Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem3 Unicode version

Theorem baerlem3 32200
Description: An equality that holds when  X,  Y,  Z are independent (non-colinear) vectors. Part (3) in [Baer] p. 45. TODO fix ref. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
Assertion
Ref Expression
baerlem3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem3
StepHypRef Expression
1 baerlem3.v . 2  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 baerlem3.m . 2  |-  .-  =  ( -g `  W )
3 baerlem3.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4 baerlem3.s . 2  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
5 baerlem3.n . 2  |-  N  =  ( LSpan `  W )
6 baerlem3.w . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
7 baerlem3.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
8 baerlem3.c . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
9 baerlem3.d . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
10 baerlem3.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
11 baerlem3.z . 2  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
12 eqid 2408 . 2  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
13 eqid 2408 . 2  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
14 eqid 2408 . 2  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
15 eqid 2408 . 2  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
16 eqid 2408 . 2  |-  ( +g  `  (Scalar `  W )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  W )
)
17 eqid 2408 . 2  |-  ( -g `  (Scalar `  W )
)  =  ( -g `  (Scalar `  W )
)
18 eqid 2408 . 2  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
19 eqid 2408 . 2  |-  ( inv g `  (Scalar `  W ) )  =  ( inv g `  (Scalar `  W ) )
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19baerlem3lem2 32197 1  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571    \ cdif 3281    i^i cin 3283   {csn 3778   {cpr 3779   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   Basecbs 13428   +g cplusg 13488  Scalarcsca 13491   .scvsca 13492   0gc0g 13682   inv gcminusg 14645   -gcsg 14647   LSSumclsm 15227   LSpanclspn 16006   LVecclvec 16133
This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  32218
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6442  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-0g 13686  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-sbg 14773  df-subg 14900  df-cntz 15075  df-lsm 15229  df-cmn 15373  df-abl 15374  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-ur 15624  df-oppr 15687  df-dvdsr 15705  df-unit 15706  df-invr 15736  df-drng 15796  df-lmod 15911  df-lss 15968  df-lsp 16007  df-lvec 16134
  Copyright terms: Public domain W3C validator