MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcnn Unicode version

Theorem bcnn 11318
Description:  N choose  N is 1. Remark in [Gleason] p. 296. (Contributed by NM, 17-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcnn  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  N )  =  1 )

Proof of Theorem bcnn
StepHypRef Expression
1 0z 10030 . . 3  |-  0  e.  ZZ
2 bccmpl 11316 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  0
)  =  ( N  _C  ( N  - 
0 ) ) )
31, 2mpan2 655 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  0 )  =  ( N  _C  ( N  -  0 ) ) )
4 bcn0 11317 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  0 )  =  1 )
5 nn0cn 9970 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
65subid1d 9141 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  -  0 )  =  N )
76oveq2d 5835 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  ( N  - 
0 ) )  =  ( N  _C  N
) )
83, 4, 73eqtr3rd 2325 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  N )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1628    e. wcel 1688  (class class class)co 5819   0cc0 8732   1c1 8733    - cmin 9032   NN0cn0 9960   ZZcz 10019    _C cbc 11309
This theorem is referenced by:  bcpasc  11327  hashfac  11390  binom1dif  12285  bpolysum  24195  bpolydiflem  24196
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-fz 10777  df-seq 11041  df-fac 11283  df-bc 11310
  Copyright terms: Public domain W3C validator