MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem1 Structured version   Unicode version

Theorem basellem1 20901
Description: Lemma for basel 20910. Closure of the sequence of roots. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
basel.n  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
Assertion
Ref Expression
basellem1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )

Proof of Theorem basellem1
StepHypRef Expression
1 elfznn 11118 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... M )  ->  K  e.  NN )
21nnrpd 10685 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... M )  ->  K  e.  RR+ )
3 pire 20410 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
4 pipos 20411 . . . . . 6  |-  0  <  pi
53, 4elrpii 10653 . . . . 5  |-  pi  e.  RR+
6 rpmulcl 10671 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR+  /\  pi  e.  RR+ )  ->  ( K  x.  pi )  e.  RR+ )
72, 5, 6sylancl 645 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... M )  ->  ( K  x.  pi )  e.  RR+ )
8 basel.n . . . . . 6  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
9 2nn 10171 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
10 nnmulcl 10061 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
119, 10mpan 653 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN )
1211peano2nnd 10055 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  +  1 )  e.  NN )
138, 12syl5eqel 2527 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN )
1413nnrpd 10685 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
15 rpdivcl 10672 . . . 4  |-  ( ( ( K  x.  pi )  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
( K  x.  pi )  /  N )  e.  RR+ )
167, 14, 15syl2anr 466 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  RR+ )
1716rpred 10686 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  RR )
1816rpgt0d 10689 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  (
( K  x.  pi )  /  N ) )
191adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  K  e.  NN )
20 nnmulcl 10061 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN  /\  2  e.  NN )  ->  ( K  x.  2 )  e.  NN )
2119, 9, 20sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  e.  NN )
2221nnred 10053 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  e.  RR )
2311adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  x.  M )  e.  NN )
2423nnred 10053 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  x.  M )  e.  RR )
2513adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  NN )
2625nnred 10053 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  RR )
278, 26syl5eqelr 2528 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( 2  x.  M )  +  1 )  e.  RR )
2819nncnd 10054 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  K  e.  CC )
29 2cn 10108 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
30 mulcom 9114 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( K  x.  2 )  =  ( 2  x.  K ) )
3128, 29, 30sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  =  ( 2  x.  K ) )
32 elfzle2 11099 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... M )  ->  K  <_  M )
3332adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  K  <_  M
)
3419nnred 10053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  K  e.  RR )
35 nnre 10045 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
3635adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  M  e.  RR )
37 2re 10107 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
38 2pos 10120 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
3937, 38pm3.2i 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
4039a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
41 lemul2 9901 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( K  <_  M 
<->  ( 2  x.  K
)  <_  ( 2  x.  M ) ) )
4234, 36, 40, 41syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  <_  M 
<->  ( 2  x.  K
)  <_  ( 2  x.  M ) ) )
4333, 42mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  x.  K )  <_  (
2  x.  M ) )
4431, 43eqbrtrd 4263 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  <_  (
2  x.  M ) )
4524ltp1d 9979 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  x.  M )  <  (
( 2  x.  M
)  +  1 ) )
4622, 24, 27, 44, 45lelttrd 9266 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  <  (
( 2  x.  M
)  +  1 ) )
4746, 8syl6breqr 4283 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  <  N
)
48 remulcl 9113 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( K  x.  pi )  e.  RR )
4934, 3, 48sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  pi )  e.  RR )
5021nngt0d 10081 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  ( K  x.  2 ) )
5125nngt0d 10081 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  N
)
527adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  pi )  e.  RR+ )
5352rpgt0d 10689 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  ( K  x.  pi )
)
