Theorem basgent 7640

Description: Given a topology J, show that a subset B satisfying the third antecedent is a basis for it. Lemma 2.3 of [Munkres] p. 81 using abbreviations.

Assertion

Ref	Expression
basgent	|- ((J e. Top /\ B (_ J /\ A.x e. J x (_ U.(B i^i P~x)) -> (B e. Bases /\ (topGen` B) = J))

Distinct variable groups:   x,B   x,J

Proof of Theorem basgent

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basgen2t 7639	. 2 |- ((J e. Top /\ B (_ J /\ A.x e. J A.y e. x E.z e. B (y e. z /\ z (_ x)) -> (B e. Bases /\ (topGen` B) = J))
2		dfss3 2059	. . . 4 |- (x (_ U.(B i^i P~x) <-> A.y e. x y e. U.(B i^i P~x))
3		elin 2207	. . . . . . . . . 10 |- (z e. (B i^i P~x) <-> (z e. B /\ z e. P~x))
4		visset 1813	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. V
5	4	elpw 2404	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. P~x <-> z (_ x)
6	5	anbi2i 480	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. B /\ z e. P~x) <-> (z e. B /\ z (_ x))
7	3, 6	bitr 173	. . . . . . . . 9 |- (z e. (B i^i P~x) <-> (z e. B /\ z (_ x))
8	7	anbi2i 480	. . . . . . . 8 |- ((y e. z /\ z e. (B i^i P~x)) <-> (y e. z /\ (z e. B /\ z (_ x)))
9		an12 484	. . . . . . . 8 |- ((y e. z /\ (z e. B /\ z (_ x)) <-> (z e. B /\ (y e. z /\ z (_ x)))
10	8, 9	bitr 173	. . . . . . 7 |- ((y e. z /\ z e. (B i^i P~x)) <-> (z e. B /\ (y e. z /\ z (_ x)))
11	10	exbii 1051	. . . . . 6 |- (E.z(y e. z /\ z e. (B i^i P~x)) <-> E.z(z e. B /\ (y e. z /\ z (_ x)))
12		eluni 2506	. . . . . 6 |- (y e. U.(B i^i P~x) <-> E.z(y e. z /\ z e. (B i^i P~x)))
13		df-rex 1650	. . . . . 6 |- (E.z e. B (y e. z /\ z (_ x) <-> E.z(z e. B /\ (y e. z /\ z (_ x)))
14	11, 12, 13	3bitr4 183	. . . . 5 |- (y e. U.(B i^i P~x) <-> E.z e. B (y e. z /\ z (_ x))
15	14	ralbii 1667	. . . 4 |- (A.y e. x y e. U.(B i^i P~x) <-> A.y e. x E.z e. B (y e. z /\ z (_ x))
16	2, 15	bitr 173	. . 3 |- (x (_ U.(B i^i P~x) <-> A.y e. x E.z e. B (y e. z /\ z (_ x))
17	16	ralbii 1667	. 2 |- (A.x e. J x (_ U.(B i^i P~x) <-> A.x e. J A.y e. x E.z e. B (y e. z /\ z (_ x))
18	1, 17	syl3an3b 864	1 |- ((J e. Top /\ B (_ J /\ A.x e. J x (_ U.(B i^i P~x)) -> (B e. Bases /\ (topGen` B) = J))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  A.wral 1645  E.wrex 1646   i^i cin 2046   (_ wss 2047  P~cpw 2401  U.cuni 2503  ` cfv 3182  Topctop 7588  Basesctb 7590  topGenctg 7591

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-top 7592  df-bases 7594  df-topgen 7595

Copyright terms: Public domain