Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem5abmN Unicode version

Theorem baerlem5abmN 32205
 Description: An equality that holds when , , are independent (non-colinear) vectors. Subtraction versions of first and second equations of part (5) in [Baer] p. 46, conjoined to share commonality in their proofs. TODO: Delete if not be needed. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v
baerlem3.m
baerlem3.o
baerlem3.s
baerlem3.n
baerlem3.w
baerlem3.x
baerlem3.c
baerlem3.d
baerlem3.y
baerlem3.z
baerlem5a.p
Assertion
Ref Expression
baerlem5abmN

Proof of Theorem baerlem5abmN
StepHypRef Expression
1 baerlem3.y . . . . . . . 8
21eldifad 3296 . . . . . . 7
3 baerlem3.z . . . . . . . 8
43eldifad 3296 . . . . . . 7
5 baerlem3.v . . . . . . . 8
6 baerlem5a.p . . . . . . . 8
7 eqid 2408 . . . . . . . 8
8 baerlem3.m . . . . . . . 8
95, 6, 7, 8grpsubval 14807 . . . . . . 7
102, 4, 9syl2anc 643 . . . . . 6
1110oveq2d 6060 . . . . 5
1211sneqd 3791 . . . 4
1312fveq2d 5695 . . 3
14 baerlem3.o . . . 4
15 baerlem3.s . . . 4
16 baerlem3.n . . . 4
17 baerlem3.w . . . 4
18 baerlem3.x . . . 4
19 lveclmod 16137 . . . . . . 7
2017, 19syl 16 . . . . . 6
215, 7lmodvnegcl 15944 . . . . . 6
2220, 4, 21syl2anc 643 . . . . 5
23 eqid 2408 . . . . . . 7
245, 23, 16, 20, 2, 4lspprcl 16013 . . . . . . 7
25 baerlem3.c . . . . . . 7
265, 14, 23, 20, 24, 18, 25lssneln0 15987 . . . . . 6
275, 16, 17, 18, 2, 4, 25lspindpi 16163 . . . . . . 7
2827simpld 446 . . . . . 6
295, 14, 16, 17, 26, 2, 28lspsnne1 16148 . . . . 5
30 baerlem3.d . . . . . . . . 9
3130necomd 2654 . . . . . . . 8
325, 14, 16, 17, 3, 2, 31lspsnne1 16148 . . . . . . 7
335, 16, 17, 18, 4, 2, 32, 25lspexchn2 16162 . . . . . 6
34 lmodgrp 15916 . . . . . . . . . 10
3517, 19, 343syl 19 . . . . . . . . 9
3635adantr 452 . . . . . . . 8
374adantr 452 . . . . . . . 8
385, 7grpinvinv 14817 . . . . . . . 8
3936, 37, 38syl2anc 643 . . . . . . 7
4020adantr 452 . . . . . . . 8
415, 23, 16, 20, 2, 18lspprcl 16013 . . . . . . . . 9
4241adantr 452 . . . . . . . 8
43 simpr 448 . . . . . . . 8
4423, 7lssvnegcl 15991 . . . . . . . 8
4540, 42, 43, 44syl3anc 1184 . . . . . . 7
4639, 45eqeltrrd 2483 . . . . . 6
4733, 46mtand 641 . . . . 5
485, 16, 17, 22, 18, 2, 29, 47lspexchn2 16162 . . . 4
495, 7, 16lspsnneg 16041 . . . . . 6
5020, 4, 49syl2anc 643 . . . . 5
5130, 50neeqtrrd 2595 . . . 4
525, 14, 7grpinvnzcl 14822 . . . . 5
5335, 3, 52syl2anc 643 . . . 4
545, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6baerlem5a 32201 . . 3
5550oveq2d 6060 . . . 4
565, 6, 8, 7, 35, 18, 4grpsubinv 14823 . . . . . . 7
5756sneqd 3791 . . . . . 6
5857fveq2d 5695 . . . . 5
5958oveq1d 6059 . . . 4
6055, 59ineq12d 3507 . . 3
6113, 54, 603eqtrd 2444 . 2
6210sneqd 3791 . . . 4
6362fveq2d 5695 . . 3
645, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6baerlem5b 32202 . . 3
6550oveq2d 6060 . . . 4
6610eqcomd 2413 . . . . . . . 8
6766oveq2d 6060 . . . . . . 7
6867sneqd 3791 . . . . . 6
6968fveq2d 5695 . . . . 5
7069oveq1d 6059 . . . 4
7165, 70ineq12d 3507 . . 3
7263, 64, 713eqtrd 2444 . 2
7361, 72jca 519 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 359   wceq 1649   wcel 1721   wne 2571   cdif 3281   cin 3283  csn 3778  cpr 3779  cfv 5417  (class class class)co 6044  cbs 13428   cplusg 13488  c0g 13682  cgrp 14644  cminusg 14645  csg 14647  clsm 15227  clmod 15909  clss 15967  clspn 16006  clvec 16133 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6442  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-0g 13686  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-sbg 14773  df-subg 14900  df-cntz 15075  df-lsm 15229  df-cmn 15373  df-abl 15374  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-ur 15624  df-oppr 15687  df-dvdsr 15705  df-unit 15706  df-invr 15736  df-drng 15796  df-lmod 15911  df-lss 15968  df-lsp 16007  df-lvec 16134
 Copyright terms: Public domain W3C validator