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Theorem ballotlemfrcn0 23104
Description: Value of  F for a reversed counting  ( R `  C ), before the first tie, cannot be zero . (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
ballotth.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
ballotth.r  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemfrcn0  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( F `  ( R `  C ) ) `  J )  =/=  0 )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I, c    E, c    i, I, c    k, J    S, k, i, c    R, i   
i, J
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, k, c)    R( x, k, c)    S( x)    E( x)    F( x)    I( x)    J( x, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemfrcn0
Dummy variables  v  u  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10069 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
21a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
1  e.  ZZ )
3 ballotth.m . . . . . . . . 9  |-  M  e.  NN
4 ballotth.n . . . . . . . . 9  |-  N  e.  NN
53, 4pm3.2i 441 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )
6 nnaddcl 9784 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( M  +  N )  e.  NN
87nnzi 10063 . . . . . 6  |-  ( M  +  N )  e.  ZZ
98a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  ZZ )
10 ballotth.o . . . . . . . . 9  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
11 ballotth.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
12 ballotth.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
13 ballotth.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
14 ballotth.mgtn . . . . . . . . 9  |-  N  < 
M
15 ballotth.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
16 ballotth.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
173, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16ballotlemsdom 23086 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
18 elfzelz 10814 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S `  C
) `  J )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  ->  ( ( S `  C ) `  J )  e.  ZZ )
1917, 18syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ZZ )
20193adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( S `  C ) `  J
)  e.  ZZ )
2120, 2zsubcld 10138 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  ZZ )
223, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16ballotlemsgt1 23085 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
1  <  ( ( S `  C ) `  J ) )
23 zltlem1 10086 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( ( S `  C ) `  J
)  e.  ZZ )  ->  ( 1  < 
( ( S `  C ) `  J
)  <->  1  <_  (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) ) )
2423biimpd 198 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( ( S `  C ) `  J
)  e.  ZZ )  ->  ( 1  < 
( ( S `  C ) `  J
)  ->  1  <_  ( ( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) ) )
2524imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( ( S `  C ) `  J
)  e.  ZZ )  /\  1  <  (
( S `  C
) `  J )
)  ->  1  <_  ( ( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) )
262, 20, 22, 25syl21anc 1181 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
1  <_  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 ) )
2720zred 10133 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( S `  C ) `  J
)  e.  RR )
28 1re 8853 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
2928a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
1  e.  RR )
3027, 29resubcld 9227 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  RR )
31 simp1 955 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  C  e.  ( O  \  E ) )
323, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 15ballotlemiex 23076 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
3332simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
34 elfzelz 10814 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
3531, 33, 343syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( I `  C
)  e.  ZZ )
3635zred 10133 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( I `  C
)  e.  RR )
379zred 10133 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  RR )
38 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  J  e.  ZZ )
39383ad2ant2 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  J  e.  ZZ )
40 elfzle1 10815 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  1  <_  J )
41403ad2ant2 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
1  <_  J )
4239zred 10133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  J  e.  RR )
43 simp3 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  J  <  ( I `  C ) )
44 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( I `  C
)  e.  RR )  ->  ( J  < 
( I `  C
)  ->  J  <_  ( I `  C ) ) )
4544imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  RR  /\  ( I `  C
)  e.  RR )  /\  J  <  (
I `  C )
)  ->  J  <_  ( I `  C ) )
4642, 36, 43, 45syl21anc 1181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  J  <_  ( I `  C ) )
47 elfz2 10805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  ( I `  C
)  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  J  /\  J  <_  ( I `
 C ) ) ) )
4847biimpri 197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( I `  C
)  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  J  /\  J  <_  ( I `
 C ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )
492, 35, 39, 41, 46, 48syl32anc 1190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )
503, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16ballotlemsel1i 23087 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )
5131, 49, 50syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( S `  C ) `  J
)  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )
52 elfzle2 10816 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S `  C
) `  J )  e.  ( 1 ... (
I `  C )
)  ->  ( ( S `  C ) `  J )  <_  (
I `  C )
)
5351, 52syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( S `  C ) `  J
)  <_  ( I `  C ) )
54 zlem1lt 10085 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S `  C ) `  J
)  e.  ZZ  /\  ( I `  C
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  <_ 
( I `  C
)  <->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  <  (
I `  C )
) )
5520, 35, 54syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  <_  (
I `  C )  <->  ( ( ( S `  C ) `  J
)  -  1 )  <  ( I `  C ) ) )
5653, 55mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  <  ( I `
 C ) )
5730, 36, 56ltled 8983 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  <_  ( I `  C ) )
58 elfzle2 10816 . . . . . . 7  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  <_  ( M  +  N
) )
5931, 33, 583syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( I `  C
)  <_  ( M  +  N ) )
6030, 36, 37, 57, 59letrd 8989 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  <_  ( M  +  N ) )
61 elfz4 10807 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_ 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  /\  ( ( ( S `  C
) `  J )  -  1 )  <_ 
( M  +  N
) ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
622, 9, 21, 26, 60, 61syl32anc 1190 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
63 fvex 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( I `
 C )  e. 
