Theorem bccl2 7174

Description: A binomial coefficient, in its standard domain, is a natural number.

Assertion

Ref	Expression
bccl2	|- ((N e. NN0 /\ K e. (0...N)) -> (N C. K) e. NN)

Proof of Theorem bccl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2695	. . . . . . . . 9 |- (k = K -> (k <_ N <-> K <_ N))
2		opreq2 4027	. . . . . . . . . 10 |- (k = K -> (N C. k) = (N C. K))
3	2	eleq1d 1583	. . . . . . . . 9 |- (k = K -> ((N C. k) e. NN <-> (N C. K) e. NN))
4	1, 3	imbi12d 629	. . . . . . . 8 |- (k = K -> ((k <_ N -> (N C. k) e. NN) <-> (K <_ N -> (N C. K) e. NN)))
5	4	rcla4v 1919	. . . . . . 7 |- (K e. NN -> (A.k e. NN (k <_ N -> (N C. k) e. NN) -> (K <_ N -> (N C. K) e. NN)))
6		breq2 2696	. . . . . . . . . 10 |- (n = 1 -> (k <_ n <-> k <_ 1))
7		opreq1 4026	. . . . . . . . . . 11 |- (n = 1 -> (n C. k) = (1 C. k))
8	7	eleq1d 1583	. . . . . . . . . 10 |- (n = 1 -> ((n C. k) e. NN <-> (1 C. k) e. NN))
9	6, 8	imbi12d 629	. . . . . . . . 9 |- (n = 1 -> ((k <_ n -> (n C. k) e. NN) <-> (k <_ 1 -> (1 C. k) e. NN)))
10	9	ralbidv 1709	. . . . . . . 8 |- (n = 1 -> (A.k e. NN (k <_ n -> (n C. k) e. NN) <-> A.k e. NN (k <_ 1 -> (1 C. k) e. NN)))
11		breq2 2696	. . . . . . . . . 10 |- (n = j -> (k <_ n <-> k <_ j))
12		opreq1 4026	. . . . . . . . . . 11 |- (n = j -> (n C. k) = (j C. k))
13	12	eleq1d 1583	. . . . . . . . . 10 |- (n = j -> ((n C. k) e. NN <-> (j C. k) e. NN))
14	11, 13	imbi12d 629	. . . . . . . . 9 |- (n = j -> ((k <_ n -> (n C. k) e. NN) <-> (k <_ j -> (j C. k) e. NN)))
15	14	ralbidv 1709	. . . . . . . 8 |- (n = j -> (A.k e. NN (k <_ n -> (n C. k) e. NN) <-> A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN)))
16		breq2 2696	. . . . . . . . . 10 |- (n = (j + 1) -> (k <_ n <-> k <_ (j + 1)))
17		opreq1 4026	. . . . . . . . . . 11 |- (n = (j + 1) -> (n C. k) = ((j + 1) C. k))
18	17	eleq1d 1583	. . . . . . . . . 10 |- (n = (j + 1) -> ((n C. k) e. NN <-> ((j + 1) C. k) e. NN))
19	16, 18	imbi12d 629	. . . . . . . . 9 |- (n = (j + 1) -> ((k <_ n -> (n C. k) e. NN) <-> (k <_ (j + 1) -> ((j + 1) C. k) e. NN)))
20	19	ralbidv 1709	. . . . . . . 8 |- (n = (j + 1) -> (A.k e. NN (k <_ n -> (n C. k) e. NN) <-> A.k e. NN (k <_ (j + 1) -> ((j + 1) C. k) e. NN)))
21		breq2 2696	. . . . . . . . . 10 |- (n = N -> (k <_ n <-> k <_ N))
22		opreq1 4026	. . . . . . . . . . 11 |- (n = N -> (n C. k) = (N C. k))
23	22	eleq1d 1583	. . . . . . . . . 10 |- (n = N -> ((n C. k) e. NN <-> (N C. k) e. NN))
24	21, 23	imbi12d 629	. . . . . . . . 9 |- (n = N -> ((k <_ n -> (n C. k) e. NN) <-> (k <_ N -> (N C. k) e. NN)))
25	24	ralbidv 1709	. . . . . . . 8 |- (n = N -> (A.k e. NN (k <_ n -> (n C. k) e. NN) <-> A.k e. NN (k <_ N -> (N C. k) e. NN)))
26		nnle1eq1 6090	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN -> (k <_ 1 <-> k = 1))
27		opreq2 4027	. . . . . . . . . . 11 |- (k = 1 -> (1 C. k) = (1 C. 1))
28		1nn0 6282	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. NN0
29		bcnn 7167	. . . . . . . . . . . . 13 |- (1 e. NN0 -> (1 C. 1) = 1)
30	28, 29	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 |- (1 C. 1) = 1
31		1nn 6079	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN
32	30, 31	eqeltri 1587	. . . . . . . . . . 11 |- (1 C. 1) e. NN
33	27, 32	syl6eqel 1599	. . . . . . . . . 10 |- (k = 1 -> (1 C. k) e. NN)
34	26, 33	syl6bi 212	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN -> (k <_ 1 -> (1 C. k) e. NN))
35	34	rgen 1744	. . . . . . . 8 |- A.k e. NN (k <_ 1 -> (1 C. k) e. NN)
36		ax-17 1007	. . . . . . . . 9 |- (j e. NN -> A.k j e. NN)
