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Theorem axsegcon 23931
Description: Any segment  A B can be extended to a point  x such that  B x is congruent to  C D. Axiom A4 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 4-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axsegcon  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. B ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )
Distinct variable groups:    x, N    x, A    x, B    x, C    x, D

Proof of Theorem axsegcon
StepHypRef Expression
1 axsegconlem1 23921 . . . . 5  |-  ( ( A  =  B  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
21ex 425 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  (
( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) ) )
3 simprll 741 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  B  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
4 simprlr 742 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  B  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
5 simpl 445 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  B  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  A  =/=  B
)
6 simprr 736 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  B  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )
7 eqid 2258 . . . . . . . 8  |-  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 )  =  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 )
8 eqid 2258 . . . . . . . 8  |-  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p ) ) ^
2 )  =  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 )
9 eqid 2258 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `  k )
)  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p ) ) ^
2 ) )  x.  ( A `  k
) ) )  / 
( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )
107, 8, 9axsegconlem8 23928 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  e.  ( EE `  N
) )
117, 8axsegconlem7 23927 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  e.  ( 0 [,] 1
) )
127, 8, 9axsegconlem10 23930 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( A `  i ) )  +  ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ) )
137, 8, 9axsegconlem9 23929 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( B `  i )  -  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `  k )
)  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p ) ) ^
2 ) )  x.  ( A `  k
) ) )  / 
( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) )
14 fveq1 5457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  -> 
( x `  i
)  =  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) )
1514oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  -> 
( t  x.  (
x `  i )
)  =  ( t  x.  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `  k )
)  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p ) ) ^
2 ) )  x.  ( A `  k
) ) )  / 
( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i
) ) )
1615oveq2d 5808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i
) )  +  ( t  x.  ( x `
 i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ) )
1716eqeq2d 2269 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  <-> 
( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ) ) )
1817ralbidv 2538 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  <->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i ) )  +  ( t  x.  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ) ) )
1914oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( B `  i )  -  (
x `  i )
)  =  ( ( B `  i )  -  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `  k )
)  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p ) ) ^
2 ) )  x.  ( A `  k
) ) )  / 
( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i
) ) )
2019oveq1d 5807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( B `  i
)  -  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ^
2 ) )
2120sumeq2sdv 12143 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ^
2 ) )
2221eqeq1d 2266 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  -> 
( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 )  <->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( B `  i )  -  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `  k )
)  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p ) ) ^
2 ) )  x.  ( A `  k
) ) )  / 
( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
2318, 22anbi12d 694 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) )  <->  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i ) )  +  ( t  x.  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 ) ) ) )
24 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  ->  (
1  -  t )  =  ( 1  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
2524oveq1d 5807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  =  ( ( 1  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( A `  i
) ) )
26 oveq1 5799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  ->  (
t  x.  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) )  =  ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) )
2725, 26oveq12d 5810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `  k )
)  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p ) ) ^
2 ) )  x.  ( A `  k
) ) )  / 
( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i
) ) )  =  ( ( ( 1  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( A `  i
) )  +  ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ) )
2827eqeq2d 2269 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) )  <-> 
( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  (
( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( A `  i ) )  +  ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ) ) )
2928ralbidv 2538 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i ) )  +  ( t  x.  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) )  <->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  / 
( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( A `  i
) )  +  ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ) ) )
3029anbi1d 688 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `  k )
)  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p ) ) ^
2 ) )  x.  ( A `  k
) ) )  / 
( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i
) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 ) )  <->  ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( A `  i ) )  +  ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 ) ) ) )
3123, 30rcla42ev 2867 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  e.  ( EE `  N
)  /\  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( A `  i ) )  +  ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) E. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
3210, 11, 12, 13, 31syl112anc 1191 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) E. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
333, 4, 5, 6, 32syl31anc 1190 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  B  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
3433ex 425 . . . 4  |-  ( A  =/=  B  ->  (
( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) ) )
352, 34pm2.61ine 2497 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) )
36 simpllr 738 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
37 simplll 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
38 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  x  e.  ( EE `  N ) )
39 brbtwn 23903 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  <->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) ) ) )
4036, 37, 38, 39syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( B  Btwn  <. A ,  x >. 
<->  E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) ) ) )
41 simplrl 739 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
42 simplrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
43 brcgr 23904 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( <. B ,  x >.Cgr
<. C ,  D >.  <->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) )
4436, 38, 41, 42, 43syl22anc 1188 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( <. B ,  x >.Cgr
<. C ,  D >.  <->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) )
4540, 44anbi12d 694 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. B ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  <-> 
( E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) ) )
46 r19.41v 2668 . . . . 5  |-  ( E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) )  <->  ( E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
4745, 46syl6bbr 256 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. B ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  <->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) ) )
4847rexbidva 2535 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( E. x  e.  ( EE `  N
) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. B ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  <->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) ) )
4935, 48mpbird 225 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. B ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )
50493adant1 978 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. B ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   A.wral 2518   E.wrex 2519   <.cop 3617   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   0cc0 8705   1c1 8706    + caddc 8708    x. cmul 8710    - cmin 9005    / cdiv 9391   NNcn 9714   2c2 9763   [,]cicc 10626   ...cfz 10749   ^cexp 11071   sqrcsqr 11684   sum_csu 12124   EEcee 23892    Btwn cbtwn 23893  Cgrccgr 23894
This theorem is referenced by:  cgrtriv  24001  segconeu  24010  btwntriv2  24011  btwnouttr2  24021  btwndiff  24026  ifscgr  24043  cgrxfr  24054  lineext  24075  btwnconn1lem13  24098  btwnconn1lem14  24099  segcon2  24104
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-n0 9934  df-z 9993  df-uz 10199  df-rp 10323  df-ico 10629  df-icc 10630  df-fz 10750  df-fzo 10838  df-seq 11014  df-exp 11072  df-hash 11305  df-cj 11550  df-re 11551  df-im 11552  df-sqr 11686  df-abs 11687  df-clim 11928  df-sum 12125  df-ee 23895  df-btwn 23896  df-cgr 23897
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