Theorem bastgt 7622

Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates.

Assertion

Ref	Expression
bastgt	|- (B e. Bases -> B (_ (topGen` B))

Proof of Theorem bastgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basis1t 7614	. . . . . 6 |- ((B e. Bases /\ x e. B /\ x e. B) -> (x i^i x) (_ U.(B i^i P~(x i^i x)))
2	1	3anidm23 884	. . . . 5 |- ((B e. Bases /\ x e. B) -> (x i^i x) (_ U.(B i^i P~(x i^i x)))
3		inidm 2222	. . . . 5 |- (x i^i x) = x
4		pweq 2403	. . . . . . . 8 |- ((x i^i x) = x -> P~(x i^i x) = P~x)
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- P~(x i^i x) = P~x
6	5	ineq2i 2214	. . . . . 6 |- (B i^i P~(x i^i x)) = (B i^i P~x)
7	6	unieqi 2511	. . . . 5 |- U.(B i^i P~(x i^i x)) = U.(B i^i P~x)
8	2, 3, 7	3sstr3g 2101	. . . 4 |- ((B e. Bases /\ x e. B) -> x (_ U.(B i^i P~x))
9	8	ex 373	. . 3 |- (B e. Bases -> (x e. B -> x (_ U.(B i^i P~x)))
10		eltgt 7618	. . 3 |- (B e. Bases -> (x e. (topGen` B) <-> x (_ U.(B i^i P~x)))
11	9, 10	sylibrd 204	. 2 |- (B e. Bases -> (x e. B -> x e. (topGen` B)))
12	11	ssrdv 2070	1 |- (B e. Bases -> B (_ (topGen` B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   i^i cin 2046   (_ wss 2047  P~cpw 2401  U.cuni 2503  ` cfv 3182  Basesctb 7590  topGenctg 7591

This theorem is referenced by:  unitgt 7623  tgval3t 7625  tgtopt 7628  tgss2t 7637  bastop2 7643  iooretop 7659  elcls3 7711

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-bases 7594  df-topgen 7595

Copyright terms: Public domain