Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlem1 Unicode version

Theorem ballotlem1 23045
Description: The size of the universe is a binomial coefficient. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
Assertion
Ref Expression
ballotlem1  |-  ( # `  O )  =  ( ( M  +  N
)  _C  M )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c

Proof of Theorem ballotlem1
StepHypRef Expression
1 ballotth.o . . 3  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
21fveq2i 5528 . 2  |-  ( # `  O )  =  (
# `  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  (
# `  c )  =  M } )
3 fzfi 11034 . . . 4  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin
4 ballotth.m . . . . 5  |-  M  e.  NN
54nnzi 10047 . . . 4  |-  M  e.  ZZ
6 hashbc 11391 . . . 4  |-  ( ( ( 1 ... ( M  +  N )
)  e.  Fin  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( # `  (
1 ... ( M  +  N ) ) )  _C  M )  =  ( # `  {
c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  |  ( # `  c
)  =  M }
) )
73, 5, 6mp2an 653 . . 3  |-  ( (
# `  ( 1 ... ( M  +  N
) ) )  _C  M )  =  (
# `  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  (
# `  c )  =  M } )
8 ballotth.n . . . . . . 7  |-  N  e.  NN
94, 8pm3.2i 441 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )
10 nnaddcl 9768 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
11 nnnn0 9972 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  N )  e.  NN  ->  ( M  +  N )  e.  NN0 )
129, 10, 11mp2b 9 . . . . 5  |-  ( M  +  N )  e. 
NN0
13 hashfz1 11345 . . . . 5  |-  ( ( M  +  N )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( M  +  N )
) )  =  ( M  +  N ) )
1412, 13ax-mp 8 . . . 4  |-  ( # `  ( 1 ... ( M  +  N )
) )  =  ( M  +  N )
1514oveq1i 5868 . . 3  |-  ( (
# `  ( 1 ... ( M  +  N
) ) )  _C  M )  =  ( ( M  +  N
)  _C  M )
167, 15eqtr3i 2305 . 2  |-  ( # `  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M } )  =  ( ( M  +  N
)  _C  M )
172, 16eqtri 2303 1  |-  ( # `  O )  =  ( ( M  +  N
)  _C  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   ~Pcpw 3625   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   1c1 8738    + caddc 8740   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ...cfz 10782    _C cbc 11315   #chash 11337
This theorem is referenced by:  ballotlem2  23047  ballotth  23096
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338
  Copyright terms: Public domain W3C validator