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Theorem ballotlem2 23995
Description: The probability that the first vote picked in a count is a B (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlem2  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( N  /  ( M  +  N )
)
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c, x
Allowed substitution hints:    P( x, c)    M( x)    N( x)

Proof of Theorem ballotlem2
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3334 . . . . 5  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  C_  O
2 ballotth.m . . . . . . . 8  |-  M  e.  NN
3 ballotth.n . . . . . . . 8  |-  N  e.  NN
4 ballotth.o . . . . . . . 8  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
52, 3, 4ballotlemoex 23992 . . . . . . 7  |-  O  e. 
_V
65rabex 4244 . . . . . 6  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  e.  _V
76elpw 3707 . . . . 5  |-  ( { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  e.  ~P O  <->  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  C_  O )
81, 7mpbir 200 . . . 4  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  e.  ~P O
9 fveq2 5605 . . . . . 6  |-  ( x  =  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } ) )
109oveq1d 5957 . . . . 5  |-  ( x  =  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  (
( # `  x )  /  ( # `  O
) )  =  ( ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) ) )
11 ballotth.p . . . . 5  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
12 ovex 5967 . . . . 5  |-  ( (
# `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
)  /  ( # `  O ) )  e. 
_V
1310, 11, 12fvmpt 5682 . . . 4  |-  ( { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  e.  ~P O  ->  ( P `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) ) )
148, 13ax-mp 8 . . 3  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) )
15 2nn 9966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  NN
16 nnge1 9859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  e.  NN  ->  1  <_  2 )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  <_  2
18 1z 10142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  ZZ
19 2z 10143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  ZZ
2018, 19pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )
21 eluz 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( 2  e.  (
ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  2 ) )
2220, 21ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  1  <_  2
)
2317, 22mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
24 fzss1 10919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ... ( M  +  N ) )  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
2523, 24ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2 ... ( M  +  N ) )  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
)
26 sspwb 4302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2 ... ( M  +  N ) ) 
C_  ( 1 ... ( M  +  N
) )  <->  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  C_  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
) )
2725, 26mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  C_  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)
28 dfss2 3245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P ( 2 ... ( M  +  N )
)  C_  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  <->  A. c
( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N )
)  ->  c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
) ) )
2927, 28mpbi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. c
( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N )
)  ->  c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
) )
3029spi 1754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  -> 
c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) ) )
31 1lt2 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  <  2
32 1re 8924 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
3315nnrei 9842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
3432, 33ltnlei 9026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  <  2  <->  -.  2  <_  1 )
3531, 34mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  2  <_  1
36 elfzle1 10888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  e.  ( 2 ... ( M  +  N
) )  ->  2  <_  1 )
3736con3i 127 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  2  <_  1  ->  -.  1  e.  ( 2 ... ( M  +  N ) ) )
3835, 37ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  1  e.  ( 2 ... ( M  +  N )
)
39 elelpwi 3711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  c  /\  c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) ) )  ->  1  e.  ( 2 ... ( M  +  N ) ) )
4039con3i 127 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  1  e.  ( 2 ... ( M  +  N ) )  ->  -.  ( 1  e.  c  /\  c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N )
) ) )
4138, 40ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (
1  e.  c  /\  c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) ) )
42 ancom 437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  c  /\  c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) ) )  <-> 
( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N )
)  /\  1  e.  c ) )
4342notbii 287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( 1  e.  c  /\  c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N )
) )  <->  -.  (
c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  /\  1  e.  c )
)
4441, 43mpbi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  (
c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  /\  1  e.  c )
4544imnani 412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  ->  -.  1  e.  c
)
4630, 45jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  -> 
( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  -.  1  e.  c ) )
