MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basgen2 Unicode version

Theorem basgen2 16944
Description: Given a topology  J, show that a subset  B satisfying the third antecedent is a basis for it. Lemma 2.3 of [Munkres] p. 81. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
basgen2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) )  ->  ( topGen `  B
)  =  J )
Distinct variable groups:    x, y,
z, B    x, J, y, z

Proof of Theorem basgen2
StepHypRef Expression
1 dfss3 3256 . . . 4  |-  ( J 
C_  ( topGen `  B
)  <->  A. x  e.  J  x  e.  ( topGen `  B ) )
2 ssexg 4262 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  J  /\  J  e.  Top )  ->  B  e.  _V )
32ancoms 439 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J )  ->  B  e.  _V )
4 eltg2b 16914 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
53, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J )  -> 
( x  e.  (
topGen `  B )  <->  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
65ralbidv 2648 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J )  -> 
( A. x  e.  J  x  e.  (
topGen `  B )  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
71, 6syl5bb 248 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J )  -> 
( J  C_  ( topGen `
 B )  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
87biimp3ar 1283 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) )  ->  J  C_  ( topGen `
 B ) )
9 basgen 16943 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J  /\  J  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  =  J )
108, 9syld3an3 1228 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) )  ->  ( topGen `  B
)  =  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   E.wrex 2629   _Vcvv 2873    C_ wss 3238   ` cfv 5358   topGenctg 13552   Topctop 16848
This theorem is referenced by:  pptbas  16962  2ndcctbss  17398  2ndcomap  17401  dis2ndc  17403  met2ndci  18281
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fv 5366  df-topgen 13554  df-top 16853
  Copyright terms: Public domain W3C validator