MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcctr Unicode version

Theorem bcctr 20508
Description: Value of the central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcctr  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  N
) )  /  (
( ! `  N
)  x.  ( ! `
 N ) ) ) )

Proof of Theorem bcctr
StepHypRef Expression
1 fzctr 10848 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
2 bcval2 11312 . . 3  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  N ) )  / 
( ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  N
) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  N
) )  /  (
( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  N ) )  x.  ( ! `
 N ) ) ) )
4 nn0cn 9970 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
542timesd 9949 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  N )  =  ( N  +  N
) )
65oveq1d 5834 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  -  N )  =  ( ( N  +  N )  -  N
) )
74, 4pncand 9153 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  N )  -  N )  =  N )
86, 7eqtrd 2316 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  -  N )  =  N )
98fveq2d 5489 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  -  N ) )  =  ( ! `  N
) )
109oveq1d 5834 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  N ) )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N )
) )
1110oveq2d 5835 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( 2  x.  N ) )  /  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  -  N ) )  x.  ( ! `  N
) ) )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  N
) )  /  (
( ! `  N
)  x.  ( ! `
 N ) ) ) )
123, 11eqtrd 2316 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  N
) )  /  (
( ! `  N
)  x.  ( ! `
 N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1624    e. wcel 1685   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   0cc0 8732    + caddc 8735    x. cmul 8737    - cmin 9032    / cdiv 9418   2c2 9790   NN0cn0 9960   ...cfz 10776   !cfa 11282    _C cbc 11309
This theorem is referenced by:  bposlem3  20519
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-nn 9742  df-2 9799  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-fz 10777  df-bc 11310
  Copyright terms: Public domain W3C validator