47 ssin 3467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  C_  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  c  C_  { i  |  -.  i  =  1 } )  <->  c  C_  ( ( 1 ... ( M  +  N
) )  i^i  {
i  |  -.  i  =  1 } ) )
48 nnge1 9859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( M  e.  NN  ->  1  <_  M )
492, 48ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  <_  M
50 nnge1 9859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
513, 50ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  <_  N
522nnrei 9842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  M  e.  RR
533nnrei 9842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  N  e.  RR
5432, 32, 52, 53le2addi 9423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 1  <_  M  /\  1  <_  N )  -> 
( 1  +  1 )  <_  ( M  +  N ) )
5549, 51, 54mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1  +  1 )  <_ 
( M  +  N
)
56 1p1e2 9927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 1  +  1 )  =  2
5756breq1i 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 1  +  1 )  <_  ( M  +  N )  <->  2  <_  ( M  +  N ) )
5855, 57mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  <_  ( M  +  N
)
5917, 58pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  <_  2  /\  2  <_  ( M  +  N
) )
6052, 53readdcli 8937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  +  N )  e.  RR
6132, 33, 60letri 9035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  <_  2  /\  2  <_  ( M  +  N ) )  -> 
1  <_  ( M  +  N ) )
6259, 61ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  <_  ( M  +  N
)
63 nnaddcl 9855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
642, 3, 63mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( M  +  N )  e.  NN
6564nnzi 10136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  +  N )  e.  ZZ
6618, 65pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  ( M  +  N )  e.  ZZ )
67 eluz 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  ( M  +  N ) ) )
6866, 67ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  1  <_  ( M  +  N )
)
6962, 68mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1 )
70 elfzp12 10950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  <->  ( i  =  1  \/  i  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N )
) ) ) )
7169, 70ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  <->  ( i  =  1  \/  i  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N )
) ) )
7271biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
i  =  1  \/  i  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N ) ) ) )
73 pm5.6 878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  i  =  1 )  ->  i  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N )
) )  <->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  ->  ( i  =  1  \/  i  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N )
) ) ) )
7472, 73mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  i  =  1
)  ->  i  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N )
) )
7556oveq1i 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N ) )  =  ( 2 ... ( M  +  N )
)
7675eleq2i 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N
) )  <->  i  e.  ( 2 ... ( M  +  N )
) )
7774, 76sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  i  =  1
)  ->  i  e.  ( 2 ... ( M  +  N )
) )
7877ss2abi 3321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { i  |  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  -.  i  =  1 ) } 
C_  { i  |  i  e.  ( 2 ... ( M  +  N ) ) }
79 inab 3512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { i  |  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) }  i^i  {
i  |  -.  i  =  1 } )  =  { i  |  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  i  =  1 ) }
80 abid2 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { i  |  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) }  =  ( 1 ... ( M  +  N ) )
8180ineq1i 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { i  |  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) }  i^i  {
i  |  -.  i  =  1 } )  =  ( ( 1 ... ( M  +  N ) )  i^i 
{ i  |  -.  i  =  1 }
)
8279, 81eqtr3i 2380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { i  |  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  -.  i  =  1 ) }  =  ( ( 1 ... ( M  +  N ) )  i^i 
{ i  |  -.  i  =  1 }
)
83 abid2 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { i  |  i  e.  ( 2 ... ( M  +  N ) ) }  =  ( 2 ... ( M  +  N ) )
8482, 83sseq12i 3280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { i  |  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  /\  -.  i  =  1 ) }  C_  { i  |  i  e.  (
2 ... ( M  +  N ) ) }  <-> 
( ( 1 ... ( M  +  N
) )  i^i  {
i  |  -.  i  =  1 } ) 
C_  ( 2 ... ( M  +  N
) ) )
8578, 84mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1 ... ( M  +  N ) )  i^i  { i  |  -.  i  =  1 } )  C_  (
2 ... ( M  +  N ) )
86 sstr 3263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  C_  ( (
1 ... ( M  +  N ) )  i^i 
{ i  |  -.  i  =  1 }
)  /\  ( (
1 ... ( M  +  N ) )  i^i 
{ i  |  -.  i  =  1 }
)  C_  ( 2 ... ( M  +  N ) ) )  ->  c  C_  (
2 ... ( M  +  N ) ) )
8786expcom 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1 ... ( M  +  N )
)  i^i  { i  |  -.  i  =  1 } )  C_  (
2 ... ( M  +  N ) )  -> 
( c  C_  (
( 1 ... ( M  +  N )
)  i^i  { i  |  -.  i  =  1 } )  ->  c  C_  ( 2 ... ( M  +  N )
) ) )
8885, 87ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c 
C_  ( ( 1 ... ( M  +  N ) )  i^i 
{ i  |  -.  i  =  1 }
)  ->  c  C_  ( 2 ... ( M  +  N )
) )
8947, 88sylbi 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  C_  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  c  C_  { i  |  -.  i  =  1 } )  ->  c  C_  ( 2 ... ( M  +  N )
) )
90 vex 2867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  c  e. 
