MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basel Unicode version

Theorem basel 20329
Description: The sum of the inverse squares is  pi ^ 2  /  6. This is commonly known as the Basel problem, with the first known proof attributed to Euler. See http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem. This particular proof approach is due to Cauchy (1821). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
basel  |-  sum_ k  e.  NN  ( k ^ -u 2 )  =  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )

Proof of Theorem basel
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5868 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
2  x.  m )  =  ( 2  x.  n ) )
21oveq1d 5875 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
( 2  x.  m
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
32oveq2d 5876 . . 3  |-  ( m  =  n  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
43cbvmptv 4113 . 2  |-  ( m  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
5 oveq1 5867 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
m ^ -u 2
)  =  ( n ^ -u 2 ) )
65cbvmptv 4113 . . 3  |-  ( m  e.  NN  |->  ( m ^ -u 2 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) )
7 seqeq3 11053 . . 3  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( m ^ -u 2
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) )  ->  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( m ^ -u 2
) ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) ) )
86, 7ax-mp 8 . 2  |-  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m ^ -u 2
) ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) )
9 eqid 2285 . 2  |-  ( ( NN  X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } )  o F  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  -  ( m  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  m
)  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( NN 
X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } )  o F  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  -  (
m  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ) )
10 eqid 2285 . 2  |-  ( ( ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } )  o F  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  -  ( m  e.  NN  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ) )  o F  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  ( m  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( NN 
X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } )  o F  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  -  (
m  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ) )  o F  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  o F  x.  ( m  e.  NN  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ) ) )
11 eqid 2285 . 2  |-  ( ( ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } )  o F  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  -  ( m  e.  NN  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ) )  o F  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( m  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( NN 
X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } )  o F  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  -  (
m  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ) )  o F  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( m  e.  NN  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  m )  +  1 ) ) ) ) )
124, 8, 9, 10, 11basellem9 20328 1  |-  sum_ k  e.  NN  ( k ^ -u 2 )  =  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1625   {csn 3642    e. cmpt 4079    X. cxp 4689  (class class class)co 5860    o Fcof 6078   1c1 8740    + caddc 8742    x. cmul 8744    - cmin 9039   -ucneg 9040    / cdiv 9425   NNcn 9748   2c2 9797   6c6 9801    seq cseq 11048   ^cexp 11106   sum_csu 12160   picpi 12350
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-mod 10976  df-seq 11049  df-exp 11107  df-fac 11291  df-bc 11318  df-hash 11340  df-shft 11564  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-limsup 11947  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-ef 12351  df-sin 12353  df-cos 12354  df-tan 12355  df-pi 12356  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-mulg 14494  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-lp 16870  df-perf 16871  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-haus 17045  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-cncf 18384  df-0p 19027  df-limc 19218  df-dv 19219  df-ply 19572  df-idp 19573  df-coe 19574  df-dgr 19575  df-quot 19673
  Copyright terms: Public domain W3C validator