Theorem bastop2 7622

Description: A version of bastop 7621 that doesn't have B (_ J in the antecedent.

Assertion

Ref	Expression
bastop2	|- (J e. Top -> ((B e. Bases /\ (topGen` B) = J) <-> (B (_ J /\ A.x e. J E.y(y (_ B /\ x = U.y))))

Distinct variable groups:   x,y,B   x,J,y

Proof of Theorem bastop2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bastop 7621	. . 3 |- ((J e. Top /\ B (_ J) -> ((B e. Bases /\ (topGen` B) = J) <-> A.x e. J E.y(y (_ B /\ x = U.y)))
2	1	pm5.32da 648	. 2 |- (J e. Top -> ((B (_ J /\ (B e. Bases /\ (topGen` B) = J)) <-> (B (_ J /\ A.x e. J E.y(y (_ B /\ x = U.y))))
3		bastgt 7601	. . . . 5 |- (B e. Bases -> B (_ (topGen` B))
4	3	adantr 389	. . . 4 |- ((B e. Bases /\ (topGen` B) = J) -> B (_ (topGen` B))
5		pm3.27 323	. . . 4 |- ((B e. Bases /\ (topGen` B) = J) -> (topGen` B) = J)
6	4, 5	sseqtrd 2095	. . 3 |- ((B e. Bases /\ (topGen` B) = J) -> B (_ J)
7	6	pm4.71ri 637	. 2 |- ((B e. Bases /\ (topGen` B) = J) <-> (B (_ J /\ (B e. Bases /\ (topGen` B) = J)))
8	2, 7	syl5bb 531	1 |- (J e. Top -> ((B e. Bases /\ (topGen` B) = J) <-> (B (_ J /\ A.x e. J E.y(y (_ B /\ x = U.y))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979  A.wral 1644   (_ wss 2045  U.cuni 2500  ` cfv 3179  Topctop 7567  Basesctb 7569  topGenctg 7570

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fv 3195  df-top 7571  df-bases 7573  df-topgen 7574

Copyright terms: Public domain