_V
64 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S `  C
) `  J )  -  1 )  e. 
_V
6563, 64brcnv 4880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I `  C ) `'  <  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  <->  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 )  < 
( I `  C
) )
6656, 65sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( I `  C
) `'  <  (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) )
673, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 15ballotlemi 23075 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  =  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
6867breq1d 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
) `'  <  (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 )  <->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) ) )
69683ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( I `  C ) `'  <  ( ( ( S `  C ) `  J
)  -  1 )  <->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) ) )
7066, 69mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) )
71 ltso 8919 . . . . . . . . . . 11  |-  <  Or  RR
72 cnvso 5230 . . . . . . . . . . 11  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
7371, 72mpbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  `'  <  Or  RR
7473a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  `'  <  Or  RR )
753, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 15ballotlemsup 23079 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  E. z  e.  RR  ( A. w  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 }  -.  z `'  <  w  /\  A. w  e.  RR  (
w `'  <  z  ->  E. y  e.  {
k  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |  ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 } w `'  <  y
) ) )
7674, 75supub 7226 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 }  ->  -. 
sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) ) )
7776con2d 107 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  ->  -.  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 } ) )
7831, 70, 77sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  -.  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 } )
79 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  ->  (
( F `  C
) `  k )  =  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) ) )
8079eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  =  0  <->  (
( F `  C
) `  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 ) )  =  0 ) )
8180elrab 2936 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S `  C ) `  J
)  -  1 )  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0 }  <->  ( (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  /\  (
( F `  C
) `  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 ) )  =  0 ) )
8278, 81sylnib 295 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  -.  ( ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  0 ) )
83 imnan 411 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  ->  -.  ( ( F `  C ) `  (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) )  =  0 )  <->  -.  ( ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  0 ) )
8482, 83sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  ->  -.  ( ( F `  C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  0 ) )
8562, 84mpd 14 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  -.  ( ( F `  C ) `  (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) )  =  0 )
86 df-ne 2461 . . 3  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 ) )  =/=  0  <->  -.  (
( F `  C
) `  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 ) )  =  0 )
8785, 86sylibr 203 . 2  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( F `  C ) `  (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) )  =/=  0 )
88 elfz4 10807 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( I `  C
)  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  J  /\  J  <_  ( I `
 C ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )
892, 35, 39, 41, 46, 88syl32anc 1190 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )
90 ballotth.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
913, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 90ballotlemro 23097 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( R `  C )  e.  O )
9291adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( R `  C )  e.  O
)
93 elfzelz 10814 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  ->  J  e.  ZZ )
9493adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ZZ )
953, 4, 10, 11, 12, 92, 94ballotlemfelz 23065 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J )  e.  ZZ )
9695zcnd 10134 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J )  e.  CC )
97 negeq0 9117 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  ( R `  C )
) `  J )  e.  CC  ->  ( (
( F `  ( R `  C )
) `  J )  =  0  <->  -u ( ( F `  ( R `
 C ) ) `
 J )  =  0 ) )
9896, 97syl 15 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( R `
 C ) ) `
 J )  =  0  <->  -u ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J )  =  0 ) )
99 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  Fin ,  v  e.  Fin  |->  ( (
# `  ( v  i^i  u ) )  -  ( # `  ( v 
\  u ) ) ) )  =  ( u  e.  Fin , 
v  e.  Fin  |->  ( ( # `  (
v  i^i  u )
)  -  ( # `  ( v  \  u
) ) ) )
1003, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 90, 99ballotlemfrceq 23103 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  -u ( ( F `  ( R `  C ) ) `  J ) )
101100eqeq1d 2304 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) )  =  0  <->  -u ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J )  =  0 ) )
10298, 101bitr4d 247 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( R `
 C ) ) `
 J )  =  0  <->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  0 ) )
103102necon3bid 2494 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( R `
 C ) ) `
 J )  =/=  0  <->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =/=  0
) )
10431, 89, 103syl2anc 642 . 2  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J )  =/=  0  <->  ( ( F `  C
) `  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 ) )  =/=  0 ) )
10587, 104mpbird 223 1  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( F `  ( R `  C ) ) `  J )  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   {crab 2560    \ cdif 3162    i^i cin 3164   ifcif 3578   ~Pcpw 3638   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    Or wor 4329   `'ccnv 4704   "cima 4708   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   Fincfn 6879   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   ZZcz 10040   ...cfz 10798   #chash 11353
This theorem is referenced by:  ballotlemirc  23106
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-hash 11354
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