37		hbra1 1733	. . . . . . . . 9 |- (A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN) -> A.kA.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN))
38		leloe 5672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((k e. RR /\ (j + 1) e. RR) -> (k <_ (j + 1) <-> (k < (j + 1) \/ k = (j + 1))))
39		nnre 6074	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (k e. NN -> k e. RR)
40		peano2nn 6080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (j e. NN -> (j + 1) e. NN)
41		nnre 6074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((j + 1) e. NN -> (j + 1) e. RR)
42	40, 41	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (j e. NN -> (j + 1) e. RR)
43	38, 39, 42	syl2an 456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((k e. NN /\ j e. NN) -> (k <_ (j + 1) <-> (k < (j + 1) \/ k = (j + 1))))
44		nnleltp1 6100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((k e. NN /\ j e. NN) -> (k <_ j <-> k < (j + 1)))
45	44	orbi1d 618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((k e. NN /\ j e. NN) -> ((k <_ j \/ k = (j + 1)) <-> (k < (j + 1) \/ k = (j + 1))))
46	43, 45	bitr4d 534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((k e. NN /\ j e. NN) -> (k <_ (j + 1) <-> (k <_ j \/ k = (j + 1))))
47		nnge1 6088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (k e. NN -> 1 <_ k)
48		1re 5589	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. RR
49		leloe 5672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((1 e. RR /\ k e. RR) -> (1 <_ k <-> (1 < k \/ 1 = k)))
50	48, 49	mpan 699	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (k e. RR -> (1 <_ k <-> (1 < k \/ 1 = k)))
51	39, 50	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (k e. NN -> (1 <_ k <-> (1 < k \/ 1 = k)))
52	47, 51	mpbid 193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (k e. NN -> (1 < k \/ 1 = k))
53	52	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((k e. NN /\ j e. NN) -> (1 < k \/ 1 = k))
54		nnaddcl 6085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((j C. k) e. NN /\ (j C. (k - 1)) e. NN) -> ((j C. k) + (j C. (k - 1))) e. NN)
55		ra4 1740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN) -> (k e. NN -> (k <_ j -> (j C. k) e. NN)))
56	55	imp32 361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN) /\ (k e. NN /\ k <_ j)) -> (j C. k) e. NN)
57	56	ancoms 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((k e. NN /\ k <_ j) /\ A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN)) -> (j C. k) e. NN)
58	57	adantllr 397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((k e. NN /\ j e. NN) /\ k <_ j) /\ A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN)) -> (j C. k) e. NN)
59	58	adantlrl 398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((k e. NN /\ j e. NN) /\ (1 < k /\ k <_ j)) /\ A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN)) -> (j C. k) e. NN)
60		nnz 6321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (k e. NN -> k e. ZZ)
61		peano2zm 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (k e. ZZ -> (k - 1) e. ZZ)
62	60, 61	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (k e. NN -> (k - 1) e. ZZ)
63		nnltlem1 6355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((1 e. NN /\ k e. NN) -> (1 < k <-> 1 <_ (k - 1)))
64	31, 63	mpan 699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (k e. NN -> (1 < k <-> 1 <_ (k - 1)))
65	64	biimpd 151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (k e. NN -> (1 < k -> 1 <_ (k - 1)))
