Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem3 Structured version   Unicode version

Theorem baerlem3 32448
Description: An equality that holds when  X,  Y,  Z are independent (non-colinear) vectors. Part (3) in [Baer] p. 45. TODO fix ref. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
Assertion
Ref Expression
baerlem3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem3
StepHypRef Expression
1 baerlem3.v . 2  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 baerlem3.m . 2  |-  .-  =  ( -g `  W )
3 baerlem3.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4 baerlem3.s . 2  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
5 baerlem3.n . 2  |-  N  =  ( LSpan `  W )
6 baerlem3.w . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
7 baerlem3.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
8 baerlem3.c . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
9 baerlem3.d . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
10 baerlem3.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
11 baerlem3.z . 2  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
12 eqid 2435 . 2  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
13 eqid 2435 . 2  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
14 eqid 2435 . 2  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
15 eqid 2435 . 2  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
16 eqid 2435 . 2  |-  ( +g  `  (Scalar `  W )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  W )
)
17 eqid 2435 . 2  |-  ( -g `  (Scalar `  W )
)  =  ( -g `  (Scalar `  W )
)
18 eqid 2435 . 2  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
19 eqid 2435 . 2  |-  ( inv g `  (Scalar `  W ) )  =  ( inv g `  (Scalar `  W ) )
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19baerlem3lem2 32445 1  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    \ cdif 3309    i^i cin 3311   {csn 3806   {cpr 3807   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   +g cplusg 13521  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   0gc0g 13715   inv gcminusg 14678   -gcsg 14680   LSSumclsm 15260   LSpanclspn 16039   LVecclvec 16166
This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  32466
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-cntz 15108  df-lsm 15262  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-drng 15829  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-lvec 16167
  Copyright terms: Public domain W3C validator