Theorem axsup 5519

Description: A non-empty, bounded-above set of reals has a supremum. Axiom 27 of 27 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates pre-axsup 5303 with ordering on the extended reals.)

Assertion

Ref	Expression
axsup	|- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y < x) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)))

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem axsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pre-axsup 5303	. . . 4 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <R x) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
2	1	3expia 837	. . 3 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/)) -> (E.x e. RR A.y e. A y <R x -> E.x e. RR (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
3		ltxrltt 5512	. . . . . . . 8 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> (y < x <-> y <R x))
4		ssel2 2067	. . . . . . . 8 |- ((A (_ RR /\ y e. A) -> y e. RR)
5	3, 4	sylan 450	. . . . . . 7 |- (((A (_ RR /\ y e. A) /\ x e. RR) -> (y < x <-> y <R x))
6	5	an1rs 491	. . . . . 6 |- (((A (_ RR /\ x e. RR) /\ y e. A) -> (y < x <-> y <R x))
7	6	ralbidva 1662	. . . . 5 |- ((A (_ RR /\ x e. RR) -> (A.y e. A y < x <-> A.y e. A y <R x))
8	7	rexbidva 1663	. . . 4 |- (A (_ RR -> (E.x e. RR A.y e. A y < x <-> E.x e. RR A.y e. A y <R x))
9	8	adantr 391	. . 3 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/)) -> (E.x e. RR A.y e. A y < x <-> E.x e. RR A.y e. A y <R x))
10		ltxrltt 5512	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (x < y <-> x <R y))
11	10	ancoms 438	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> (x < y <-> x <R y))
12	11, 4	sylan 450	. . . . . . . . 9 |- (((A (_ RR /\ y e. A) /\ x e. RR) -> (x < y <-> x <R y))
13	12	an1rs 491	. . . . . . . 8 |- (((A (_ RR /\ x e. RR) /\ y e. A) -> (x < y <-> x <R y))
14	13	negbid 613	. . . . . . 7 |- (((A (_ RR /\ x e. RR) /\ y e. A) -> (-. x < y <-> -. x <R y))
15	14	ralbidva 1662	. . . . . 6 |- ((A (_ RR /\ x e. RR) -> (A.y e. A -. x < y <-> A.y e. A -. x <R y))
16	3	ancoms 438	. . . . . . . . 9 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (y < x <-> y <R x))
17	16	adantll 394	. . . . . . . 8 |- (((A (_ RR /\ x e. RR) /\ y e. RR) -> (y < x <-> y <R x))
18		ltxrltt 5512	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. RR /\ z e. RR) -> (y < z <-> y <R z))
19	18	ancoms 438	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. RR /\ y e. RR) -> (y < z <-> y <R z))
20		ssel2 2067	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A (_ RR /\ z e. A) -> z e. RR)
21	19, 20	sylan 450	. . . . . . . . . . 11 |- (((A (_ RR /\ z e. A) /\ y e. RR) -> (y < z <-> y <R z))
22	21	an1rs 491	. . . . . . . . . 10 |- (((A (_ RR /\ y e. RR) /\ z e. A) -> (y < z <-> y <R z))
23	22	rexbidva 1663	. . . . . . . . 9 |- ((A (_ RR /\ y e. RR) -> (E.z e. A y < z <-> E.z e. A y <R z))
24	23	adantlr 395	. . . . . . . 8 |- (((A (_ RR /\ x e. RR) /\ y e. RR) -> (E.z e. A y < z <-> E.z e. A y <R z))
25	17, 24	imbi12d 628	. . . . . . 7 |- (((A (_ RR /\ x e. RR) /\ y e. RR) -> ((y < x -> E.z e. A y < z) <-> (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
26	25	ralbidva 1662	. . . . . 6 |- ((A (_ RR /\ x e. RR) -> (A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z) <-> A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
27	15, 26	anbi12d 630	. . . . 5 |- ((A (_ RR /\ x e. RR) -> ((A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) <-> (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
28	27	rexbidva 1663	. . . 4 |- (A (_ RR -> (E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) <-> E.x e. RR (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
29	28	adantr 391	. . 3 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/)) -> (E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) <-> E.x e. RR (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
30	2, 9, 29	3imtr4d 545	. 2 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/)) -> (E.x e. RR A.y e. A y < x -> E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))))
31	30	3impia 832	1 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y < x) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   e. wcel 960   =/= wne 1588  A.wral 1648  E.wrex 1649   (_ wss 2050  (/)c0 2283   class class class wbr 2624  RRcr 5245   <R cltrr 5250   < clt 5498

This theorem is referenced by:  sup2 6053  sqrlem7 6680  sqrlem8 6681  sqrlem13 6686  sqrlem18 6691

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-r 5256  df-lt 5259  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502

Copyright terms: Public domain