MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem1 Unicode version

Theorem basellem1 20320
Description: Lemma for basel 20329. Closure of the sequence of roots. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
basel.n  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
Assertion
Ref Expression
basellem1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )

Proof of Theorem basellem1
StepHypRef Expression
1 elfznn 10821 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... M )  ->  K  e.  NN )
21nnrpd 10391 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... M )  ->  K  e.  RR+ )
3 pire 19834 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
4 pipos 19835 . . . . . 6  |-  0  <  pi
53, 4elrpii 10359 . . . . 5  |-  pi  e.  RR+
6 rpmulcl 10377 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR+  /\  pi  e.  RR+ )  ->  ( K  x.  pi )  e.  RR+ )
72, 5, 6sylancl 643 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... M )  ->  ( K  x.  pi )  e.  RR+ )
8 basel.n . . . . . 6  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
9 2nn 9879 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
10 nnmulcl 9771 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
119, 10mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN )
1211peano2nnd 9765 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  +  1 )  e.  NN )
138, 12syl5eqel 2369 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN )
1413nnrpd 10391 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
15 rpdivcl 10378 . . . 4  |-  ( ( ( K  x.  pi )  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
( K  x.  pi )  /  N )  e.  RR+ )
167, 14, 15syl2anr 464 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  RR+ )
1716rpred 10392 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  RR )
1816rpgt0d 10395 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  (
( K  x.  pi )  /  N ) )
191adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  K  e.  NN )
20 nnmulcl 9771 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN  /\  2  e.  NN )  ->  ( K  x.  2 )  e.  NN )
2119, 9, 20sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  e.  NN )
2221nnred 9763 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  e.  RR )
2311adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  x.  M )  e.  NN )
2423nnred 9763 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  x.  M )  e.  RR )
2513adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  NN )
2625nnred 9763 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  RR )
278, 26syl5eqelr 2370 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( 2  x.  M )  +  1 )  e.  RR )
2819nncnd 9764 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  K  e.  CC )
29 2cn 9818 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
30 mulcom 8825 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( K  x.  2 )  =  ( 2  x.  K ) )
3128, 29, 30sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  =  ( 2  x.  K ) )
32 elfzle2 10802 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... M )  ->  K  <_  M )
3332adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  K  <_  M
)
3419nnred 9763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  K  e.  RR )
35 nnre 9755 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
3635adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  M  e.  RR )
37 2re 9817 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
38 2pos 9830 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
3937, 38pm3.2i 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
4039a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
41 lemul2 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( K  <_  M 
<->  ( 2  x.  K
)  <_  ( 2  x.  M ) ) )
4234, 36, 40, 41syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  <_  M 
<->  ( 2  x.  K
)  <_  ( 2  x.  M ) ) )
4333, 42mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  x.  K )  <_  (
2  x.  M ) )
4431, 43eqbrtrd 4045 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  <_  (
2  x.  M ) )
4524ltp1d 9689 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  x.  M )  <  (
( 2  x.  M
)  +  1 ) )
4622, 24, 27, 44, 45lelttrd 8976 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  <  (
( 2  x.  M
)  +  1 ) )
4746, 8syl6breqr 4065 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  <  N
)
48 remulcl 8824 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( K  x.  pi )  e.  RR )
4934, 3, 48sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  pi )  e.  RR )
5021nngt0d 9791 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  ( K  x.  2 ) )
5125nngt0d 9791 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  N
)
527adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  pi )  e.  RR+ )
5352rpgt0d 10395 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  ( K  x.  pi )
)
54 ltdiv2OLD 9644 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  x.  2 )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( K  x.  pi )  e.  RR )  /\  ( 0  <  ( K  x.  2 )  /\  0  <  N  /\  0  <  ( K  x.  pi ) ) )  ->  ( ( K  x.  2 )  <  N  <->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
( K  x.  pi )  /  ( K  x.  2 ) ) ) )
5522, 26, 49, 50, 51, 53, 54syl33anc 1197 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  2 )  < 
N  <->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
( K  x.  pi )  /  ( K  x.  2 ) ) ) )
5647, 55mpbid 201 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
( K  x.  pi )  /  ( K  x.  2 ) ) )
573recni 8851 . . . . 5  |-  pi  e.  CC
5857a1i 10 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  pi  e.  CC )
59 2ne0 9831 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
6029, 59pm3.2i 441 . . . . 5  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
6160a1i 10 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
6219nnne0d 9792 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  K  =/=  0
)
63 divcan5 9464 . . . 4  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( K  e.  CC  /\  K  =/=  0 ) )  -> 
( ( K  x.  pi )  /  ( K  x.  2 ) )  =  ( pi 
/  2 ) )
6458, 61, 28, 62, 63syl112anc 1186 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  / 
( K  x.  2 ) )  =  ( pi  /  2 ) )
6556, 64breqtrd 4049 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
pi  /  2 ) )
66 0xr 8880 . . 3  |-  0  e.  RR*
67 rehalfcl 9940 . . . 4  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
68 rexr 8879 . . . 4  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR* )
693, 67, 68mp2b 9 . . 3  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
70 elioo2 10699 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
( ( K  x.  pi )  /  N
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
( K  x.  pi )  /  N )  e.  RR  /\  0  < 
( ( K  x.  pi )  /  N
)  /\  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
7166, 69, 70mp2an 653 . 2  |-  ( ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  RR  /\  0  < 
( ( K  x.  pi )  /  N
)  /\  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
pi  /  2 ) ) )
7217, 18, 65, 71syl3anbrc 1136 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   class class class wbr 4025  (class class class)co 5860   CCcc 8737   RRcr 8738   0cc0 8739   1c1 8740    + caddc 8742    x. cmul 8744   RR*cxr 8868    < clt 8869    <_ cle 8870    / cdiv 9425   NNcn 9748   2c2 9797   RR+crp 10356   (,)cioo 10658   ...cfz 10784   picpi 12350
This theorem is referenced by:  basellem4  20323  basellem8  20327
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-seq 11049  df-exp 11107  df-fac 11291  df-bc 11318  df-hash 11340  df-shft 11564  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-limsup 11947  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-ef 12351  df-sin 12353  df-cos 12354  df-pi 12356  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-mulg 14494  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-lp 16870  df-perf 16871  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-haus 17045  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-cncf 18384  df-limc 19218  df-dv 19219
  Copyright terms: Public domain W3C validator