858  df-1p 8859  df-plp 8860  df-mp 8861  df-ltp 8862  df-plpr 8932  df-mpr 8933  df-enr 8934  df-nr 8935  df-plr 8936  df-mr 8937  df-ltr 8938  df-0r 8939  df-1r 8940  df-m1r 8941  df-c 8996  df-0 8997  df-1 8998  df-r 9000  df-mul 9002
  Copyright terms: Public domain W3C validator