MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcn0 Unicode version

Theorem bcn0 11201
Description:  N choose 0 is 1. Remark in [Gleason] p. 296. (Contributed by NM, 17-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcn0  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  0 )  =  1 )

Proof of Theorem bcn0
StepHypRef Expression
1 eluzfz1 10681 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... N
) )
2 nn0uz 10141 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2eleq2s 2345 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  e.  ( 0 ... N
) )
4 bcval2 11196 . . 3  |-  ( 0  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  0 )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  0 ) )  x.  ( ! `
 0 ) ) ) )
53, 4syl 17 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  0 )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  0 ) )  x.  ( ! `
 0 ) ) ) )
6 nn0cn 9854 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
76subid1d 9026 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  -  0 )  =  N )
87fveq2d 5381 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  - 
0 ) )  =  ( ! `  N
) )
9 fac0 11169 . . . . . 6  |-  ( ! `
 0 )  =  1
10 oveq12 5719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ! `  ( N  -  0 ) )  =  ( ! `
 N )  /\  ( ! `  0 )  =  1 )  -> 
( ( ! `  ( N  -  0
) )  x.  ( ! `  0 )
)  =  ( ( ! `  N )  x.  1 ) )
118, 9, 10sylancl 646 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( N  -  0 ) )  x.  ( ! ` 
0 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  1 ) )
12 faccl 11176 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
1312nncnd 9642 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  CC )
1413mulid1d 8732 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  1 )  =  ( ! `  N
) )
1511, 14eqtrd 2285 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( N  -  0 ) )  x.  ( ! ` 
0 ) )  =  ( ! `  N
) )
1615oveq2d 5726 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  - 
0 ) )  x.  ( ! `  0
) ) )  =  ( ( ! `  N )  /  ( ! `  N )
) )
17 facne0 11177 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  =/=  0 )
1813, 17dividd 9414 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  /  ( ! `  N ) )  =  1 )
1916, 18eqtrd 2285 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  - 
0 ) )  x.  ( ! `  0
) ) )  =  1 )
205, 19eqtrd 2285 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  0 )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   0cc0 8617   1c1 8618    x. cmul 8622    - cmin 8917    / cdiv 9303   NN0cn0 9844   ZZ>=cuz 10109   ...cfz 10660   !cfa 11166    _C cbc 11193
This theorem is referenced by:  bcnn  11202  bcpasc  11211  bccl  11212  hashbc  11268  hashf1  11272  binom  12165  bcxmas  12171  sylow1lem1  14744  bclbnd  20351  bpoly1  23960  bpoly2  23966  bpoly3  23967  bpoly4  23968
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-fz 10661  df-seq 10925  df-fac 11167  df-bc 11194
  Copyright terms: Public domain W3C validator