66	65	anim2d 564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (k e. NN -> (((k - 1) e. ZZ /\ 1 < k) -> ((k - 1) e. ZZ /\ 1 <_ (k - 1))))
67		elnnz1 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((k - 1) e. NN <-> ((k - 1) e. ZZ /\ 1 <_ (k - 1)))
68	66, 67	syl6ibr 211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (k e. NN -> (((k - 1) e. ZZ /\ 1 < k) -> (k - 1) e. NN))
69	62, 68	mpand 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (k e. NN -> (1 < k -> (k - 1) e. NN))
70		breq1 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (n = (k - 1) -> (n <_ j <-> (k - 1) <_ j))
71		opreq2 4027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (n = (k - 1) -> (j C. n) = (j C. (k - 1)))
72	71	eleq1d 1583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (n = (k - 1) -> ((j C. n) e. NN <-> (j C. (k - 1)) e. NN))
73	70, 72	imbi12d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (n = (k - 1) -> ((n <_ j -> (j C. n) e. NN) <-> ((k - 1) <_ j -> (j C. (k - 1)) e. NN)))
74	73	rcla4v 1919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((k - 1) e. NN -> (A.n e. NN (n <_ j -> (j C. n) e. NN) -> ((k - 1) <_ j -> (j C. (k - 1)) e. NN)))
75		breq1 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (k = n -> (k <_ j <-> n <_ j))
76		opreq2 4027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (k = n -> (j C. k) = (j C. n))
77	76	eleq1d 1583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (k = n -> ((j C. k) e. NN <-> (j C. n) e. NN))
78	75, 77	imbi12d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (k = n -> ((k <_ j -> (j C. k) e. NN) <-> (n <_ j -> (j C. n) e. NN)))
79	78	cbvralv 1846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN) <-> A.n e. NN (n <_ j -> (j C. n) e. NN))
80	74, 79	syl5ib 204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((k - 1) e. NN -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN) -> ((k - 1) <_ j -> (j C. (k - 1)) e. NN)))
81	80	com23 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((k - 1) e. NN -> ((k - 1) <_ j -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN) -> (j C. (k - 1)) e. NN)))
82	69, 81	syl6 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (k e. NN -> (1 < k -> ((k - 1) <_ j -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN) -> (j C. (k - 1)) e. NN))))
83	82	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((k e. NN /\ j e. NN) -> (1 < k -> ((k - 1) <_ j -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN) -> (j C. (k - 1)) e. NN))))
84		lep1 5952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (k e. RR -> k <_ (k + 1))
85		lesubadd 5783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((k e. RR /\ 1 e. RR /\ k e. RR) -> ((k - 1) <_ k <-> k <_ (k + 1)))
86	48, 85	mp3an2 910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((k e. RR /\ k e. RR) -> ((k - 1) <_ k <-> k <_ (k + 1)))
87	86	anidms 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (k e. RR -> ((k - 1) <_ k <-> k <_ (k + 1)))
88	84, 87	mpbird 194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (k e. RR -> (k - 1) <_ k)
89	88	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((k e. RR /\ j e. RR) -> (k - 1) <_ k)
90		letr 5679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((k - 1) e. RR /\ k e. RR /\ j e. RR) -> (((k - 1) <_ k /\ k <_ j) -> (k - 1) <_ j))
91	90	3expa 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((((k - 1) e. RR /\ k e. RR) /\ j e. RR) -> (((k - 1) <_ k /\ k <_ j) -> (k - 1) <_ j))
