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Theorem bcpasc 11600
Description: Pascal's rule for the binomial coefficient, generalized to all integers  K. Equation 2 of [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 13-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcpasc  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )

Proof of Theorem bcpasc
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 10249 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
2 elfzp12 11114 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  =  0  \/  K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) ) )
3 nn0uz 10509 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
42, 3eleq2s 2527 . . . . . 6  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  =  0  \/  K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) ) )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  =  0  \/  K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) ) )
6 ax-1cn 9037 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
76addid1i 9242 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  0 )  =  1
8 bcn0 11589 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  0 )  =  1 )
9 0z 10282 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ZZ
10 1z 10300 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
11 zsubcl 10308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 0  -  1 )  e.  ZZ )
129, 10, 11mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  -  1 )  e.  ZZ
13 0re 9080 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
14 ltm1 9839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
0  -  1 )  <  0 )
1513, 14ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  -  1 )  <  0
1615orci 380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  -  1 )  <  0  \/  N  <  ( 0  -  1 ) )
17 bcval4 11586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 0  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( 0  -  1 )  <  0  \/  N  <  ( 0  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( 0  -  1 ) )  =  0 )
1812, 16, 17mp3an23 1271 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  ( 0  -  1 ) )  =  0 )
198, 18oveq12d 6090 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  _C  0 )  +  ( N  _C  ( 0  -  1 ) ) )  =  ( 1  +  0 ) )
20 bcn0 11589 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  0 )  =  1 )
211, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  0 )  =  1 )
227, 19, 213eqtr4a 2493 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  _C  0 )  +  ( N  _C  ( 0  -  1 ) ) )  =  ( ( N  + 
1 )  _C  0
) )
23 oveq2 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( K  =  0  ->  ( N  _C  K )  =  ( N  _C  0
) )
24 oveq1 6079 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  0  ->  ( K  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
2524oveq2d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( K  =  0  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  =  ( N  _C  (
0  -  1 ) ) )
2623, 25oveq12d 6090 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  0  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  _C  0 )  +  ( N  _C  (
0  -  1 ) ) ) )
27 oveq2 6080 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  0  ->  (
( N  +  1 )  _C  K )  =  ( ( N  +  1 )  _C  0 ) )
2826, 27eqeq12d 2449 . . . . . . 7  |-  ( K  =  0  ->  (
( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K )  <->  ( ( N  _C  0 )  +  ( N  _C  (
0  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  0 ) ) )
2922, 28syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  =  0  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) ) )
30 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )
31 0p1e1 10082 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3231oveq1i 6082 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
3330, 32syl6eleq 2525 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
34 nn0p1nn 10248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
35 nnuz 10510 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3634, 35syl6eleq 2525 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
37 fzm1 11115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) ) )
3837biimpa 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) )
3936, 38sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( K  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) )
40 nn0cn 10220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
41 pncan 9300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
4240, 6, 41sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
4342oveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 1 ... N
) )
4443eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  <->  K  e.  ( 1 ... N
) ) )
4544biimpa 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  ->  K  e.  ( 1 ... N ) )
46 1nn0 10226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  NN0
4746, 3eleqtri 2507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
48 fzss1 11080 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
) )
4947, 48ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
)
5049sseli 3336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ( 0 ... N
) )
51 bcp1n 11595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  _C  K )  =  ( ( N  _C  K )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) ) ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  _C  K )  =  ( ( N  _C  K )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) ) ) )
53 bcrpcl 11587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  e.  RR+ )
5450, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  e.  RR+ )
5554rpcnd 10639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  e.  CC )
56 elfzuz2 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
5756, 35syl6eleqr 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  NN )
5857peano2nnd 10006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
5958nncnd 10005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
6057nncnd 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  CC )
616a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  1  e.  CC )
62 elfzelz 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
6362zcnd 10365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  CC )
6460, 61, 63addsubd 9421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  K )  =  ( ( N  -  K )  +  1 ) )
65 fznn0sub 11074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
66 nn0p1nn 10248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  NN )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  NN )
6864, 67eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  K )  e.  NN )
6968nncnd 10005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  K )  e.  CC )
7068nnne0d 10033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  K )  =/=  0 )
7155, 59, 69, 70div12d 9815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  _C  K )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) ) ) )
7268nnrpd 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  K )  e.  RR+ )
7354, 72rpdivcld 10654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  e.  RR+ )
7473rpcnd 10639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  e.  CC )
7559, 74mulcomd 9098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( ( N  _C  K )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) ) )  =  ( ( ( N  _C  K )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )
7671, 75eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) ) )  =  ( ( ( N  _C  K )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )
7759, 63npcand 9404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  +  K )  =  ( N  + 
1 ) )
7877oveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  +  K ) )  =  ( ( ( N  _C  K )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )
7974, 69, 63adddid 9101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  +  K ) )  =  ( ( ( ( N  _C  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  +  ( ( ( N  _C  K )  / 
( ( N  + 
1 )  -  K
) )  x.  K
) ) )
8076, 78, 793eqtr2d 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) ) )  =  ( ( ( ( N  _C  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  +  ( ( ( N  _C  K )  / 
( ( N  + 
1 )  -  K
) )  x.  K
) ) )
8155, 69, 70divcan1d 9780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  =  ( N  _C  K ) )
82 elfznn 11069 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )
8382nnne0d 10033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  =/=  0 )
8455, 69, 63, 70, 83divdiv2d 9811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  /  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  /  K ) )  =  ( ( ( N  _C  K )  x.  K )  / 
( ( N  + 
1 )  -  K
) ) )
85 bcm1k 11594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( N  _C  ( K  -  1
) )  x.  (
( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) ) )
8660, 63, 61subsub3d 9430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  ( K  -  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  -  K ) )
