Theorem bastop 7592

Description: A subset of a topology is a basis for the topology iff every member of the topology is a union of members of the basis. We use the idiom "B e. Bases /\ (topGen` B) = J" to express "B is a basis for topology J," since we do not have a separate notation for this. Definition 15.35 of [Schechter] p. 428.

Assertion

Ref	Expression
bastop	|- ((J e. Top /\ B (_ J) -> ((B e. Bases /\ (topGen` B) = J) <-> A.x e. J E.y(y (_ B /\ x = U.y)))

Distinct variable groups:   x,y,B   x,J,y

Proof of Theorem bastop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1532	. . . . . 6 |- ((topGen` B) = J -> (x e. (topGen` B) <-> x e. J))
2	1	bicomd 520	. . . . 5 |- ((topGen` B) = J -> (x e. J <-> x e. (topGen` B)))
3		eltg3t 7576	. . . . 5 |- (B e. Bases -> (x e. (topGen` B) <-> E.y(y (_ B /\ x = U.y)))
4	2, 3	sylan9bbr 540	. . . 4 |- ((B e. Bases /\ (topGen` B) = J) -> (x e. J <-> E.y(y (_ B /\ x = U.y)))
5	4	biimpd 153	. . 3 |- ((B e. Bases /\ (topGen` B) = J) -> (x e. J -> E.y(y (_ B /\ x = U.y)))
6	5	r19.21aiv 1710	. 2 |- ((B e. Bases /\ (topGen` B) = J) -> A.x e. J E.y(y (_ B /\ x = U.y))
7		basgen2t 7589	. . . 4 |- ((J e. Top /\ B (_ J /\ A.x e. J A.z e. x E.w e. B (z e. w /\ w (_ x)) -> (B e. Bases /\ (topGen` B) = J))
8	7	3expia 834	. . 3 |- ((J e. Top /\ B (_ J) -> (A.x e. J A.z e. x E.w e. B (z e. w /\ w (_ x) -> (B e. Bases /\ (topGen` B) = J)))
9		eleq2 1532	. . . . . . . 8 |- (x = U.y -> (z e. x <-> z e. U.y))
10		sseq2 2079	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = U.y -> (w (_ x <-> w (_ U.y))
11	10	biimpar 417	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x = U.y /\ w (_ U.y) -> w (_ x)
12		elssuni 2521	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. y -> w (_ U.y)
13	11, 12	sylan2 451	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x = U.y /\ w e. y) -> w (_ x)
14	13	a1d 12	. . . . . . . . . . 11 |- ((x = U.y /\ w e. y) -> (z e. w -> w (_ x))
15	14	ancld 298	. . . . . . . . . 10 |- ((x = U.y /\ w e. y) -> (z e. w -> (z e. w /\ w (_ x)))
16	15	r19.22dva 1736	. . . . . . . . 9 |- (x = U.y -> (E.w e. y z e. w -> E.w e. y (z e. w /\ w (_ x)))
17		eluni2 2502	. . . . . . . . 9 |- (z e. U.y <-> E.w e. y z e. w)
18	16, 17	syl5ib 206	. . . . . . . 8 |- (x = U.y -> (z e. U.y -> E.w e. y (z e. w /\ w (_ x)))
19	9, 18	sylbid 203	. . . . . . 7 |- (x = U.y -> (z e. x -> E.w e. y (z e. w /\ w (_ x)))
20		ssrexv 2111	. . . . . . 7 |- (y (_ B -> (E.w e. y (z e. w /\ w (_ x) -> E.w e. B (z e. w /\ w (_ x)))
21	19, 20	sylan9r 469	. . . . . 6 |- ((y (_ B /\ x = U.y) -> (z e. x -> E.w e. B (z e. w /\ w (_ x)))
22	21	19.23aiv 1293	. . . . 5 |- (E.y(y (_ B /\ x = U.y) -> (z e. x -> E.w e. B (z e. w /\ w (_ x)))
23	22	r19.21aiv 1710	. . . 4 |- (E.y(y (_ B /\ x = U.y) -> A.z e. x E.w e. B (z e. w /\ w (_ x))
24	23	r19.20si 1703	. . 3 |- (A.x e. J E.y(y (_ B /\ x = U.y) -> A.x e. J A.z e. x E.w e. B (z e. w /\ w (_ x))
25	8, 24	syl5 21	. 2 |- ((J e. Top /\ B (_ J) -> (A.x e. J E.y(y (_ B /\ x = U.y) -> (B e. Bases /\ (topGen` B) = J)))
26	6, 25	impbid2 517	1 |- ((J e. Top /\ B (_ J) -> ((B e. Bases /\ (topGen` B) = J) <-> A.x e. J E.y(y (_ B /\ x = U.y)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  A.wral 1642  E.wrex 1643   (_ wss 2043  U.cuni 2498  ` cfv 3177  Topctop 7538  Basesctb 7540  topGenctg 7541

This theorem is referenced by:  bastop2 7593

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fv 3193  df-top 7542  df-bases 7544  df-topgen 7545

Copyright terms: Public domain