MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axsup Structured version   Unicode version

Theorem axsup 9153
Description: A non-empty, bounded-above set of reals has a supremum. Axiom 22 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates ax-pre-sup 9070 with ordering on the extended reals.) (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
axsup  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem axsup
StepHypRef Expression
1 ax-pre-sup 9070 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <RR  x )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) )
213expia 1156 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y 
<RR  x  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) ) )
3 ssel2 3345 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
4 ltxrlt 9148 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <  x  <->  y 
<RR  x ) )
53, 4sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  < 
x  <->  y  <RR  x ) )
65an32s 781 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  <  x  <->  y  <RR  x ) )
76ralbidva 2723 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  A  y  <  x  <->  A. y  e.  A  y  <RR  x ) )
87rexbidva 2724 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y 
<RR  x ) )
98adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <RR  x ) )
10 ltxrlt 9148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <  y  <->  x 
<RR  y ) )
1110ancoms 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  y  <->  x 
<RR  y ) )
123, 11sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  < 
y  <->  x  <RR  y ) )
1312an32s 781 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( x  <  y  <->  x  <RR  y ) )
1413notbid 287 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  x  <RR  y ) )
1514ralbidva 2723 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  x  <RR  y ) )
164ancoms 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  <  x  <->  y 
<RR  x ) )
1716adantll 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  < 
x  <->  y  <RR  x ) )
18 ssel2 3345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
19 ltxrlt 9148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y  <  z  <->  y 
<RR  z ) )
2019ancoms 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  <  z  <->  y 
<RR  z ) )
2118, 20sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  < 
z  <->  y  <RR  z ) )
2221an32s 781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( y  <  z  <->  y  <RR  z ) )
2322rexbidva 2724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  y  <  z  <->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) )
2423adantlr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  y  <  z  <->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) )
2517, 24imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) )
2625ralbidva 2723 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  RR  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  A. y  e.  RR  ( y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) )
2715, 26anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) ) )
2827rexbidva 2724 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) ) )
2928adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) ) )
302, 9, 293imtr4d 261 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
31303impia 1151 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4214   RRcr 8991    <RR cltrr 8996    < clt 9122
This theorem is referenced by:  sup2  9966  dedekind  25189
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-ltxr 9127
  Copyright terms: Public domain W3C validator