_V
9190elpw 3707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N ) )  <->  c  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
92 ssab 3319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c 
C_  { i  |  -.  i  =  1 }  <->  A. i ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1 ) )
93 df-ex 1542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. i ( i  =  1  /\  i  e.  c )  <->  -.  A. i  -.  ( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
9493bicomi 193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -. 
A. i  -.  (
i  =  1  /\  i  e.  c )  <->  E. i ( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
9594con1bii 321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
E. i ( i  =  1  /\  i  e.  c )  <->  A. i  -.  ( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
96 df-clel 2354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  e.  c  <->  E. i
( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
9796notbii 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  1  e.  c  <->  -.  E. i
( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
98 pm4.62 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1
)  <->  ( -.  i  e.  c  \/  -.  i  =  1 ) )
99 ianor 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  ( i  e.  c  /\  i  =  1 )  <->  ( -.  i  e.  c  \/  -.  i  =  1 ) )
10098, 99bitr4i 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1
)  <->  -.  ( i  e.  c  /\  i  =  1 ) )
101100albii 1566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. i ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1 )  <->  A. i  -.  ( i  e.  c  /\  i  =  1 ) )
102 ancom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  =  1  /\  i  e.  c )  <-> 
( i  e.  c  /\  i  =  1 ) )
103102notbii 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  ( i  =  1  /\  i  e.  c )  <->  -.  ( i  e.  c  /\  i  =  1 ) )
104103albii 1566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. i  -.  ( i  =  1  /\  i  e.  c )  <->  A. i  -.  ( i  e.  c  /\  i  =  1 ) )
105101, 104bitr4i 243 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. i ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1 )  <->  A. i  -.  ( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
10695, 97, 1053bitr4ri 269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. i ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1 )  <->  -.  1  e.  c )
10792, 106bitr2i 241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  1  e.  c  <->  c  C_  { i  |  -.  i  =  1 } )
10891, 107anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  1  e.  c
)  <->  ( c  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  c  C_  { i  |  -.  i  =  1 } ) )
10990elpw 3707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  <->  c  C_  ( 2 ... ( M  +  N )
) )
110108, 109imbi12i 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  -.  1  e.  c )  ->  c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N
) ) )  <->  ( (
c  C_  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  c  C_  { i  |  -.  i  =  1 } )  ->  c  C_  ( 2 ... ( M  +  N )
) ) )
11189, 110mpbir 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  1  e.  c
)  ->  c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N )
) )
11246, 111impbii 180 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  <->  ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  /\  -.  1  e.  c )
)
113112anbi1i 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M )  <->  ( (
c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  1  e.  c
)  /\  ( # `  c
)  =  M ) )
1144eleq2i 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  O  <->  c  e.  { c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  |  ( # `  c
)  =  M }
)
115 rabid 2792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  { c  e. 
~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  (
# `  c )  =  M }  <->  ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  /\  ( # `
 c )  =  M ) )
116114, 115bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  O  <->  ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  /\  ( # `
 c )  =  M ) )
117116anbi1i 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c
)  <->  ( ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M )  /\  -.  1  e.  c
) )
118 3ancomb 943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M  /\  -.  1  e.  c )  <->  ( c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  1  e.  c  /\  ( # `  c
)  =  M ) )
119 df-3an 936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M  /\  -.  1  e.  c )  <->  ( ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  ( # `  c
)  =  M )  /\  -.  1  e.  c ) )
120 df-3an 936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  1  e.  c  /\  ( # `  c
)  =  M )  <-> 
( ( c  e. 
