MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axsup Unicode version

Theorem axsup 8866
Description: A non-empty, bounded-above set of reals has a supremum. Axiom 22 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates ax-pre-sup 8783 with ordering on the extended reals.) (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
axsup  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem axsup
StepHypRef Expression
1 ax-pre-sup 8783 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <RR  x )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) )
213expia 1158 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y 
<RR  x  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) ) )
3 ssel2 3150 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
4 ltxrlt 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <  x  <->  y 
<RR  x ) )
53, 4sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  < 
x  <->  y  <RR  x ) )
65an32s 782 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  <  x  <->  y  <RR  x ) )
76ralbidva 2534 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  A  y  <  x  <->  A. y  e.  A  y  <RR  x ) )
87rexbidva 2535 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y 
<RR  x ) )
98adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <RR  x ) )
10 ltxrlt 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <  y  <->  x 
<RR  y ) )
1110ancoms 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  y  <->  x 
<RR  y ) )
123, 11sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  < 
y  <->  x  <RR  y ) )
1312an32s 782 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( x  <  y  <->  x  <RR  y ) )
1413notbid 287 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  x  <RR  y ) )
1514ralbidva 2534 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  x  <RR  y ) )
164ancoms 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  <  x  <->  y 
<RR  x ) )
1716adantll 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  < 
x  <->  y  <RR  x ) )
18 ssel2 3150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
19 ltxrlt 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y  <  z  <->  y 
<RR  z ) )
2019ancoms 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  <  z  <->  y 
<RR  z ) )
2118, 20sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  < 
z  <->  y  <RR  z ) )
2221an32s 782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( y  <  z  <->  y  <RR  z ) )
2322rexbidva 2535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  y  <  z  <->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) )
2423adantlr 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  y  <  z  <->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) )
2517, 24imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) )
2625ralbidva 2534 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  RR  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  A. y  e.  RR  ( y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) )
2715, 26anbi12d 694 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) ) )
2827rexbidva 2535 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) ) )
2928adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) ) )
302, 9, 293imtr4d 261 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
31303impia 1153 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    e. wcel 1621    =/= wne 2421   A.wral 2518   E.wrex 2519    C_ wss 3127   (/)c0 3430   class class class wbr 3997   RRcr 8704    <RR cltrr 8709    < clt 8835
This theorem is referenced by:  sup2  9678  dedekind  23453
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-resscn 8762  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-ltxr 8840
  Copyright terms: Public domain W3C validator