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Theorem ballotlem1c 23066
Description: If the first vote is for A, the vote on the first tie is for B. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlem1c  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  -.  ( I `  C )  e.  C
)
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I   
k, c, E    i, I
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, k, c)    E( x)    F( x)    I( x, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlem1c
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3  |-  M  e.  NN
2 ballotth.n . . 3  |-  N  e.  NN
3 ballotth.o . . 3  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
4 ballotth.p . . 3  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
5 ballotth.f . . 3  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
6 eldifi 3298 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  C  e.  O )
76adantr 451 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  C  e.  O
)
87adantlr 695 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  C
)  /\  ( I `  C )  e.  C
)  ->  C  e.  O )
9 ballotth.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
10 ballotth.mgtn . . . . . . . . . 10  |-  N  < 
M
11 ballotth.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
121, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11ballotlemiex 23060 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
1312simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
14 elfznn 10819 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  NN )
1513, 14syl 15 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  NN )
1615adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( I `  C
)  e.  NN )
171, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11ballotlemii 23062 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( I `  C
)  =/=  1 )
18 eluz2b3 10291 . . . . . 6  |-  ( ( I `  C )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( I `
 C )  e.  NN  /\  ( I `
 C )  =/=  1 ) )
1916, 17, 18sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( I `  C
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
20 uz2m1nn 10292 . . . . 5  |-  ( ( I `  C )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
I `  C )  -  1 )  e.  NN )
2119, 20syl 15 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( ( I `  C )  -  1 )  e.  NN )
2221adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  C
)  /\  ( I `  C )  e.  C
)  ->  ( (
I `  C )  -  1 )  e.  NN )
23 elnnuz 10264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I `  C
)  -  1 )  e.  NN  <->  ( (
I `  C )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2423biimpi 186 . . . . . 6  |-  ( ( ( I `  C
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
25 eluzfz1 10803 . . . . . 6  |-  ( ( ( I `  C
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) )
2621, 24, 253syl 18 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  1  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) )
2726adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  C
)  /\  ( I `  C )  e.  C
)  ->  1  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) )
28 0le1 9297 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
29 1e0p1 10152 . . . . . . . 8  |-  1  =  ( 0  +  1 )
3029breq2i 4031 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  1  <->  0  <_  ( 0  +  1 ) )
3128, 30mpbi 199 . . . . . 6  |-  0  <_  ( 0  +  1 )
32 1nn 9757 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN
3332a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  1  e.  NN )
341, 2, 3, 4, 5, 6, 33ballotlemfp1 23050 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( -.  1  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  1 )  =  ( ( ( F `
 C ) `  ( 1  -  1 ) )  -  1 ) )  /\  (
1  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  1
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  +  1 ) ) ) )
3534simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
1  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  1
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  +  1 ) ) )
3635imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( ( F `  C ) `  1
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  +  1 ) )
37 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
3837subidi 9117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3938fveq2i 5528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  C ) `
 ( 1  -  1 ) )  =  ( ( F `  C ) `  0
)
4039oveq1i 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( ( F `
 C ) ` 
0 )  +  1 )
4140a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( ( ( F `
 C ) `  ( 1  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( ( F `  C
) `  0 )  +  1 ) )
421, 2, 3, 4, 5ballotlemfval0 23054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  O  ->  (
( F `  C
) `  0 )  =  0 )
436, 42syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( F `  C
) `  0 )  =  0 )
4443adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( ( F `  C ) `  0
)  =  0 )
4544oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( ( ( F `
 C ) ` 
0 )  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
4636, 41, 453eqtrrd 2320 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( 0  +  1 )  =  ( ( F `  C ) `
 1 ) )
4746breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( 0  <_  (
0  +  1 )  <->  0  <_  ( ( F `  C ) `  1 ) ) )
4831, 47mpbii 202 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  0  <_  ( ( F `  C ) `  1 ) )
4948adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  C
)  /\  ( I `  C )  e.  C
)  ->  0  <_  ( ( F `  C
) `  1 )
)
50 nfv 1605 . . . . 5  |-  F/ i 0  <_  ( ( F `  C ) `  1 )
51 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( i  =  1  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) ` 
1 ) )
5251breq2d 4035 . . . . 5  |-  ( i  =  1  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `  C
) `  1 )
) )
5350, 52rspce 2879 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) ` 
1 ) )  ->  E. i  e.  (
1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) 0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) )
5427, 49, 53syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  C
)  /\  ( I `  C )  e.  C
)  ->  E. i  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) 0  <_  (
( F `  C
) `  i )
)
55 0lt1 9296 . . . . . 6  |-  0  <  1
56 1re 8837 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
57 lt0neg2 9281 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <  1  <->  -u 1  <  0 ) )
5856, 57ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( 0  <  1  <->  -u 1  <  0 )
5955, 58mpbi 199 . . . . 5  |-  -u 1  <  0
60 df-neg 9040 . . . . . . 7  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
611, 2, 3, 4, 5, 6, 15ballotlemfp1 23050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( -.  ( I `
 C )  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  ( I `  C
) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( I `  C
)  -  1 ) )  -  1 ) )  /\  ( ( I `  C )  e.  C  ->  (
( F `  C
) `  ( I `  C ) )  =  ( ( ( F `
 C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  +  1 ) ) ) )
6261simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) )  +  1 ) ) )
6362imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( I `  C
)  -  1 ) )  +  1 ) )
6412simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( F `  C
) `  ( I `  C ) )  =  0 )
6564adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  0 )
6663, 65eqtr3d 2317 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  +  1 )  =  0 )
67 0cn 8831 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  CC
6867a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  0  e.  CC )
6937a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  1  e.  CC )
7015nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
7170adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( I `  C )  e.  ZZ )
72 1z 10053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ZZ
7372a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  1  e.  ZZ )
7471, 73zsubcld 10122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( I `
 C )  - 
1 )  e.  ZZ )
751, 2, 3, 4, 5, 7, 74ballotlemfelz 23049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  e.  ZZ )
7675zcnd 10118 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  e.  CC )
7768, 69, 76subadd2d 9176 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( 0  -  1 )  =  ( ( F `  C ) `  (
( I `  C
)  -  1 ) )  <->  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  +  1 )  =  0 ) )
7866, 77mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( 0  -  1 )  =  ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
7960, 78syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  -u 1  =  ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
8079breq1d 4033 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( -u 1  <  0  <->  ( ( F `
 C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  <  0
) )
8159, 80mpbii 202 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  <  0
)
8281adantlr 695 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  C
)  /\  ( I `  C )  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  <  0
)
831, 2, 3, 4, 5, 8, 22, 54, 82ballotlemfcc 23052 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  C
)  /\  ( I `  C )  e.  C
)  ->  E. k  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )
841, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11ballotlemimin 23064 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  -.  E. k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) ( ( F `  C
) `  k )  =  0 )
8584ad2antrr 706 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  C
)  /\  ( I `  C )  e.  C
)  ->  -.  E. k  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )
8683, 85pm2.65da 559 1  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  -.  ( I `  C )  e.  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    i^i cin 3151   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   #chash 11337
This theorem is referenced by:  ballotlem7  23094
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338
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