MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basgen2 Unicode version

Theorem basgen2 17009
Description: Given a topology  J, show that a subset  B satisfying the third antecedent is a basis for it. Lemma 2.3 of [Munkres] p. 81. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
basgen2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) )  ->  ( topGen `  B
)  =  J )
Distinct variable groups:    x, y,
z, B    x, J, y, z

Proof of Theorem basgen2
StepHypRef Expression
1 dfss3 3298 . . . 4  |-  ( J 
C_  ( topGen `  B
)  <->  A. x  e.  J  x  e.  ( topGen `  B ) )
2 ssexg 4309 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  J  /\  J  e.  Top )  ->  B  e.  _V )
32ancoms 440 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J )  ->  B  e.  _V )
4 eltg2b 16979 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J )  -> 
( x  e.  (
topGen `  B )  <->  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
65ralbidv 2686 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J )  -> 
( A. x  e.  J  x  e.  (
topGen `  B )  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
71, 6syl5bb 249 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J )  -> 
( J  C_  ( topGen `
 B )  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
87biimp3ar 1284 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) )  ->  J  C_  ( topGen `
 B ) )
9 basgen 17008 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J  /\  J  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  =  J )
108, 9syld3an3 1229 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) )  ->  ( topGen `  B
)  =  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   ` cfv 5413   topGenctg 13620   Topctop 16913
This theorem is referenced by:  pptbas  17027  2ndcctbss  17471  2ndcomap  17474  dis2ndc  17476  met2ndci  18505
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fv 5421  df-topgen 13622  df-top 16918
  Copyright terms: Public domain W3C validator