Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem5abmN Unicode version

Theorem baerlem5abmN 31981
Description: An equality that holds when  X,  Y,  Z are independent (non-colinear) vectors. Subtraction versions of first and second equations of part (5) in [Baer] p. 46, conjoined to share commonality in their proofs. TODO: Delete if not be needed. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem5a.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
Assertion
Ref Expression
baerlem5abmN  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .+  Z ) } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )  /\  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem5abmN
StepHypRef Expression
1 baerlem3.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
2 eldifi 3300 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  e.  V )
31, 2syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
4 baerlem3.z . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
5 eldifi 3300 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Z  e.  V )
64, 5syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
7 baerlem3.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 baerlem5a.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  W )
9 eqid 2285 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  W )  =  ( inv g `  W )
10 baerlem3.m . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  W )
117, 8, 9, 10grpsubval 14527 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .-  Z
)  =  ( Y 
.+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) )
123, 6, 11syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  Z
)  =  ( Y 
.+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) )
1312oveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .-  Z ) )  =  ( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W
) `  Z )
) ) )
1413sneqd 3655 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) }  =  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) ) } )
1514fveq2d 5531 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( N `  { ( X  .-  ( Y 
.+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) ) } ) )
16 baerlem3.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
17 baerlem3.s . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
18 baerlem3.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
19 baerlem3.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
20 baerlem3.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
21 lveclmod 15861 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
2219, 21syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
237, 9lmodvnegcl 15667 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  (
( inv g `  W ) `  Z
)  e.  V )
2422, 6, 23syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  W ) `  Z
)  e.  V )
25 eqid 2285 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
267, 25, 18, 22, 3, 6lspprcl 15737 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
27 baerlem3.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
287, 16, 25, 22, 26, 20, 27lssneln0 15711 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
297, 18, 19, 20, 3, 6, 27lspindpi 15887 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
3029simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
317, 16, 18, 19, 28, 3, 30lspsnne1 15872 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y } ) )
32 baerlem3.d . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
3332necomd 2531 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
347, 16, 18, 19, 4, 3, 33lspsnne1 15872 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { Y } ) )
357, 18, 19, 20, 6, 3, 34, 27lspexchn2 15886 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
36 lmodgrp 15636 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
3719, 21, 363syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
3837adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  W  e.  Grp )
396adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  Z  e.  V )
407, 9grpinvinv 14537 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Z  e.  V )  ->  ( ( inv g `  W ) `  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  =  Z )
4138, 39, 40syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  (
( inv g `  W ) `  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  =  Z )
4222adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  W  e.  LMod )
437, 25, 18, 22, 3, 20lspprcl 15737 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  X }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
4443adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  ( N `  { Y ,  X } )  e.  ( LSubSp `  W )
)
45 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  (
( inv g `  W ) `  Z
)  e.  ( N `
 { Y ,  X } ) )
4625, 9lssvnegcl 15715 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { Y ,  X } )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( ( inv g `  W ) `  Z
)  e.  ( N `
 { Y ,  X } ) )  -> 
( ( inv g `  W ) `  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
4742, 44, 45, 46syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  (
( inv g `  W ) `  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
4841, 47eqeltrrd 2360 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  Z  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )
4935, 48mtand 640 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )
507, 18, 19, 24, 20, 3, 31, 49lspexchn2 15886 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) } ) )
517, 9, 18lspsnneg 15765 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { (
( inv g `  W ) `  Z
) } )  =  ( N `  { Z } ) )
5222, 6, 51syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( inv g `  W ) `  Z
) } )  =  ( N `  { Z } ) )
5332, 52neeqtrrd 2472 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { (
( inv g `  W ) `  Z
) } ) )
547, 16, 9grpinvnzcl 14542 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
5537, 4, 54syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  W ) `  Z
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
567, 10, 16, 17, 18, 19, 20, 50, 53, 1, 55, 8baerlem5a 31977 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) ) } )  =  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `
 Z ) } ) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  (
( inv g `  W ) `  Z
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
5752oveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `
 Z ) } ) )  =  ( ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
587, 8, 10, 9, 37, 20, 6grpsubinv 14543 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .-  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  =  ( X  .+  Z ) )
5958sneqd 3655 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( X  .-  ( ( inv g `  W ) `  Z
) ) }  =  { ( X  .+  Z ) } )
6059fveq2d 5531 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  (
( inv g `  W ) `  Z
) ) } )  =  ( N `  { ( X  .+  Z ) } ) )
6160oveq1d 5875 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( ( inv g `  W ) `  Z
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) )  =  ( ( N `
 { ( X 
.+  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) )
6257, 61ineq12d 3373 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `
 Z ) } ) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  (
( inv g `  W ) `  Z
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) ) )  =  ( ( ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .+  Z ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
6315, 56, 623eqtrd 2321 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.+  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
6412sneqd 3655 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( Y  .-  Z ) }  =  { ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `  Z
) ) } )
6564fveq2d 5531 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( N `  {
( Y  .+  (
( inv g `  W ) `  Z
) ) } ) )
667, 10, 16, 17, 18, 19, 20, 50, 53, 1, 55, 8baerlem5b 31978 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  (
( inv g `  W ) `  Z
) ) } )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { ( ( inv g `  W
) `  Z ) } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W
) `  Z )
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
6752oveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `  Z
) } ) )  =  ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
6812eqcomd 2290 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  =  ( Y  .-  Z ) )
6968oveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) )  =  ( X 
.-  ( Y  .-  Z ) ) )
7069sneqd 3655 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W
) `  Z )
) ) }  =  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )
7170fveq2d 5531 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) ) } )  =  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } ) )
7271oveq1d 5875 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W
) `  Z )
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { X } ) )  =  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )
7367, 72ineq12d 3373 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `
 Z ) } ) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `
 { X }
) ) ) )
7465, 66, 733eqtrd 2321 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
7563, 74jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .+  Z ) } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )  /\  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448    \ cdif 3151    i^i cin 3153   {csn 3642   {cpr 3643   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   Basecbs 13150   +g cplusg 13210   0gc0g 13402   Grpcgrp 14364   inv gcminusg 14365   -gcsg 14367   LSSumclsm 14947   LModclmod 15629   LSubSpclss 15691   LSpanclspn 15730   LVecclvec 15857
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-tpos 6236  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-0g 13406  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-grp 14491  df-minusg 14492  df-sbg 14493  df-subg 14620  df-cntz 14795  df-lsm 14949  df-cmn 15093  df-abl 15094  df-mgp 15328  df-rng 15342  df-ur 15344  df-oppr 15407  df-dvdsr 15425  df-unit 15426  df-invr 15456  df-drng 15516  df-lmod 15631  df-lss 15692  df-lsp 15731  df-lvec 15858
  Copyright terms: Public domain W3C validator