92		peano2rem 5596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (k e. RR -> (k - 1) e. RR)
93	92	ancri 295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (k e. RR -> ((k - 1) e. RR /\ k e. RR))
94	91, 93	sylan 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((k e. RR /\ j e. RR) -> (((k - 1) <_ k /\ k <_ j) -> (k - 1) <_ j))
95	89, 94	mpand 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((k e. RR /\ j e. RR) -> (k <_ j -> (k - 1) <_ j))
96		nnre 6074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (j e. NN -> j e. RR)
97	95, 39, 96	syl2an 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((k e. NN /\ j e. NN) -> (k <_ j -> (k - 1) <_ j))
98	83, 97	syl5d 55	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((k e. NN /\ j e. NN) -> (1 < k -> (k <_ j -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN) -> (j C. (k - 1)) e. NN))))
99	98	imp42 367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((k e. NN /\ j e. NN) /\ (1 < k /\ k <_ j)) /\ A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN)) -> (j C. (k - 1)) e. NN)
100	54, 59, 99	sylanc 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((k e. NN /\ j e. NN) /\ (1 < k /\ k <_ j)) /\ A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN)) -> ((j C. k) + (j C. (k - 1))) e. NN)
101		bcpasc2 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((j e. NN /\ k e. NN /\ k <_ j) -> ((j C. k) + (j C. (k - 1))) = ((j + 1) C. k))
102	101	3com12 843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((k e. NN /\ j e. NN /\ k <_ j) -> ((j C. k) + (j C. (k - 1))) = ((j + 1) C. k))
103	102	3expa 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((k e. NN /\ j e. NN) /\ k <_ j) -> ((j C. k) + (j C. (k - 1))) = ((j + 1) C. k))
104	103	eleq1d 1583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((k e. NN /\ j e. NN) /\ k <_ j) -> (((j C. k) + (j C. (k - 1))) e. NN <-> ((j + 1) C. k) e. NN))
105	104	adantrl 394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((k e. NN /\ j e. NN) /\ (1 < k /\ k <_ j)) -> (((j C. k) + (j C. (k - 1))) e. NN <-> ((j + 1) C. k) e. NN))
106	105	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((k e. NN /\ j e. NN) /\ (1 < k /\ k <_ j)) /\ A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN)) -> (((j C. k) + (j C. (k - 1))) e. NN <-> ((j + 1) C. k) e. NN))
107	100, 106	mpbid 193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((k e. NN /\ j e. NN) /\ (1 < k /\ k <_ j)) /\ A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN)) -> ((j + 1) C. k) e. NN)
108	107	exp31 376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((k e. NN /\ j e. NN) -> ((1 < k /\ k <_ j) -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN) -> ((j + 1) C. k) e. NN)))
109	108	com12 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((1 < k /\ k <_ j) -> ((k e. NN /\ j e. NN) -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN) -> ((j + 1) C. k) e. NN)))
110		opreq2 4027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (1 = k -> ((j + 1) C. 1) = ((j + 1) C. k))
111	110	eleq1d 1583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (1 = k -> (((j + 1) C. 1) e. NN <-> ((j + 1) C. k) e. NN))
112		nnnn0 6274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (j e. NN -> j e. NN0)
113		bcnp11 7168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (j e. NN0 -> ((j + 1) C. 1) = (j + 1))
114	112, 113	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (j e. NN -> ((j + 1) C. 1) = (j + 1))
115	114, 40	eqeltrd 1591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (j e. NN -> ((j + 1) C. 1) e. NN)
