MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basgen2 Unicode version

Theorem basgen2 16654
Description: Given a topology  J, show that a subset  B satisfying the third antecedent is a basis for it. Lemma 2.3 of [Munkres] p. 81. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
basgen2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) )  ->  ( topGen `  B
)  =  J )
Distinct variable groups:    x, y,
z, B    x, J, y, z

Proof of Theorem basgen2
StepHypRef Expression
1 dfss3 3112 . . . 4  |-  ( J 
C_  ( topGen `  B
)  <->  A. x  e.  J  x  e.  ( topGen `  B ) )
2 ssexg 4100 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  J  /\  J  e.  Top )  ->  B  e.  _V )
32ancoms 441 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J )  ->  B  e.  _V )
4 eltg2b 16624 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
53, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J )  -> 
( x  e.  (
topGen `  B )  <->  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
65ralbidv 2534 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J )  -> 
( A. x  e.  J  x  e.  (
topGen `  B )  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
71, 6syl5bb 250 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J )  -> 
( J  C_  ( topGen `
 B )  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
87biimp3ar 1287 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) )  ->  J  C_  ( topGen `
 B ) )
9 basgen 16653 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J  /\  J  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( topGen `  B )  =  J )
108, 9syld3an3 1232 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) )  ->  ( topGen `  B
)  =  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517   _Vcvv 2740    C_ wss 3094   ` cfv 4638   topGenctg 13269   Topctop 16558
This theorem is referenced by:  pptbas  16672  2ndcctbss  17108  2ndcomap  17111  dis2ndc  17113  met2ndci  17995
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fv 4654  df-topgen 13271  df-top 16563
  Copyright terms: Public domain W3C validator