8786oveq1d 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K )  =  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  /  K ) )
8887oveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  ( K  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) )  =  ( ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  /  K
) ) )
8985, 88eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( N  _C  ( K  -  1
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  /  K ) ) )
90 fzelp1 11088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
9158nnzd 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
92 elfzm1b 11113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
9362, 91, 92syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  <->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
9490, 93mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )
9560, 6, 41sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
9695oveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... N
) )
9794, 96eleqtrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
98 bcrpcl 11587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  e.  RR+ )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  e.  RR+ )
10099rpcnd 10639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  e.  CC )
10182nnrpd 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  RR+ )
10272, 101rpdivcld 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  /  K )  e.  RR+ )
103102rpcnd 10639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  /  K )  e.  CC )
104102rpne0d 10642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  /  K )  =/=  0 )
10555, 100, 103, 104divmul3d 9813 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  /  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  /  K ) )  =  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  <->  ( N  _C  K )  =  ( ( N  _C  ( K  -  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  /  K ) ) ) )
10689, 105mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  /  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  /  K ) )  =  ( N  _C  ( K  -  1
) ) )
10755, 63, 69, 70div23d 9816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  x.  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  =  ( ( ( N  _C  K )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  K ) )
10884, 106, 1073eqtr3rd 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) )  x.  K )  =  ( N  _C  ( K  -  1
) ) )
10981, 108oveq12d 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ( N  _C  K )  / 
( ( N  + 
1 )  -  K
) )  x.  (
( N  +  1 )  -  K ) )  +  ( ( ( N  _C  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  K ) )  =  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) ) )
11052, 80, 1093eqtrrd 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
11145, 110syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
112 oveq2 6080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  _C  K )  =  ( N  _C  ( N  +  1 ) ) )
11334nnzd 10363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
114 nn0re 10219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
115114ltp1d 9930 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  < 
( N  +  1 ) )
116115olcd 383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  <  0  \/  N  <  ( N  +  1 ) ) )
117 bcval4 11586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  <  0  \/  N  <  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( N  +  1 ) )  =  0 )
118113, 116, 117mpd3an23 1281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  ( N  + 
1 ) )  =  0 )
119112, 118sylan9eqr 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
120 oveq1 6079 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  =  ( N  + 
1 )  ->  ( K  -  1 )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
121120, 42sylan9eqr 2489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( K  - 
1 )  =  N )
122121oveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  _C  ( K  -  1
) )  =  ( N  _C  N ) )
123 bcnn 11591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  N )  =  1 )
124123adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  _C  N )  =  1 )
125122, 124eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  _C  ( K  -  1
) )  =  1 )
126119, 125oveq12d 6090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( 0  +  1 ) )
127 oveq2 6080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  +  1 )  _C  K )  =  ( ( N  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) ) )
128 bcnn 11591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  1 )
1291, 128syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  1 )
130127, 129sylan9eqr 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( N  +  1 )  _C  K )  =  1 )
13131, 126, 1303eqtr4a 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
132111, 131jaodan 761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( K  e.  (
1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
13339, 132syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
13433, 133syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
135134ex 424 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) ) )
13629, 135jaod 370 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( K  =  0  \/  K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) ) )
1375, 136sylbid 207 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) ) )
138137imp 419 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
139138adantlr 696 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
140 00id 9230 . . 3  |-  ( 0  +  0 )  =  0
141 fzelp1 11088 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
142141con3i 129 . . . . 5  |-  ( -.  K  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  ->  -.  K  e.  (
0 ... N ) )
143 bcval3 11585 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
1441433expa 1153 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
145142, 144sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
146 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
147 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
148 peano2zm 10309 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
149147, 148syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
15040adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
151150, 6, 41sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
152151oveq2d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
153152eleq2d 2502 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  <-> 
( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) ) )
154 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  ZZ )
1551nn0zd 10362 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
156154, 155, 92syl2anr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  <-> 
( K  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ) )
157 fzp1ss 11087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) 
C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
1589, 157ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) )
15932, 158eqsstr3i 3371 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) )
160159sseli 3336 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
161156, 160syl6bir 221 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  ->  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ) )
162153, 161sylbird 227 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  - 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ) )
163162con3and 429 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  -.  ( K  -  1
)  e.  ( 0 ... N ) )
164 bcval3 11585 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( K  -  1
)  e.  ZZ  /\  -.  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  ( K  -  1
) )  =  0 )
165146, 149, 163, 164syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  =  0 )
166145, 165oveq12d 6090 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( 0  +  0 ) )
167146, 1syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
168 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )
169 bcval3 11585 . . . 4  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  +  1 )  _C  K )  =  0 )
170167, 147, 168, 169syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  +  1 )  _C  K )  =  0 )
171140, 166, 1703eqtr4a 2493 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
172139, 171pm2.61dan 767 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   CCcc 8977   RRcr 8978   0cc0 8979   1c1 8980    + caddc 8982    x. cmul 8984    < clt 9109    - cmin 9280    / cdiv 9666   NNcn 9989   NN0cn0 10210   ZZcz 10271   ZZ>=cuz 10477   RR+crp 10601   ...cfz 11032    _C cbc 11581
This theorem is referenced by:  bccl  11601  bcn2m1  11603  bcn2p1  11604  hashbclem  11689  binomlem  12596  bcxmas  12603  bcp1ctr  21051  binomfallfaclem2  25345
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-rp 10602  df-fz 11033  df-seq 11312  df-fac 11555  df-bc 11582
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