Theorem axsup 5430

Description: A non-empty, bounded-above set of reals has a supremum. Axiom 27 of 27 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates pre-axsup 5214 with ordering on the extended reals.)

Assertion

Ref	Expression
axsup	|- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y < x) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)))

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem axsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pre-axsup 5214	. . . 4 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <R x) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
2	1	3expia 832	. . 3 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/)) -> (E.x e. RR A.y e. A y <R x -> E.x e. RR (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
3		ltxrltt 5423	. . . . . . . 8 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> (y < x <-> y <R x))
4		ssel2 2035	. . . . . . . 8 |- ((A (_ RR /\ y e. A) -> y e. RR)
5	3, 4	sylan 448	. . . . . . 7 |- (((A (_ RR /\ y e. A) /\ x e. RR) -> (y < x <-> y <R x))
6	5	an1rs 488	. . . . . 6 |- (((A (_ RR /\ x e. RR) /\ y e. A) -> (y < x <-> y <R x))
7	6	ralbidva 1635	. . . . 5 |- ((A (_ RR /\ x e. RR) -> (A.y e. A y < x <-> A.y e. A y <R x))
8	7	rexbidva 1636	. . . 4 |- (A (_ RR -> (E.x e. RR A.y e. A y < x <-> E.x e. RR A.y e. A y <R x))
9	8	adantr 389	. . 3 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/)) -> (E.x e. RR A.y e. A y < x <-> E.x e. RR A.y e. A y <R x))
10		ltxrltt 5423	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (x < y <-> x <R y))
11	10	ancoms 436	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> (x < y <-> x <R y))
12	11, 4	sylan 448	. . . . . . . . 9 |- (((A (_ RR /\ y e. A) /\ x e. RR) -> (x < y <-> x <R y))
13	12	an1rs 488	. . . . . . . 8 |- (((A (_ RR /\ x e. RR) /\ y e. A) -> (x < y <-> x <R y))
14	13	negbid 609	. . . . . . 7 |- (((A (_ RR /\ x e. RR) /\ y e. A) -> (-. x < y <-> -. x <R y))
15	14	ralbidva 1635	. . . . . 6 |- ((A (_ RR /\ x e. RR) -> (A.y e. A -. x < y <-> A.y e. A -. x <R y))
16	3	ancoms 436	. . . . . . . . 9 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (y < x <-> y <R x))
17	16	adantll 392	. . . . . . . 8 |- (((A (_ RR /\ x e. RR) /\ y e. RR) -> (y < x <-> y <R x))
18		ltxrltt 5423	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. RR /\ z e. RR) -> (y < z <-> y <R z))
19	18	ancoms 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. RR /\ y e. RR) -> (y < z <-> y <R z))
20		ssel2 2035	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A (_ RR /\ z e. A) -> z e. RR)
21	19, 20	sylan 448	. . . . . . . . . . 11 |- (((A (_ RR /\ z e. A) /\ y e. RR) -> (y < z <-> y <R z))
22	21	an1rs 488	. . . . . . . . . 10 |- (((A (_ RR /\ y e. RR) /\ z e. A) -> (y < z <-> y <R z))
23	22	rexbidva 1636	. . . . . . . . 9 |- ((A (_ RR /\ y e. RR) -> (E.z e. A y < z <-> E.z e. A y <R z))
24	23	adantlr 393	. . . . . . . 8 |- (((A (_ RR /\ x e. RR) /\ y e. RR) -> (E.z e. A y < z <-> E.z e. A y <R z))
25	17, 24	imbi12d 624	. . . . . . 7 |- (((A (_ RR /\ x e. RR) /\ y e. RR) -> ((y < x -> E.z e. A y < z) <-> (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
26	25	ralbidva 1635	. . . . . 6 |- ((A (_ RR /\ x e. RR) -> (A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z) <-> A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
27	15, 26	anbi12d 626	. . . . 5 |- ((A (_ RR /\ x e. RR) -> ((A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) <-> (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
28	27	rexbidva 1636	. . . 4 |- (A (_ RR -> (E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) <-> E.x e. RR (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
29	28	adantr 389	. . 3 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/)) -> (E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) <-> E.x e. RR (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
30	2, 9, 29	3imtr4d 541	. 2 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/)) -> (E.x e. RR A.y e. A y < x -> E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))))
31	30	3impia 827	1 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y < x) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 772   e. wcel 1105   =/= wne 1561  A.wral 1621  E.wrex 1622   (_ wss 2018  (/)c0 2251   class class class wbr 2587  RRcr 5156   <R cltrr 5161   < clt 5409

This theorem is referenced by:  sup2 5949  sqrlem7 6560  sqrlem8 6561  sqrlem13 6566  sqrlem18 6571

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-nel 1564  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-en 4305  df-dom 4306  df-sdom 4307  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-ltr 5093  df-0r 5094  df-1r 5095  df-m1r 5096  df-c 5163  df-r 5167  df-lt 5170  df-pnf 5410  df-mnf 5411  df-xr 5412  df-ltxr 5413

Copyright terms: Public domain