MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basel Unicode version

Theorem basel 20322
Description: The sum of the inverse squares is  pi ^ 2  /  6. This is commonly known as the Basel problem, with the first known proof attributed to Euler. See http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem. This particular proof approach is due to Cauchy (1821). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
basel  |-  sum_ k  e.  NN  ( k ^ -u 2 )  =  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )

Proof of Theorem basel
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
2  x.  m )  =  ( 2  x.  n ) )
21oveq1d 5834 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
( 2  x.  m
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
32oveq2d 5835 . . 3  |-  ( m  =  n  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
43cbvmptv 4111 . 2  |-  ( m  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
5 oveq1 5826 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
m ^ -u 2
)  =  ( n ^ -u 2 ) )
65cbvmptv 4111 . . 3  |-  ( m  e.  NN  |->  ( m ^ -u 2 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) )
7 seqeq3 11046 . . 3  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( m ^ -u 2
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) )  ->  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( m ^ -u 2
) ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) ) )
86, 7ax-mp 8 . 2  |-  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m ^ -u 2
) ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) )
9 eqid 2283 . 2  |-  ( ( NN  X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } )  o F  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  -  ( m  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  m
)  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( NN 
X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } )  o F  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  -  (
m  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ) )
10 eqid 2283 . 2  |-  ( ( ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } )  o F  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  -  ( m  e.  NN  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ) )  o F  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  ( m  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( NN 
X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } )  o F  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  -  (
m  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ) )  o F  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  o F  x.  ( m  e.  NN  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ) ) )
11 eqid 2283 . 2  |-  ( ( ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } )  o F  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  -  ( m  e.  NN  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ) )  o F  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( m  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( NN 
X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } )  o F  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  -  (
m  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ) )  o F  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( m  e.  NN  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ) )
124, 8, 9, 10, 11basellem9 20321 1  |-  sum_ k  e.  NN  ( k ^ -u 2 )  =  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623   {csn 3640    e. cmpt 4077    X. cxp 4685  (class class class)co 5819    o Fcof 6037   1c1 8733    + caddc 8735    x. cmul 8737    - cmin 9032   -ucneg 9033    / cdiv 9418   NNcn 9741   2c2 9790   6c6 9794    seq cseq 11041   ^cexp 11099   sum_csu 12153   picpi 12343
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4186  ax-pr 4212  ax-un 4510  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4303  df-id 4307  df-po 4312  df-so 4313  df-fr 4350  df-se 4351  df-we 4352  df-ord 4393  df-on 4394  df-lim 4395  df-suc 4396  df-om 4655  df-xp 4693  df-rel 4694  df-cnv 4695  df-co 4696  df-dm 4697  df-rn 4698  df-res 4699  df-ima 4700  df-fun 5222  df-fn 5223  df-f 5224  df-f1 5225  df-fo 5226  df-f1o 5227  df-fv 5228  df-isom 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10655  df-ioc 10656  df-ico 10657  df-icc 10658  df-fz 10778  df-fzo 10866  df-fl 10920  df-mod 10969  df-seq 11042  df-exp 11100  df-fac 11284  df-bc 11311  df-hash 11333  df-shft 11557  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716  df-limsup 11940  df-clim 11957  df-rlim 11958  df-sum 12154  df-ef 12344  df-sin 12346  df-cos 12347  df-tan 12348  df-pi 12349  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13148  df-sets 13149  df-ress 13150  df-plusg 13216  df-mulr 13217  df-starv 13218  df-sca 13219  df-vsca 13220  df-tset 13222  df-ple 13223  df-ds 13225  df-hom 13227  df-cco 13228  df-rest 13322  df-topn 13323  df-topgen 13339  df-pt 13340  df-prds 13343  df-xrs 13398  df-0g 13399  df-gsum 13400  df-qtop 13405  df-imas 13406  df-xps 13408  df-mre 13483  df-mrc 13484  df-acs 13486  df-mnd 14362  df-submnd 14411  df-mulg 14487  df-cntz 14788  df-cmn 15086  df-xmet 16368  df-met 16369  df-bl 16370  df-mopn 16371  df-cnfld 16373  df-top 16631  df-bases 16633  df-topon 16634  df-topsp 16635  df-cld 16751  df-ntr 16752  df-cls 16753  df-nei 16830  df-lp 16863  df-perf 16864  df-cn 16952  df-cnp 16953  df-haus 17038  df-tx 17252  df-hmeo 17441  df-fbas 17515  df-fg 17516  df-fil 17536  df-fm 17628  df-flim 17629  df-flf 17630  df-xms 17880  df-ms 17881  df-tms 17882  df-cncf 18377  df-0p 19020  df-limc 19211  df-dv 19212  df-ply 19565  df-idp 19566  df-coe 19567  df-dgr 19568  df-quot 19666
  Copyright terms: Public domain W3C validator