54 ltdiv2OLD 9934 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  x.  2 )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( K  x.  pi )  e.  RR )  /\  ( 0  <  ( K  x.  2 )  /\  0  <  N  /\  0  <  ( K  x.  pi ) ) )  ->  ( ( K  x.  2 )  <  N  <->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
( K  x.  pi )  /  ( K  x.  2 ) ) ) )
5522, 26, 49, 50, 51, 53, 54syl33anc 1200 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  2 )  < 
N  <->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
( K  x.  pi )  /  ( K  x.  2 ) ) ) )
5647, 55mpbid 203 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
( K  x.  pi )  /  ( K  x.  2 ) ) )
573recni 9140 . . . . 5  |-  pi  e.  CC
5857a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  pi  e.  CC )
59 2ne0 10121 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
6029, 59pm3.2i 443 . . . . 5  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
6160a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
6219nnne0d 10082 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  K  =/=  0
)
63 divcan5 9754 . . . 4  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( K  e.  CC  /\  K  =/=  0 ) )  -> 
( ( K  x.  pi )  /  ( K  x.  2 ) )  =  ( pi 
/  2 ) )
6458, 61, 28, 62, 63syl112anc 1189 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  / 
( K  x.  2 ) )  =  ( pi  /  2 ) )
6556, 64breqtrd 4267 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
pi  /  2 ) )
66 0xr 9169 . . 3  |-  0  e.  RR*
67 rehalfcl 10232 . . . 4  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
68 rexr 9168 . . . 4  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR* )
693, 67, 68mp2b 10 . . 3  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
70 elioo2 10995 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
( ( K  x.  pi )  /  N
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
( K  x.  pi )  /  N )  e.  RR  /\  0  < 
( ( K  x.  pi )  /  N
)  /\  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
7166, 69, 70mp2an 655 . 2  |-  ( ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  RR  /\  0  < 
( ( K  x.  pi )  /  N
)  /\  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
pi  /  2 ) ) )
7217, 18, 65, 71syl3anbrc 1139 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1654    e. wcel 1728    =/= wne 2606   class class class wbr 4243  (class class class)co 6117   CCcc 9026   RRcr 9027   0cc0 9028   1c1 9029    + caddc 9031    x. cmul 9033   RR*cxr 9157    < clt 9158    <_ cle 9159    / cdiv 9715   NNcn 10038   2c2 10087   RR+crp 10650   (,)cioo 10954   ...cfz 11081   picpi 12707
This theorem is referenced by:  basellem4  20904  basellem8  20908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-inf2 7632  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106  ax-addf 9107  ax-mulf 9108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-iin 4125  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-se 4577  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-isom 5498  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-of 6341  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-2o 6761  df-oadd 6764  df-er 6941  df-map 7056  df-pm 7057  df-ixp 7100  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-fi 7452  df-sup 7482  df-oi 7515  df-card 7864  df-cda 8086  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-4 10098  df-5 10099  df-6 10100  df-7 10101  df-8 10102  df-9 10103  df-10 10104  df-n0 10260  df-z 10321  df-dec 10421  df-uz 10527  df-q 10613  df-rp 10651  df-xneg 10748  df-xadd 10749  df-xmul 10750  df-ioo 10958  df-ioc 10959  df-ico 10960  df-icc 10961  df-fz 11082  df-fzo 11174  df-fl 11240  df-seq 11362  df-exp 11421  df-fac 11605  df-bc 11632  df-hash 11657  df-shft 11920  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-sqr 12078  df-abs 12079  df-limsup 12303  df-clim 12320  df-rlim 12321  df-sum 12518  df-ef 12708  df-sin 12710  df-cos 12711  df-pi 12713  df-struct 13509  df-ndx 13510  df-slot 13511  df-base 13512  df-sets 13513  df-ress 13514  df-plusg 13580  df-mulr 13581  df-starv 13582  df-sca 13583  df-vsca 13584  df-tset 13586  df-ple 13587  df-ds 13589  df-unif 13590  df-hom 13591  df-cco 13592  df-rest 13688  df-topn 13689  df-topgen 13705  df-pt 13706  df-prds 13709  df-xrs 13764  df-0g 13765  df-gsum 13766  df-qtop 13771  df-imas 13772  df-xps 13774  df-mre 13849  df-mrc 13850  df-acs 13852  df-mnd 14728  df-submnd 14777  df-mulg 14853  df-cntz 15154  df-cmn 15452  df-psmet 16732  df-xmet 16733  df-met 16734  df-bl 16735  df-mopn 16736  df-fbas 16737  df-fg 16738  df-cnfld 16742  df-top 17001  df-bases 17003  df-topon 17004  df-topsp 17005  df-cld 17121  df-ntr 17122  df-cls 17123  df-nei 17200  df-lp 17238  df-perf 17239  df-cn 17329  df-cnp 17330  df-haus 17417  df-tx 17632  df-hmeo 17825  df-fil 17916  df-fm 18008  df-flim 18009  df-flf 18010  df-xms 18388  df-ms 18389  df-tms 18390  df-cncf 18946  df-limc 19791  df-dv 19792
  Copyright terms: Public domain W3C validator