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Theorem baerlem5abmN 31158
Description: An equality that holds when  X,  Y,  Z are independent (non-colinear) vectors. Subtraction versions of first and second equations of part (5) in [Baer] p. 46, conjoined to share commonality in their proofs. TODO: Delete if not be needed. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem5a.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
Assertion
Ref Expression
baerlem5abmN  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .+  Z ) } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )  /\  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem5abmN
StepHypRef Expression
1 baerlem3.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
2 eldifi 3273 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  e.  V )
31, 2syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
4 baerlem3.z . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
5 eldifi 3273 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Z  e.  V )
64, 5syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
7 baerlem3.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 baerlem5a.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  W )
9 eqid 2258 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  W )  =  ( inv g `  W )
10 baerlem3.m . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  W )
117, 8, 9, 10grpsubval 14488 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .-  Z
)  =  ( Y 
.+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) )
123, 6, 11syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  Z
)  =  ( Y 
.+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) )
1312oveq2d 5808 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .-  Z ) )  =  ( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W
) `  Z )
) ) )
1413sneqd 3627 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) }  =  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) ) } )
1514fveq2d 5462 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( N `  { ( X  .-  ( Y 
.+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) ) } ) )
16 baerlem3.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
17 baerlem3.s . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
18 baerlem3.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
19 baerlem3.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
20 baerlem3.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
21 lveclmod 15822 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
2219, 21syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
237, 9lmodvnegcl 15628 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  (
( inv g `  W ) `  Z
)  e.  V )
2422, 6, 23syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  W ) `  Z
)  e.  V )
25 eqid 2258 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
267, 25, 18, 22, 3, 6lspprcl 15698 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
27 baerlem3.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
287, 16, 25, 22, 26, 20, 27lssneln0 15672 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
297, 18, 19, 20, 3, 6, 27lspindpi 15848 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
3029simpld 447 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
317, 16, 18, 19, 28, 3, 30lspsnne1 15833 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y } ) )
32 baerlem3.d . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
3332necomd 2504 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
347, 16, 18, 19, 4, 3, 33lspsnne1 15833 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { Y } ) )
357, 18, 19, 20, 6, 3, 34, 27lspexchn2 15847 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
36 lmodgrp 15597 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
3719, 21, 363syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
3837adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  W  e.  Grp )
396adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  Z  e.  V )
407, 9grpinvinv 14498 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Z  e.  V )  ->  ( ( inv g `  W ) `  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  =  Z )
4138, 39, 40syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  (
( inv g `  W ) `  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  =  Z )
4222adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  W  e.  LMod )
437, 25, 18, 22, 3, 20lspprcl 15698 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  X }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
4443adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  ( N `  { Y ,  X } )  e.  ( LSubSp `  W )
)
45 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  (
( inv g `  W ) `  Z
)  e.  ( N `
 { Y ,  X } ) )
4625, 9lssvnegcl 15676 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { Y ,  X } )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( ( inv g `  W ) `  Z
)  e.  ( N `
 { Y ,  X } ) )  -> 
( ( inv g `  W ) `  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
4742, 44, 45, 46syl3anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  (
( inv g `  W ) `  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
4841, 47eqeltrrd 2333 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  Z  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )
4935, 48mtand 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )
507, 18, 19, 24, 20, 3, 31, 49lspexchn2 15847 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) } ) )
517, 9, 18lspsnneg 15726 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { (
( inv g `  W ) `  Z
) } )  =  ( N `  { Z } ) )
5222, 6, 51syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( inv g `  W ) `  Z
) } )  =  ( N `  { Z } ) )
5332, 52neeqtrrd 2445 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { (
( inv g `  W ) `  Z
) } ) )
547, 16, 9grpinvnzcl 14503 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
5537, 4, 54syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  W ) `  Z
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
567, 10, 16, 17, 18, 19, 20, 50, 53, 1, 55, 8baerlem5a 31154 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) ) } )  =  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `
 Z ) } ) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  (
( inv g `  W ) `  Z
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
5752oveq2d 5808 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `
 Z ) } ) )  =  ( ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
587, 8, 10, 9, 37, 20, 6grpsubinv 14504 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .-  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  =  ( X  .+  Z ) )
5958sneqd 3627 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( X  .-  ( ( inv g `  W ) `  Z
) ) }  =  { ( X  .+  Z ) } )
6059fveq2d 5462 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  (
( inv g `  W ) `  Z
) ) } )  =  ( N `  { ( X  .+  Z ) } ) )
6160oveq1d 5807 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( ( inv g `  W ) `  Z
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) )  =  ( ( N `
 { ( X 
.+  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) )
6257, 61ineq12d 3346 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `
 Z ) } ) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  (
( inv g `  W ) `  Z
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) ) )  =  ( ( ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .+  Z ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
6315, 56, 623eqtrd 2294 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.+  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
6412sneqd 3627 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( Y  .-  Z ) }  =  { ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `  Z
) ) } )
6564fveq2d 5462 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( N `  {
( Y  .+  (
( inv g `  W ) `  Z
) ) } ) )
667, 10, 16, 17, 18, 19, 20, 50, 53, 1, 55, 8baerlem5b 31155 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  (
( inv g `  W ) `  Z
) ) } )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { ( ( inv g `  W
) `  Z ) } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W
) `  Z )
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
6752oveq2d 5808 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `  Z
) } ) )  =  ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
6812eqcomd 2263 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  =  ( Y  .-  Z ) )
6968oveq2d 5808 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) )  =  ( X 
.-  ( Y  .-  Z ) ) )
7069sneqd 3627 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W
) `  Z )
) ) }  =  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )
7170fveq2d 5462 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) ) } )  =  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } ) )
7271oveq1d 5807 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W
) `  Z )
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { X } ) )  =  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )
7367, 72ineq12d 3346 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `
 Z ) } ) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `
 { X }
) ) ) )
7465, 66, 733eqtrd 2294 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
7563, 74jca 520 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .+  Z ) } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )  /\  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421    \ cdif 3124    i^i cin 3126   {csn 3614   {cpr 3615   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   Basecbs 13111   +g cplusg 13171   0gc0g 13363   Grpcgrp 14325   inv gcminusg 14326   -gcsg 14328   LSSumclsm 14908   LModclmod 15590   LSubSpclss 15652   LSpanclspn 15691   LVecclvec 15818
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-tpos 6168  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-ndx 13114  df-slot 13115  df-base 13116  df-sets 13117  df-ress 13118  df-plusg 13184  df-mulr 13185  df-0g 13367  df-mnd 14330  df-submnd 14379  df-grp 14452  df-minusg 14453  df-sbg 14454  df-subg 14581  df-cntz 14756  df-lsm 14910  df-cmn 15054  df-abl 15055  df-mgp 15289  df-ring 15303  df-ur 15305  df-oppr 15368  df-dvdsr 15386  df-unit 15387  df-invr 15417  df-drng 15477  df-lmod 15592  df-lss 15653  df-lsp 15692  df-lvec 15819
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