Theorem axunndlem1 4919

Description: Lemma for the Axiom of Union with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axunndlem1	|- E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)

Distinct variable groups:   x,y   x,z

Proof of Theorem axunndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbae 1141	. . . . . 6 |- (A.y y = z -> A.xA.y y = z)
2		en2lp 4574	. . . . . . . 8 |- -. (y e. x /\ x e. y)
3		elequ2 1133	. . . . . . . . 9 |- (y = z -> (x e. y <-> x e. z))
4	3	anbi2d 614	. . . . . . . 8 |- (y = z -> ((y e. x /\ x e. y) <-> (y e. x /\ x e. z)))
5	2, 4	mtbii 714	. . . . . . 7 |- (y = z -> -. (y e. x /\ x e. z))
6	5	a4s 981	. . . . . 6 |- (A.y y = z -> -. (y e. x /\ x e. z))
7	1, 6	nexd 1098	. . . . 5 |- (A.y y = z -> -. E.x(y e. x /\ x e. z))
8	7	pm2.21d 78	. . . 4 |- (A.y y = z -> (E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
9	8	a5i 986	. . 3 |- (A.y y = z -> A.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
10		19.8a 1025	. . 3 |- (A.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x) -> E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
11	9, 10	syl 10	. 2 |- (A.y y = z -> E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
12		axun 2858	. . 3 |- E.xA.w(E.x(w e. x /\ x e. z) -> w e. x)
13		hbnae 1143	. . . 4 |- (-. A.y y = z -> A.x -. A.y y = z)
14		hbnae 1143	. . . . 5 |- (-. A.y y = z -> A.y -. A.y y = z)
15		ax-17 968	. . . . . . . . 9 |- (w e. x -> A.y w e. x)
16	15	a1i 8	. . . . . . . 8 |- (-. A.y y = z -> (w e. x -> A.y w e. x))
17		dveel2 1350	. . . . . . . 8 |- (-. A.y y = z -> (x e. z -> A.y x e. z))
18	16, 17	hband 1107	. . . . . . 7 |- (-. A.y y = z -> ((w e. x /\ x e. z) -> A.y(w e. x /\ x e. z)))
19	13, 18	hbexd 1110	. . . . . 6 |- (-. A.y y = z -> (E.x(w e. x /\ x e. z) -> A.yE.x(w e. x /\ x e. z)))
20	14, 19, 16	hbimd 1106	. . . . 5 |- (-. A.y y = z -> ((E.x(w e. x /\ x e. z) -> w e. x) -> A.y(E.x(w e. x /\ x e. z) -> w e. x)))
21		elequ1 1132	. . . . . . . . 9 |- (w = y -> (w e. x <-> y e. x))
22	21	anbi1d 615	. . . . . . . 8 |- (w = y -> ((w e. x /\ x e. z) <-> (y e. x /\ x e. z)))
23	22	exbidv 1274	. . . . . . 7 |- (w = y -> (E.x(w e. x /\ x e. z) <-> E.x(y e. x /\ x e. z)))
24	23, 21	imbi12d 624	. . . . . 6 |- (w = y -> ((E.x(w e. x /\ x e. z) -> w e. x) <-> (E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)))
25	24	a1i 8	. . . . 5 |- (-. A.y y = z -> (w = y -> ((E.x(w e. x /\ x e. z) -> w e. x) <-> (E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))))
26	14, 20, 25	cbvald 1315	. . . 4 |- (-. A.y y = z -> (A.w(E.x(w e. x /\ x e. z) -> w e. x) <-> A.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)))
27	13, 26	exbid 1101	. . 3 |- (-. A.y y = z -> (E.xA.w(E.x(w e. x /\ x e. z) -> w e. x) <-> E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)))
28	12, 27	mpbii 193	. 2 |- (-. A.y y = z -> E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
29	11, 28	pm2.61i 126	1 |- E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977

This theorem is referenced by:  axunnd 4920

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-br 2610  df-opab 2657  df-eprel 2821  df-fr 2907

Copyright terms: Public domain