116	111, 115	syl5bi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (1 = k -> (j e. NN -> ((j + 1) C. k) e. NN))
117	116	adantld 390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (1 = k -> ((k e. NN /\ j e. NN) -> ((j + 1) C. k) e. NN))
118	117	a1dd 42	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (1 = k -> ((k e. NN /\ j e. NN) -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN) -> ((j + 1) C. k) e. NN)))
119		opreq1 4026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (k = (j + 1) -> (k C. k) = ((j + 1) C. k))
120	119	eleq1d 1583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (k = (j + 1) -> ((k C. k) e. NN <-> ((j + 1) C. k) e. NN))
121		nnnn0 6274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (k e. NN -> k e. NN0)
122		bcnn 7167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (k e. NN0 -> (k C. k) = 1)
123	121, 122	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (k e. NN -> (k C. k) = 1)
124	123, 31	syl6eqel 1599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (k e. NN -> (k C. k) e. NN)
125	120, 124	syl5bi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k = (j + 1) -> (k e. NN -> ((j + 1) C. k) e. NN))
126	125	adantrd 391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (k = (j + 1) -> ((k e. NN /\ j e. NN) -> ((j + 1) C. k) e. NN))
127	126	a1dd 42	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (k = (j + 1) -> ((k e. NN /\ j e. NN) -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN) -> ((j + 1) C. k) e. NN)))
128	109, 118, 127	ccase2 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((1 < k \/ 1 = k) /\ (k <_ j \/ k = (j + 1))) -> ((k e. NN /\ j e. NN) -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN) -> ((j + 1) C. k) e. NN)))
129	128	com12 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((k e. NN /\ j e. NN) -> (((1 < k \/ 1 = k) /\ (k <_ j \/ k = (j + 1))) -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN) -> ((j + 1) C. k) e. NN)))
130	53, 129	mpand 705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((k e. NN /\ j e. NN) -> ((k <_ j \/ k = (j + 1)) -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN) -> ((j + 1) C. k) e. NN)))
131	46, 130	sylbid 201	. . . . . . . . . . . 12 |- ((k e. NN /\ j e. NN) -> (k <_ (j + 1) -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN) -> ((j + 1) C. k) e. NN)))
132	131	ex 371	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. NN -> (j e. NN -> (k <_ (j + 1) -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN) -> ((j + 1) C. k) e. NN))))
133	132	com23 32	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN -> (k <_ (j + 1) -> (j e. NN -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN) -> ((j + 1) C. k) e. NN))))
134	133	com4t 40	. . . . . . . . 9 |- (j e. NN -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN) -> (k e. NN -> (k <_ (j + 1) -> ((j + 1) C. k) e. NN))))
135	36, 37, 134	r19.21ad 1763	. . . . . . . 8 |- (j e. NN -> (A.k e. NN (k <_ j -> (j C. k) e. NN) -> A.k e. NN (k <_ (j + 1) -> ((j + 1) C. k) e. NN)))
136	10, 15, 20, 25, 35, 135	nnind 6082	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> A.k e. NN (k <_ N -> (N C. k) e. NN))
137	5, 136	syl5com 52	. . . . . 6 |- (N e. NN -> (K e. NN -> (K <_ N -> (N C. K) e. NN)))
138	137	imp 348	. . . . 5 |- ((N e. NN /\ K e. NN) -> (K <_ N -> (N C. K) e. NN))
139		breq2 2696	. . . . . . . . 9 |- (N = 0 -> (K <_ N <-> K <_ 0))
140	139	notbid 614	. . . . . . . 8 |- (N = 0 -> (-. K <_ N <-> -. K <_ 0))
