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Theorem baerlem5abmN 31187
Description: An equality that holds when  X,  Y,  Z are independent (non-colinear) vectors. Subtraction versions of first and second equations of part (5) in [Baer] p. 46, conjoined to share commonality in their proofs. TODO: Delete if not be needed. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem5a.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
Assertion
Ref Expression
baerlem5abmN  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .+  Z ) } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )  /\  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem5abmN
StepHypRef Expression
1 baerlem3.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
2 eldifi 3299 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  e.  V )
31, 2syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
4 baerlem3.z . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
5 eldifi 3299 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Z  e.  V )
64, 5syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
7 baerlem3.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 baerlem5a.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  W )
9 eqid 2284 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  W )  =  ( inv g `  W )
10 baerlem3.m . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  W )
117, 8, 9, 10grpsubval 14521 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .-  Z
)  =  ( Y 
.+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) )
123, 6, 11syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  Z
)  =  ( Y 
.+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) )
1312oveq2d 5836 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .-  Z ) )  =  ( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W
) `  Z )
) ) )
1413sneqd 3654 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) }  =  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) ) } )
1514fveq2d 5490 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( N `  { ( X  .-  ( Y 
.+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) ) } ) )
16 baerlem3.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
17 baerlem3.s . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
18 baerlem3.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
19 baerlem3.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
20 baerlem3.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
21 lveclmod 15855 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
2219, 21syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
237, 9lmodvnegcl 15661 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  (
( inv g `  W ) `  Z
)  e.  V )
2422, 6, 23syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  W ) `  Z
)  e.  V )
25 eqid 2284 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
267, 25, 18, 22, 3, 6lspprcl 15731 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
27 baerlem3.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
287, 16, 25, 22, 26, 20, 27lssneln0 15705 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
297, 18, 19, 20, 3, 6, 27lspindpi 15881 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
3029simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
317, 16, 18, 19, 28, 3, 30lspsnne1 15866 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y } ) )
32 baerlem3.d . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
3332necomd 2530 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
347, 16, 18, 19, 4, 3, 33lspsnne1 15866 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { Y } ) )
357, 18, 19, 20, 6, 3, 34, 27lspexchn2 15880 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
36 lmodgrp 15630 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
3719, 21, 363syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
3837adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  W  e.  Grp )
396adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  Z  e.  V )
407, 9grpinvinv 14531 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Z  e.  V )  ->  ( ( inv g `  W ) `  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  =  Z )
4138, 39, 40syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  (
( inv g `  W ) `  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  =  Z )
4222adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  W  e.  LMod )
437, 25, 18, 22, 3, 20lspprcl 15731 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  X }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
4443adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  ( N `  { Y ,  X } )  e.  ( LSubSp `  W )
)
45 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  (
( inv g `  W ) `  Z
)  e.  ( N `
 { Y ,  X } ) )
4625, 9lssvnegcl 15709 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { Y ,  X } )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( ( inv g `  W ) `  Z
)  e.  ( N `
 { Y ,  X } ) )  -> 
( ( inv g `  W ) `  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
4742, 44, 45, 46syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  (
( inv g `  W ) `  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
4841, 47eqeltrrd 2359 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  Z  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )
4935, 48mtand 640 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )
507, 18, 19, 24, 20, 3, 31, 49lspexchn2 15880 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) } ) )
517, 9, 18lspsnneg 15759 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { (
( inv g `  W ) `  Z
) } )  =  ( N `  { Z } ) )
5222, 6, 51syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( inv g `  W ) `  Z
) } )  =  ( N `  { Z } ) )
5332, 52neeqtrrd 2471 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { (
( inv g `  W ) `  Z
) } ) )
547, 16, 9grpinvnzcl 14536 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
5537, 4, 54syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  W ) `  Z
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
567, 10, 16, 17, 18, 19, 20, 50, 53, 1, 55, 8baerlem5a 31183 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) ) } )  =  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `
 Z ) } ) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  (
( inv g `  W ) `  Z
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
5752oveq2d 5836 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `
 Z ) } ) )  =  ( ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
587, 8, 10, 9, 37, 20, 6grpsubinv 14537 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .-  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  =  ( X  .+  Z ) )
5958sneqd 3654 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( X  .-  ( ( inv g `  W ) `  Z
) ) }  =  { ( X  .+  Z ) } )
6059fveq2d 5490 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  (
( inv g `  W ) `  Z
) ) } )  =  ( N `  { ( X  .+  Z ) } ) )
6160oveq1d 5835 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( ( inv g `  W ) `  Z
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) )  =  ( ( N `
 { ( X 
.+  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) )
6257, 61ineq12d 3372 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `
 Z ) } ) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  (
( inv g `  W ) `  Z
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) ) )  =  ( ( ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .+  Z ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
6315, 56, 623eqtrd 2320 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.+  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
6412sneqd 3654 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( Y  .-  Z ) }  =  { ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `  Z
) ) } )
6564fveq2d 5490 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( N `  {
( Y  .+  (
( inv g `  W ) `  Z
) ) } ) )
667, 10, 16, 17, 18, 19, 20, 50, 53, 1, 55, 8baerlem5b 31184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  (
( inv g `  W ) `  Z
) ) } )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { ( ( inv g `  W
) `  Z ) } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W
) `  Z )
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
6752oveq2d 5836 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `  Z
) } ) )  =  ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
6812eqcomd 2289 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  =  ( Y  .-  Z ) )
6968oveq2d 5836 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) )  =  ( X 
.-  ( Y  .-  Z ) ) )
7069sneqd 3654 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W
) `  Z )
) ) }  =  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )
7170fveq2d 5490 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) ) } )  =  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } ) )
7271oveq1d 5835 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W
) `  Z )
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { X } ) )  =  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )
7367, 72ineq12d 3372 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `
 Z ) } ) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `
 { X }
) ) ) )
7465, 66, 733eqtrd 2320 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
7563, 74jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .+  Z ) } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )  /\  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685    =/= wne 2447    \ cdif 3150    i^i cin 3152   {csn 3641   {cpr 3642   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   Basecbs 13144   +g cplusg 13204   0gc0g 13396   Grpcgrp 14358   inv gcminusg 14359   -gcsg 14361   LSSumclsm 14941   LModclmod 15623   LSubSpclss 15685   LSpanclspn 15724   LVecclvec 15851
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-tpos 6196  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-0g 13400  df-mnd 14363  df-submnd 14412  df-grp 14485  df-minusg 14486  df-sbg 14487  df-subg 14614  df-cntz 14789  df-lsm 14943  df-cmn 15087  df-abl 15088  df-mgp 15322  df-rng 15336  df-ur 15338  df-oppr 15401  df-dvdsr 15419  df-unit 15420  df-invr 15450  df-drng 15510  df-lmod 15625  df-lss 15686  df-lsp 15725  df-lvec 15852
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