MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcn0 Unicode version

Theorem bcn0 11584
Description:  N choose 0 is 1. Remark in [Gleason] p. 296. (Contributed by NM, 17-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcn0  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  0 )  =  1 )

Proof of Theorem bcn0
StepHypRef Expression
1 eluzfz1 11048 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... N
) )
2 nn0uz 10504 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2eleq2s 2522 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  e.  ( 0 ... N
) )
4 bcval2 11579 . . 3  |-  ( 0  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  0 )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  0 ) )  x.  ( ! `
 0 ) ) ) )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  0 )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  0 ) )  x.  ( ! `
 0 ) ) ) )
6 nn0cn 10215 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
76subid1d 9384 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  -  0 )  =  N )
87fveq2d 5718 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  - 
0 ) )  =  ( ! `  N
) )
9 fac0 11552 . . . . . 6  |-  ( ! `
 0 )  =  1
10 oveq12 6076 . . . . . 6  |-  ( ( ( ! `  ( N  -  0 ) )  =  ( ! `
 N )  /\  ( ! `  0 )  =  1 )  -> 
( ( ! `  ( N  -  0
) )  x.  ( ! `  0 )
)  =  ( ( ! `  N )  x.  1 ) )
118, 9, 10sylancl 644 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( N  -  0 ) )  x.  ( ! ` 
0 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  1 ) )
12 faccl 11559 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
1312nncnd 10000 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  CC )
1413mulid1d 9089 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  1 )  =  ( ! `  N
) )
1511, 14eqtrd 2462 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( N  -  0 ) )  x.  ( ! ` 
0 ) )  =  ( ! `  N
) )
1615oveq2d 6083 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  - 
0 ) )  x.  ( ! `  0
) ) )  =  ( ( ! `  N )  /  ( ! `  N )
) )
17 facne0 11560 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  =/=  0 )
1813, 17dividd 9772 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  /  ( ! `  N ) )  =  1 )
1916, 18eqtrd 2462 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  - 
0 ) )  x.  ( ! `  0
) ) )  =  1 )
205, 19eqtrd 2462 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  0 )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   0cc0 8974   1c1 8975    x. cmul 8979    - cmin 9275    / cdiv 9661   NN0cn0 10205   ZZ>=cuz 10472   ...cfz 11027   !cfa 11549    _C cbc 11576
This theorem is referenced by:  bcnn  11586  bcpasc  11595  bccl  11596  hashbc  11685  hashf1  11689  binom  12592  bcxmas  12598  sylow1lem1  15215  bclbnd  21047  bpoly1  26040  bpoly2  26046  bpoly3  26047  bpoly4  26048
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-er 6891  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-div 9662  df-nn 9985  df-n0 10206  df-z 10267  df-uz 10473  df-fz 11028  df-seq 11307  df-fac 11550  df-bc 11577
  Copyright terms: Public domain W3C validator