~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  /\  -.  1  e.  c )  /\  ( # `  c
)  =  M ) )
121118, 119, 1203bitr3ri 267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  -.  1  e.  c )  /\  ( # `
 c )  =  M )  <->  ( (
c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M )  /\  -.  1  e.  c
) )
122117, 121bitr4i 243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c
)  <->  ( ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  1  e.  c
)  /\  ( # `  c
)  =  M ) )
123113, 122bitr4i 243 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M )  <->  ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c ) )
124123abbii 2470 . . . . . . 7  |-  { c  |  ( c  e. 
~P ( 2 ... ( M  +  N
) )  /\  ( # `
 c )  =  M ) }  =  { c  |  ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c
) }
125 df-rab 2628 . . . . . . 7  |-  { c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  |  ( # `  c
)  =  M }  =  { c  |  ( c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M ) }
126 df-rab 2628 . . . . . . 7  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  =  { c  |  ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c
) }
127124, 125, 1263eqtr4i 2388 . . . . . 6  |-  { c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  |  ( # `  c
)  =  M }  =  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
128127fveq2i 5608 . . . . 5  |-  ( # `  { c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M } )  =  (
# `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
)
1292nnzi 10136 . . . . . . 7  |-  M  e.  ZZ
130 fzfi 11123 . . . . . . . 8  |-  ( 2 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin
131 hashbc 11481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ... ( M  +  N )
)  e.  Fin  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( # `  (
2 ... ( M  +  N ) ) )  _C  M )  =  ( # `  {
c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  |  ( # `  c
)  =  M }
) )
132130, 131mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( # `  ( 2 ... ( M  +  N ) ) )  _C  M )  =  ( # `  {
c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  |  ( # `  c
)  =  M }
) )
133129, 132ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( (
# `  ( 2 ... ( M  +  N
) ) )  _C  M )  =  (
# `  { c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N
) )  |  (
# `  c )  =  M } )
13465, 58pm3.2i 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  +  N )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( M  +  N
) )
135 eluz1 10323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  (
( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  <->  ( ( M  +  N )  e.  ZZ  /\  2  <_ 
( M  +  N
) ) ) )
13619, 135ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( M  +  N )  e.  ZZ  /\  2  <_ 
( M  +  N
) ) )
137134, 136mpbir 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  2 )
138 hashfz 11471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( # `  (
2 ... ( M  +  N ) ) )  =  ( ( ( M  +  N )  -  2 )  +  1 ) )
139137, 138ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  ( 2 ... ( M  +  N )
) )  =  ( ( ( M  +  N )  -  2 )  +  1 )
14052recni 8936 . . . . . . . . . . . 12  |-  M  e.  CC
14153recni 8936 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  e.  CC
142140, 141addcli 8928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  +  N )  e.  CC
143 2cn 9903 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
144 ax-1cn 8882 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
145142, 143, 1443pm3.2i 1130 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  +  N )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  1  e.  CC )
146 subadd23 9150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( M  +  N )  -  2 )  +  1 )  =  ( ( M  +  N )  +  ( 1  -  2 ) ) )
147145, 146ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  +  N
)  -  2 )  +  1 )  =  ( ( M  +  N )  +  ( 1  -  2 ) )
148143, 144negsubdi2i 9219 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
2  -  1 )  =  ( 1  -  2 )
149143, 144, 1443pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )
150 subadd2 9142 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( 2  -  1 )  =  1  <->  (
1  +  1 )  =  2 ) )
151149, 150ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  -  1 )  =  1  <->  ( 1  +  1 )  =  2 )
15256, 151mpbir 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  -  1 )  =  1
153152negeqi 9132 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
2  -  1 )  =  -u 1
154148, 153eqtr3i 2380 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  2 )  = 
-u 1
155154oveq2i 5953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  +  N )  +  ( 1  -  2 ) )  =  ( ( M  +  N )  +  -u
1 )
156139, 147, 1553eqtri 2382 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( 2 ... ( M  +  N )