141		nngt0 6091	. . . . . . . . 9 |- (K e. NN -> 0 < K)
142		nnre 6074	. . . . . . . . . 10 |- (K e. NN -> K e. RR)
143		0re 5594	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
144		ltnle 5665	. . . . . . . . . . 11 |- ((0 e. RR /\ K e. RR) -> (0 < K <-> -. K <_ 0))
145	143, 144	mpan 699	. . . . . . . . . 10 |- (K e. RR -> (0 < K <-> -. K <_ 0))
146	142, 145	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (K e. NN -> (0 < K <-> -. K <_ 0))
147	141, 146	mpbid 193	. . . . . . . 8 |- (K e. NN -> -. K <_ 0)
148	140, 147	syl5bir 208	. . . . . . 7 |- (N = 0 -> (K e. NN -> -. K <_ N))
149	148	imp 348	. . . . . 6 |- ((N = 0 /\ K e. NN) -> -. K <_ N)
150	149	pm2.21d 78	. . . . 5 |- ((N = 0 /\ K e. NN) -> (K <_ N -> (N C. K) e. NN))
151		nnnn0 6274	. . . . . . . . . 10 |- (N e. NN -> N e. NN0)
152		bcn0 7166	. . . . . . . . . 10 |- (N e. NN0 -> (N C. 0) = 1)
153	151, 152	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN -> (N C. 0) = 1)
154	153, 31	syl6eqel 1599	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> (N C. 0) e. NN)
155	154	adantr 389	. . . . . . 7 |- ((N e. NN /\ K = 0) -> (N C. 0) e. NN)
156		opreq2 4027	. . . . . . . . 9 |- (K = 0 -> (N C. K) = (N C. 0))
157	156	eleq1d 1583	. . . . . . . 8 |- (K = 0 -> ((N C. K) e. NN <-> (N C. 0) e. NN))
158	157	adantl 388	. . . . . . 7 |- ((N e. NN /\ K = 0) -> ((N C. K) e. NN <-> (N C. 0) e. NN))
159	155, 158	mpbird 194	. . . . . 6 |- ((N e. NN /\ K = 0) -> (N C. K) e. NN)
160	159	a1d 12	. . . . 5 |- ((N e. NN /\ K = 0) -> (K <_ N -> (N C. K) e. NN))
161		opreq12 4028	. . . . . . 7 |- ((N = 0 /\ K = 0) -> (N C. K) = (0 C. 0))
162		0nn0 6281	. . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
163		bcn0 7166	. . . . . . . . 9 |- (0 e. NN0 -> (0 C. 0) = 1)
164	162, 163	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (0 C. 0) = 1
165	164, 31	eqeltri 1587	. . . . . . 7 |- (0 C. 0) e. NN
166	161, 165	syl6eqel 1599	. . . . . 6 |- ((N = 0 /\ K = 0) -> (N C. K) e. NN)
167	166	a1d 12	. . . . 5 |- ((N = 0 /\ K = 0) -> (K <_ N -> (N C. K) e. NN))
168	138, 150, 160, 167	ccase 760	. . . 4 |- (((N e. NN \/ N = 0) /\ (K e. NN \/ K = 0)) -> (K <_ N -> (N C. K) e. NN))
169		elnn0 6269	. . . 4 |- (N e. NN0 <-> (N e. NN \/ N = 0))
170		elnn0 6269	. . . 4 |- (K e. NN0 <-> (K e. NN \/ K = 0))
171	168, 169, 170	syl2anb 457	. . 3 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0) -> (K <_ N -> (N C. K) e. NN))
172	171	3impia 836	. 2 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (N C. K) e. NN)
173		elfz3nn0 6627	. 2 |- ((N e. NN0 /\ K e. (0...N)) -> N e. NN0)
174		elfznn0 6626	. . 3 |- (K e. (0...N) -> K e. NN0)
175	174	adantl 388	. 2 |- ((N e. NN0 /\ K e. (0...N)) -> K e. NN0)
176		elfzle2 6612	. . 3 |- (K e. (0...N) -> K <_ N)
177	176	adantl 388	. 2 |- ((N e. NN0 /\ K e. (0...N)) -> K <_ N)
178	172, 173, 175, 177	syl3anc 864	1 |- ((N e. NN0 /\ K e. (0...N)) -> (N C. K) e. NN)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 144   \/ wo 220   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  A.wral 1691   class class class wbr 2692  (class class class)co 4021  RRcr 5387  0cc0 5388  1c1 5389   + caddc 5391   - cmin 5446   <_ cle 5449  NNcn 5450  NN0cn0 5451  ZZcz 5452   < clt 5640  ...cfz 6595   C. cbc 7159

This theorem is referenced by:  bccl 7175  permnn 7176

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-div 5855  df-n 6070  df-n0 6268  df-z 6304  df-fz 6596  df-seq1 6673  df-fac 7135  df-bc 7160

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