MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem1 Unicode version

Theorem basellem1 20266
Description: Lemma for basel 20275. Closure of the sequence of roots. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
basel.n  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
Assertion
Ref Expression
basellem1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )

Proof of Theorem basellem1
StepHypRef Expression
1 elfznn 10771 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... M )  ->  K  e.  NN )
21nnrpd 10342 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... M )  ->  K  e.  RR+ )
3 pire 19780 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
4 pipos 19781 . . . . . 6  |-  0  <  pi
53, 4elrpii 10310 . . . . 5  |-  pi  e.  RR+
6 rpmulcl 10328 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR+  /\  pi  e.  RR+ )  ->  ( K  x.  pi )  e.  RR+ )
72, 5, 6sylancl 646 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... M )  ->  ( K  x.  pi )  e.  RR+ )
8 basel.n . . . . . 6  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
9 2nn 9830 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
10 nnmulcl 9723 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
119, 10mpan 654 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN )
1211peano2nnd 9717 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  +  1 )  e.  NN )
138, 12syl5eqel 2340 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN )
1413nnrpd 10342 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
15 rpdivcl 10329 . . . 4  |-  ( ( ( K  x.  pi )  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
( K  x.  pi )  /  N )  e.  RR+ )
167, 14, 15syl2anr 466 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  RR+ )
1716rpred 10343 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  RR )
1816rpgt0d 10346 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  (
( K  x.  pi )  /  N ) )
191adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  K  e.  NN )
20 nnmulcl 9723 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN  /\  2  e.  NN )  ->  ( K  x.  2 )  e.  NN )
2119, 9, 20sylancl 646 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  e.  NN )
2221nnred 9715 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  e.  RR )
2311adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  x.  M )  e.  NN )
2423nnred 9715 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  x.  M )  e.  RR )
2513adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  NN )
2625nnred 9715 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  RR )
278, 26syl5eqelr 2341 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( 2  x.  M )  +  1 )  e.  RR )
2819nncnd 9716 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  K  e.  CC )
29 2cn 9770 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
30 mulcom 8777 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( K  x.  2 )  =  ( 2  x.  K ) )
3128, 29, 30sylancl 646 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  =  ( 2  x.  K ) )
32 elfzle2 10752 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... M )  ->  K  <_  M )
3332adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  K  <_  M
)
3419nnred 9715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  K  e.  RR )
35 nnre 9707 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
3635adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  M  e.  RR )
37 2re 9769 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
38 2pos 9782 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
3937, 38pm3.2i 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
4039a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
41 lemul2 9563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( K  <_  M 
<->  ( 2  x.  K
)  <_  ( 2  x.  M ) ) )
4234, 36, 40, 41syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  <_  M 
<->  ( 2  x.  K
)  <_  ( 2  x.  M ) ) )
4333, 42mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  x.  K )  <_  (
2  x.  M ) )
4431, 43eqbrtrd 4003 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  <_  (
2  x.  M ) )
4524ltp1d 9641 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  x.  M )  <  (
( 2  x.  M
)  +  1 ) )
4622, 24, 27, 44, 45lelttrd 8928 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  <  (
( 2  x.  M
)  +  1 ) )
4746, 8syl6breqr 4023 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  <  N
)
48 remulcl 8776 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( K  x.  pi )  e.  RR )
4934, 3, 48sylancl 646 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  pi )  e.  RR )
5021nngt0d 9743 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  ( K  x.  2 ) )
5125nngt0d 9743 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  N
)
527adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  pi )  e.  RR+ )