) )  =  ( ( M  +  N
)  +  -u 1
)
157142, 144pm3.2i 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  +  N )  e.  CC  /\  1  e.  CC )
158 negsub 9182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  +  N )  +  -u
1 )  =  ( ( M  +  N
)  -  1 ) )
159157, 158ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  +  N )  +  -u 1 )  =  ( ( M  +  N )  -  1 )
160156, 159eqtri 2378 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( 2 ... ( M  +  N )
) )  =  ( ( M  +  N
)  -  1 )
161160oveq1i 5952 . . . . . 6  |-  ( (
# `  ( 2 ... ( M  +  N
) ) )  _C  M )  =  ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )
162133, 161eqtr3i 2380 . . . . 5  |-  ( # `  { c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M } )  =  ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )
163128, 162eqtr3i 2380 . . . 4  |-  ( # `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )
1642, 3, 4ballotlem1 23993 . . . 4  |-  ( # `  O )  =  ( ( M  +  N
)  _C  M )
165163, 164oveq12i 5954 . . 3  |-  ( (
# `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
)  /  ( # `  O ) )  =  ( ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )  /  (
( M  +  N
)  _C  M ) )
16614, 165eqtri 2378 . 2  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )  /  (
( M  +  N
)  _C  M ) )
167 0le1 9384 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
168 0re 8925 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
169168, 32, 52letri 9035 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  <_  1  /\  1  <_  M )  -> 
0  <_  M )
170167, 169mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( 1  <_  M  ->  0  <_  M )
17149, 170ax-mp 8 . . . . . 6  |-  0  <_  M
1723nngt0i 9866 . . . . . . . . 9  |-  0  <  N
17353, 172elrpii 10446 . . . . . . . 8  |-  N  e.  RR+
17452, 173pm3.2i 441 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )
175 ltaddrp 10475 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  ->  M  <  ( M  +  N ) )
176174, 175ax-mp 8 . . . . . 6  |-  M  < 
( M  +  N
)
177129, 171, 1763pm3.2i 1130 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M  /\  M  < 
( M  +  N
) )
178 0z 10124 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
179178, 65pm3.2i 441 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  ( M  +  N )  e.  ZZ )
180 elfzm11 10942 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  1 ) )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M  /\  M  <  ( M  +  N )
) ) )
181179, 180ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  1 ) )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M  /\  M  <  ( M  +  N )
) )
182177, 181mpbir 200 . . . 4  |-  M  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  1 ) )
1832, 3pm3.2i 441 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )
184183, 63ax-mp 8 . . . 4  |-  ( M  +  N )  e.  NN
185182, 184pm3.2i 441 . . 3  |-  ( M  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  1 ) )  /\  ( M  +  N )  e.  NN )
186 bcm1n 23350 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  - 
1 ) )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  N
)  -  1 )  _C  M )  / 
( ( M  +  N )  _C  M
) )  =  ( ( ( M  +  N )  -  M
)  /  ( M  +  N ) ) )
187185, 186ax-mp 8 . 2  |-  ( ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )  /  ( ( M  +  N )  _C  M ) )  =  ( ( ( M  +  N )  -  M )  /  ( M  +  N )
)
188140, 141pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )
189 pncan2 9145 . . . 4  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( M  +  N )  -  M
)  =  N )
190188, 189ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( M  +  N )  -  M )  =  N
191190oveq1i 5952 . 2  |-  ( ( ( M  +  N
)  -  M )  /  ( M  +  N ) )  =  ( N  /  ( M  +  N )
)
192166, 187, 1913eqtri 2382 1  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( N  /  ( M  +  N )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1540   E.wex 1541    = wceq 1642    e. wcel 1710   {cab 2344   {crab 2623    i^i cin 3227    C_ wss 3228   ~Pcpw 3701   class class class wbr 4102    e. cmpt 4156   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   Fincfn 6948   CCcc 8822   RRcr 8823   0cc0 8824   1c1 8825    + caddc 8827    < clt 8954    <_ cle 8955    - cmin 9124   -ucneg 9125    / cdiv 9510   NNcn 9833   2c2 9882   ZZcz 10113   ZZ>=cuz 10319   RR+crp 10443   ...cfz 10871    _C cbc 11405   #chash 11427
This theorem is referenced by:  ballotth  24044
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-2o 6564  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-card 7659  df-cda 7881  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-rp 10444  df-fz 10872  df-seq 11136  df-fac 11379  df-bc 11406  df-hash 11428
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