5352rpgt0d 10346 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  ( K  x.  pi )
)
54 ltdiv2OLD 9596 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  x.  2 )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( K  x.  pi )  e.  RR )  /\  ( 0  <  ( K  x.  2 )  /\  0  <  N  /\  0  <  ( K  x.  pi ) ) )  ->  ( ( K  x.  2 )  <  N  <->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
( K  x.  pi )  /  ( K  x.  2 ) ) ) )
5522, 26, 49, 50, 51, 53, 54syl33anc 1202 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  2 )  < 
N  <->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
( K  x.  pi )  /  ( K  x.  2 ) ) ) )
5647, 55mpbid 203 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
( K  x.  pi )  /  ( K  x.  2 ) ) )
573recni 8803 . . . . 5  |-  pi  e.  CC
5857a1i 12 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  pi  e.  CC )
59 2ne0 9783 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
6029, 59pm3.2i 443 . . . . 5  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
6160a1i 12 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
6219nnne0d 9744 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  K  =/=  0
)
63 divcan5 9416 . . . 4  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( K  e.  CC  /\  K  =/=  0 ) )  -> 
( ( K  x.  pi )  /  ( K  x.  2 ) )  =  ( pi 
/  2 ) )
6458, 61, 28, 62, 63syl112anc 1191 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  / 
( K  x.  2 ) )  =  ( pi  /  2 ) )
6556, 64breqtrd 4007 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
pi  /  2 ) )
66 0xr 8832 . . 3  |-  0  e.  RR*
67 rehalfcl 9891 . . . 4  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
68 rexr 8831 . . . 4  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR* )
693, 67, 68mp2b 11 . . 3  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
70 elioo2 10649 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
( ( K  x.  pi )  /  N
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
( K  x.  pi )  /  N )  e.  RR  /\  0  < 
( ( K  x.  pi )  /  N
)  /\  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
7166, 69, 70mp2an 656 . 2  |-  ( ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  RR  /\  0  < 
( ( K  x.  pi )  /  N
)  /\  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
pi  /  2 ) ) )
7217, 18, 65, 71syl3anbrc 1141 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   class class class wbr 3983  (class class class)co 5778   CCcc 8689   RRcr 8690   0cc0 8691   1c1 8692    + caddc 8694    x. cmul 8696   RR*cxr 8820    < clt 8821    <_ cle 8822    / cdiv 9377   NNcn 9700   2c2 9749   RR+crp 10307   (,)cioo 10608   ...cfz 10734   picpi 12296
This theorem is referenced by:  basellem4  20269  basellem8  20273
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769  ax-addf 8770  ax-mulf 8771
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-iin 3868  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-of 5998  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-2o 6434  df-oadd 6437  df-er 6614  df-map 6728  df-pm 6729  df-ixp 6772  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-fi 7119  df-sup 7148  df-oi 7179  df-card 7526  df-cda 7748  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-4 9760  df-5 9761  df-6 9762  df-7 9763  df-8 9764  df-9 9765  df-10 9766  df-n0 9919  df-z 9978  df-dec 10078  df-uz 10184  df-q 10270  df-rp 10308  df-xneg 10405  df-xadd 10406  df-xmul 10407  df-ioo 10612  df-ioc 10613  df-ico 10614  df-icc 10615  df-fz 10735  df-fzo 10823  df-fl 10877  df-seq 10999  df-exp 11057  df-fac 11241  df-bc 11268  df-hash 11290  df-shft 11513  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-limsup 11896  df-clim 11913  df-rlim 11914  df-sum 12110  df-ef 12297  df-sin 12299  df-cos 12300  df-pi 12302  df-struct 13098  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-ress 13103  df-plusg 13169  df-mulr 13170  df-starv 13171  df-sca 13172  df-vsca 13173  df-tset 13175  df-ple 13176  df-ds 13178  df-hom 13180  df-cco 13181  df-rest 13275  df-topn 13276  df-topgen 13292  df-pt 13293  df-prds 13296  df-xrs 13351  df-0g 13352  df-gsum 13353  df-qtop 13358  df-imas 13359  df-xps 13361  df-mre 13436  df-mrc 13437  df-acs 13439  df-mnd 14315  df-submnd 14364  df-mulg 14440  df-cntz 14741  df-cmn 15039  df-xmet 16321  df-met 16322  df-bl 16323  df-mopn 16324  df-cnfld 16326  df-top 16584  df-bases 16586  df-topon 16587  df-topsp 16588  df-cld 16704  df-ntr 16705  df-cls 16706  df-nei 16783  df-lp 16816  df-perf 16817  df-cn 16905  df-cnp 16906  df-haus 16991  df-tx 17205  df-hmeo 17394  df-fbas 17468  df-fg 17469  df-fil 17489  df-fm 17581  df-flim 17582  df-flf 17583  df-xms 17833  df-ms 17834  df-tms 17835  df-cncf 18330  df-limc 19164  df-dv 19165
  Copyright terms: Public domain W3C validator